Βρείτε τη γωνία χ (12)
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Βρείτε τη γωνία χ (12)
Δίνεται , , και ΑΔ=ΒΓ. Βρείτε τη γωνία .
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Σάβ Ιούλ 24, 2010 2:14 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5285
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Μιχάλη, ο πήχης ανεβαίνει ή είναι η ιδέα μου;
Τριγωνομετρικά πάλι (με πολύ κόπο...) Σε επόμενη δημοσίευση πιο αναλυτικά η λύση, μήπως ... προλάβει κάποιος άλλος τη χαμαλοδουλειά ...
Γιώργος Ρίζος
Τριγωνομετρικά πάλι (με πολύ κόπο...) Σε επόμενη δημοσίευση πιο αναλυτικά η λύση, μήπως ... προλάβει κάποιος άλλος τη χαμαλοδουλειά ...
Γιώργος Ρίζος
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Όντως παρόλο που βγαίνει εύκολα η εξίσωση με τριγωνομετρία γίνεται ένας μικροχαμός στις πράξεις μετά.Θα το ψάξω και εγώ αύριο για τη χαμαλοδουλειά.
Στραγάλης Χρήστος
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Γιώργο το μόνο που ανεβαίνει είναι η ταχύτητα επίλυσης. Τα μέλη του mathematica δεν καταλαβαίνουν από πήχεις. Μπορούν να καταρρίψουν οποιοδήποτε ρεκόρ...Rigio έγραψε:Μιχάλη, ο πήχης ανεβαίνει ή είναι η ιδέα μου;
Τριγωνομετρικά πάλι (με πολύ κόπο...) Σε επόμενη δημοσίευση πιο αναλυτικά η λύση, μήπως ... προλάβει κάποιος άλλος τη χαμαλοδουλειά ...
Γιώργος Ρίζος
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Ωστόσο, ακόμα καμία λύση. Επιχείρησα να τη λύσω τριγωνομετρικά, αλλά η εξίσωση παραμένει ακόμα ... τραγική μετά από ουκ ολίγες προσπάθειες .ruxumuxu έγραψε:Γιώργο το μόνο που ανεβαίνει είναι η ταχύτητα επίλυσης. Τα μέλη του mathematica δεν καταλαβαίνουν από πήχεις. Μπορούν να καταρρίψουν οποιοδήποτε ρεκόρ...Rigio έγραψε:Μιχάλη, ο πήχης ανεβαίνει ή είναι η ιδέα μου;
Τριγωνομετρικά πάλι (με πολύ κόπο...) Σε επόμενη δημοσίευση πιο αναλυτικά η λύση, μήπως ... προλάβει κάποιος άλλος τη χαμαλοδουλειά ...
Γιώργος Ρίζος
Μάγκος Θάνος
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Επιχείρησε και με Γεωμετρικά εργαλεία...Κατασκεύασε κανονικό πεντάγωνο πλευράς ΓΔ εξασφαλίζοντας ότι μια κορυφή θα ακουμπά στην ΑΒ...Ωστόσο, ακόμα καμία λύση. Επιχείρησα να τη λύσω τριγωνομετρικά, αλλά η εξίσωση παραμένει ακόμα ... τραγική μετά από ουκ ολίγες προσπάθειες .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Θα αποδείξουμε ότι
Από τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα και καταλήγουμε εύκολα (επειδή ) στην εξίσωση
(παρακάτω, όλοι οι αριθμοί μέσα σε ημίτονα ή συνημίτονα αναφέρονται σε μοίρες)
Μετά τις πράξεις, αναγόμαστε στην εξίσωση
Είναι όμως
Επομένως η εξίσωση γράφεται
Απομένει, λοιπόν, να αποδειχθεί ότι
ή ισοδύναμα ότι
ή οποία λόγω της γράφεται
, οποία ισχύει αφού
και
.
Από τον νόμο των ημιτόνων στα τρίγωνα και καταλήγουμε εύκολα (επειδή ) στην εξίσωση
(παρακάτω, όλοι οι αριθμοί μέσα σε ημίτονα ή συνημίτονα αναφέρονται σε μοίρες)
Μετά τις πράξεις, αναγόμαστε στην εξίσωση
Είναι όμως
Επομένως η εξίσωση γράφεται
Απομένει, λοιπόν, να αποδειχθεί ότι
ή ισοδύναμα ότι
ή οποία λόγω της γράφεται
, οποία ισχύει αφού
και
.
Μάγκος Θάνος
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Ένας άλλος τρόπος να τελειώσουμε με αυτήν εδώ είναι ο εξής : Η συνάρτησηmatha έγραψε: Μετά τις πράξεις, αναγόμαστε στην εξίσωση
είναι μονότονη, οπότε μένει νδο ή ότι . Όμως και
και εύκολα τσεκάρουμε ότι η τελευταία ισχύει
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Απλουστεύονται πολύ τα πράγματα αν φέρουμε την κάθετη ΑΕ στην ΒΓ. Τότε καταλήγουμε στην
Δηλαδή, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τώρα χ=18
Δηλαδή, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τώρα χ=18
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Κώστα ... πράγματι, πολύ πιο απλές οι πράξειςrek2 έγραψε:Απλουστεύονται πολύ τα πράγματα αν φέρουμε την κάθετη ΑΕ στην ΒΓ. Τότε καταλήγουμε στην
Δηλαδή, το τρίγωνο είναι ισοσκελές και τώρα χ=18
Φωτεινή Καλδή
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Η δημοσίευση σβήστηκε.
