Βρείτε τη γωνία χ (26)

Ιστοσελίδα · #1

Δίνεται ${\rm A}\widehat{\rm B}\Gamma = {60^ \circ }$ , ${\rm A}\widehat\Gamma {\rm B} = {80^ \circ }$ και ΑΔ=ΒΓ+ΓΑ+ΑΒ. Βρείτε τη γωνία ${\rm A}\widehat\Delta {\rm B} = x$ .

: x26.jpg (52.06 KiB) Προβλήθηκε 637 φορές

Απάντηση:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

#2

καλημέρα
ας κάνω την αρχή με την τριγωνομετρική οδό και περιμένουμε τις όμορφες γεωμετρικές !!!

$\displaystyle{\triangle:ABC->\frac{a}{\sin 40}=\frac{b}{\sin 60}=\frac{c}{\sin 80},\,\fbox 1}$

$\displaystyle{\triangle:ACD->\frac{b}{\sin x}=\frac{a+b+c}{\sin 80},\,\fbox 2}$

$\displaystyle{\fbox 2 \stackrel {\fbox 1}=>\sin x=\frac{\sin 60\cdot \sin 80}{\sin 40+\sin 60+\sin 80}=\frac{\sin 60\cdot \sin 80}{2\cdot \sin 60\cdot\sin 20+\sin 60}=\frac{\sin 80}{1+2\cdot \cos 20}=>}$

$\displaystyle{\sin x=\frac{\sin 80}{2(\cos 60+\cos 20)}=\sin 20=>x=20^o}$

Δημήτρης Μυρογιάννης · #3

Καλησπερα....

: Βρείτε τη γωνία χ (26).PNG (160.08 KiB) Προβλήθηκε 528 φορές

ksofsa · #4

Aλλη μια γεωμετρική λύση.
Θεωρούμε τον παρεγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΒΓ που εφάπτεται στην πλευρά α και το κέντρο του Ι.Εστω Ε,Κ τα σημεία στα οποία οκύκλος εφάπτεται στις ευθείεςΑΓ,ΑΒ αντίστοιχα.Ως γνωστόν ισχύει ΑΕ=(α+β+γ)/2.Εστω Ζ το σημείο τομής της ΑΓ και της ΒΙ.Είναι <ΑΖΙ=20 κι επειδή <ΖΑΙ=20,θα είναι ΑΙ=ΖΙ κι άρα ΕΙ μεσοκάθετος του ΑΖ κι άρα ΑΖ=2ΑΕ=α+β+γ.Σύμφωνα με γνωστή πρόταση ,αφού ΒΓ διχοτόμος της <ΑΒΖ και ΕΙ μεσοκάθετος του ΑΖ,το σημείο τομής τους Λ ανήκει στον περιγεγραμμενο κύκλο του τριγώνου ΑΖΒ.ΟΠότε ΑΒΖΛ εγγράψιμο και <ΛΑΖ=<ΛΖΑ=60=>ΑΛΖ ισόπλευρο =>ΑΛ=ΑΖ=α+β+γ κι επειδή το Λ βρίσκεται στη ΒΓ θα ταυτίζεται με το Δ λόγω μονοσημαντότητας.Αρα <ΑΔΒ=<ΑΖΒ=20ο.

Ιστοσελίδα · #5

Καλησπέρα.
Σας ευχαριστώ για τις λύσεις σας.
Ακόμα μια Γεωμετρική.

Στην προέκταση της ΑΓ παίρνω τμήμα ΓΕ=ΓΒ (δημιουργώντας τα ισοσκελή τρίγωνα ΓΒΕ και ΑΒΕ) και στη συνέχεια τμήμα ΕΖ=ΕΒ (δημιουργώντας το ισοσκελές ΕΒΖ). Φέρω το συμμετρικό του τριγώνου ΑΒΖ ως προς ΑΒ (ΑΒΖ’) και εφόσον ${\rm A}{\rm Z} = {\rm A}{\rm Z}' = \alpha + \beta + \gamma$ και ${\rm A}\widehat{\rm B}\Delta + {\rm A}\widehat{\rm B}{\rm Z}' = {60^ \circ } + {120^ \circ } = {180^ \circ }$ το τρίγωνο ΑΔΖ’ είναι ισοσκελές και η γωνία $x = {20^ \circ }$ .

: x26-sol.jpg (81.18 KiB) Προβλήθηκε 500 φορές

Βρείτε τη γωνία χ (26)

Βρείτε τη γωνία χ (26)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (26)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (26)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (26)

Re: Βρείτε τη γωνία χ (26)

Μέλη σε σύνδεση