Θέλουν αγόρια

#1

Σε μια χώρα κάθε οικογένεια συνεχίζει να κάνει παιδιά μέχρι να κάνει αγόρι και μετά σταματάει. Υποθέτουμε ότι σε κάθε γέννα η πιθανότητα το παιδί να βγει αγόρι είναι 1/2 ανεξάρτητα από τις άλλες γέννες. Αν την τελευταία πενταετία σε αυτήν την χώρα γεννήθηκαν 1234567 παιδιά, να βρεθεί η πιθανότητα τα περισσότερα να ήταν αγόρια.

giannis84 · #2

δηλαδή αν το πρώτο παιδί βγει αγόρι , τότε σταματάει ;

μία προσπάθεια.

Η κατανόμη που περιγράφει το παραπάνω πρόβλημα είναι η γεωμετρική με $p=q=\frac{1}{2}$
οπότε
$\displaystyle E(A)=\frac{1-p}{p}=\frac{1-\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$
$\displaystyle Var(A)=\frac{1-p}{p^2}=\frac{1-\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2}=2$

η πιθανότητα να γεννηθεί το πρώτο παιδί αγόρι σε μία οικογένεια είναι $\frac{1}{2}$

η πιθανότητα να γεννηθεί το δεύτερο παιδί αγόρι στη δεύτερη οικογένεια είναι $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}$

η πιθανότητα να γεννηθεί το τρίτο παιδί αγόρι στη τρίτη οικογένεια είναι $\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{1}{8}$
.
.
.
.
η πιθανότητα να γεννηθεί το

-στο παιδί αγόρι είναι $\frac{1}{2^n}$

Άρα $E(A)=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+....+\frac{1}{2^n}$

Αυτό για πολυ μεγάλα

τείνει στο 1.

Μήπως θα έπρεπε να ξέρουμε τον αριθμό των οικογενειών για να βρούμε αυτή την πιθανοτητα και όχι τον αριθμό των παιδιών;

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#3

Αν κατάλαβα καλά, αυτό που έχεις δείξει είναι πως ο αναμενόμενος αριθμός αγοριών ανά οικογένεια είναι 1. Κάτι που είναι απόλυτα λογικό αφού γεννάνε συνέχει μέχρι να κάνουν αγόρι και μετά σταματάνε.

Δεν βλέπω όμως πως απαντάει στο πρόβλημα.

#4

Επαναφορά!

Λάμπρος Κατσάπας · #5

H ζητούμενη πιθανότητα είναι $\frac{1}{2}$ . Το πρόβλημα μπορεί να διατυπωθεί ως εξής:

Αν ρίξουμε ένα αμερόληπτο νόμισμα n=1234567

φορές (ανεξάρτητες ρίψεις) ποια είναι η πιθανότητα να φέρουμε περισσότερες φορές κορώνα;

Χάριν απλότητος θα θεωρήσω ότι τα παιδιά που έχουν γεννηθεί την τελευταία πενταετία είναι

. Βάζουμε τα παιδιά κάθε οικογένειας στη σειρά, π.χ. AKAAKKK

. Το πλήθος των οικογενειών που έχουν παραγάγει την προηγούμενη ακολουθία μπορεί να είναι τέσσερα (A|KA|A|KKK)

ή έξι

ή κάποιο άλλο (μέχρι επτά). Το πλήθος των οικογενειών δεν παίζει κανένα ρόλο.Επειδή κάθε οικογένεια γεννά παιδιά ανεξάρτητα από τις υπόλοιπες και επιπλέον το φύλο ενός παιδιού μιας οικογένειας είναι ανεξάρτητο από το φύλο των προηγούμενων παιδιών της (και ισόνομο) οι παρατηρήσεις εντός των συστάδων (συστάδες θεωρώ τις παρατηρήσεις εντός | |) αλλά και μεταξύ των συστάδων είναι ανεξάρτητες και ισόνομες δοκιμές Bernoulli

με πιθανότητα επιτυχίας $p=\frac{1}{2}$ . Επομένως, η ζητούμενη πιθανότητα είναι:
$\displaystyle{ \sum_{k=\left [ n/2 \right ]+1}^{n}\binom{n}{k} \left ( \frac{1}{2} \right )^{n}=\frac{1}{2}. }$

Θέλουν αγόρια

Θέλουν αγόρια

Re: Θέλουν αγόρια

Re: Θέλουν αγόρια

Re: Θέλουν αγόρια

Re: Θέλουν αγόρια

Μέλη σε σύνδεση