τελευταία επεξεργασία από Μιχάλης Νάννος σε Τετ Ιουν 23, 2010 8:27 am, έχει επεξεργασθεί 2 φορές συνολικά.
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Μια Γεωμετρική απόδειξη.
Έστω ο κύκλος (Γ, ΓΒ) που τέμνει την προέκταση του ΔΓ στο Ε και ενώνω το Ε με το Α. Ισχύει ΑΔ=ΓΕ και με παρεμφερή απόδειξη με την άσκηση “βρείτε τη γωνία x (2)” προκύπτει ότι και . Φέρνω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΓΕ και έστω Κ το περίκεντρο. Εφόσον και (μια που ) το τρίγωνο ΑΚΓ θα είναι ισόπλευρο. Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΚΓΕ είναι ίσα (Π-Γ-Π), άρα ΑΒ=ΚΕ =ΚΑ=ΑΓ. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με , άρα
Έστω ο κύκλος (Γ, ΓΒ) που τέμνει την προέκταση του ΔΓ στο Ε και ενώνω το Ε με το Α. Ισχύει ΑΔ=ΓΕ και με παρεμφερή απόδειξη με την άσκηση “βρείτε τη γωνία x (2)” προκύπτει ότι και . Φέρνω τον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ΑΓΕ και έστω Κ το περίκεντρο. Εφόσον και (μια που ) το τρίγωνο ΑΚΓ θα είναι ισόπλευρο. Τα τρίγωνα ΑΓΒ και ΚΓΕ είναι ίσα (Π-Γ-Π), άρα ΑΒ=ΚΕ =ΚΑ=ΑΓ. Από την τελευταία ισότητα συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισοσκελές με , άρα
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3537
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Καλημέρα.
Ακόμα μια λύση.
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο και με πλευρά το ισόπλευρο . Έστω το σημείο τομής της με την . Προκύπτει ότι , άρα μεσοκάθετος και από τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογράμμου η γωνία , οπότε έχουμε ότι .
Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, οπότε: , και .
Εφαρμόζουμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα και και αντίστοιχα παίρνουμε:
και
Από και εφόσον , προκύπτει ότι και αφού έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (με , άρα ).
Έτσι από το παραλληλόγραμμο έχουμε ότι , επομένως .
Ακόμα μια λύση.
Κατασκευάζω το παραλληλόγραμμο και με πλευρά το ισόπλευρο . Έστω το σημείο τομής της με την . Προκύπτει ότι , άρα μεσοκάθετος και από τη διαγώνιο ΑΓ του παραλληλογράμμου η γωνία , οπότε έχουμε ότι .
Τα τρίγωνα είναι ισοσκελή, οπότε: , και .
Εφαρμόζουμε νόμο ημιτόνων στα τρίγωνα και και αντίστοιχα παίρνουμε:
και
Από και εφόσον , προκύπτει ότι και αφού έχουμε ότι το τρίγωνο είναι ισοσκελές (με , άρα ).
Έτσι από το παραλληλόγραμμο έχουμε ότι , επομένως .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
- Γιώργος Μήτσιος
- Δημοσιεύσεις: 1789
- Εγγραφή: Κυρ Ιούλ 01, 2012 10:14 am
- Τοποθεσία: Aρτα
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Χαιρετώ! Μια προσέγγιση 24 μέρες και .. ..11 χρόνια από την τελευταία ανάρτηση για το παρόν από τον Μιχάλη. Η τέμνει την στο . Το τρίγωνο έχει γωνίες άρα
Ο Νόμος Ημιτόνων (Ν.Η) στο δίνει άρα και .
Είναι και παλι ο Ν.Η στο δίνει και στο :
Με διαίρεση κατά μέλη προκύπτει ενώ στο ο ίδιος νόμος δίνει
Από αυτές παίρνουμε με συνεπώς όπως και ΕΔΩ είναι
Φιλικά, Γιώργος.
-
- Δημοσιεύσεις: 2770
- Εγγραφή: Παρ Ιαν 11, 2013 4:17 am
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Re: Βρείτε τη γωνία χ (12)
Μια τριγωνομετρικογεωμετρική..λύσηΜιχάλης Νάννος έγραψε: ↑Κυρ Μάιος 30, 2010 10:56 pmΔίνεται , , και ΑΔ=ΒΓ. Βρείτε τη γωνία .
x12.png
Αν ,προφανώς
Με και
,
άρα
Ο κύκλος τέμνει την στο .Θα αποδείξουμε ότι
Από ν.ημιτόνων στο τρίγωνο ,
Θα δείξουμε λοιπόν ότι ή που είναι αληθής,επομένως
Έτσι,,συνεπώς εφάπτεται του κύκλου
,άρα κι εύκολα
Άρα,.Αλλά όμοια, άρα
Τελικά,.Τότε όμως τα τρίγωνα είναι ίσα,άρα
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης