ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 77η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Αγαπητέ Μιχάλη Καλημέρα.
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, τη συμμετοχή σου για τέταρτη φορά και την συμβολή σου στην εδώ παλιά προσπάθειά μου, αλλά και για τις πολύτιμες πληροφορίες που μας δίνεις, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου.
Ακόμη σε ευχαριστώ για την ανάρτηση της παραπάνω μιας ακόμη σχετικής απόδειξης, η οποία εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι δεν έχει σχέση με τις παραπάνω 69, οπότε και θα πάρει τον αριθμό 70, όταν μου δοθεί η ευκαιρία να εξακριβώσω τούτο και να πάρω οριστική θέση (Για την απόδειξη αυτή, έχω κάποια ερωτηματικά, στα οποία πιστεύω ότι θα απαντήσω).
Προ έξι ετών περίπου και που επανήλθα προ τεσσάρων ετών, σου είχα ζητήσει εδώ να μας δώσεις όλες τις σχετικές αποδείξεις που αναφέρεις ότι έχεις εντοπίσει και που είχες πει ότι θα εύρισκες ευκαιρία και θα μας τις έδινες. Όμως μέχρι τώρα δεν μας τις έδωσες. Τούτο όμως είναι ανάγκη εκ των πραγμάτων να υλοποιηθεί, καθώς τότε θα ξεκαθαρίσει η κατάσταση εδώ, αλλιώς το πρόβλημα αυτό θα παραμένει σε εκκρεμότητα. Θα μπορούσαμε δηλαδή έτσι να αποφανθούμε ποιες από τις εδώ αποδείξεις υπάρχουν πραγματικά στη βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αναθεωρήσουμε και τη θέση μας, για όσες από τις παραπάνω 69 αποδείξεις προϋπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία, όπως έγινε και με μια απόδειξη του Νεύτωνα,, που μου αφιέρωσες, προ ετών, η οποία αντικατέστησε μία δική μου και την οποία χαρακτήριζα ως νέα πρωτοεμφανιζόμενη.
Αυτός άλλωστε είναι και ένας λόγος που έχουμε προβεί στη δημοσίευσή τους στο mathematica, καθώς έτσι είναι δυνατό να ξεκαθαρίσουν πραγματικά ποιες αποδείξεις είναι νέες και πρωτοεμφανίζονται εδώ.
Χάρηκα, όταν προ τετραετίας μου αφιέρωσες εδώ στο mathematica την παραπάνω αναφερόμενη σχετική απόδειξη, η οποία όπως μου έγραψες, είχε επινοηθεί από τον Νεύτωνα και η οποία διαπίστωσα τότε ότι αυτή συνέπιπτε με μία δική μου από αυτές που χαρακτήριζα νέες. Η χαρά μου ήταν δικαιολογημένη, καθώς τούτο θεώρησα πολύ τιμητικό για μένα και κολακευτικό.
Δεν είναι κακό και απίθανο, κάποιες από τις παραπάνω 69 αποδείξεις να συμπίπτουν με κάποιες άλλες παλαιότερες της διεθνούς βιβλιογραφίας όλων των εποχών. Είναι όμως απίθανο να συμπίπτουν όλες, Όπως και εσύ αναγράφεις.
Πάντως τώρα εδώ «νέες και πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις» χαρακτηρίζουμε εκείνες που ΕΔΩ εμείς μέχρι τώρα βλέπουμε για πρώτη φορά. Μέχρι τότε που θα μας δοθούν παλαιές αποδείξεις που προϋπάρχουν, θα συνεχίζουμε να τις χαρακτηρίζουμε όπως πρώτα, μέχρι αποδείξεως του αντιθέτου, μετά θα αναθεωρήσουμε τον χαρακτηρισμό αυτό για κάποιες από αυτές που ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ προϋπάρχουν στη βιβλιογραφία.
Ας σημειωθεί εδώ, ότι μεταξύ άλλων, η κύρια προσπάθειά μας είναι να συγκεντρώσουμε όσο γίνεται περισσότερες νέες σχετικές αποδείξεις (νέες, παλαιές, αρχαίες, όσες υπάρχουν), αν είναι δυνατό και με τα ονόματα εκείνων που πρώτοι τις επινόησαν, καθώς ένας από τους στόχους μας είναι, αφού ξεκαθαρίσουν τα πράγματα, όλες αυτές να αποτελέσουν ένα βιβλίο, ανάλογο με το βιβλίο των αποδείξεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος, το οποίο ως γνωστό περιέχει περισσότερες από 500 αποδείξεις, μεταξύ των οποίων μάλιστα μερικές, έχουν επινοηθεί από πολύ μεγάλες προσωπικότητες.
Για να επιτευχθούν όμως τα παραπάνω απαιτείται μεγάλη συλλογική προσπάθεια και βοήθεια από τους φίλους, για αυτό άλλωστε τις δημοσιεύουμε και στο mathematica, όπως και παραπάνω αναφέραμε. Όσο για τις 46 αποδείξεις, που χαρακτηρίζω «δικές μου», θα τις χαρακτηρίζω έτσι, μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου, γιατί πιστεύω ότι οι περισσότερες είναι πραγματικά νέες, καθώς πολλές έχουν βασισθεί σε νέα λήμματα που επινόησα ειδικά, για να στηριχθούν οι αποδείξεις αυτές.
Μετά τα παραπάνω, παρακαλούμε το φίλο Μιχάλη, όπως και όποιον άλλο φίλο έχει υπόψη του κάποιες παλαιές σχετικές αποδείξεις να τις αναρτήσει εδώ, ώστε να λυθεί το πρόβλημά μας αυτό, για να μη διαιωνίζεται.
Επειδή είμαι πεπεισμένος ότι ο Μιχάλης θέλει, θα ανταποκριθεί στο κάλεσμά μας αυτό, όταν μπορέσει, τον ευχαριστούμε εκ των προτέρων.
Μου κάνει εντύπωση πως στο βιβλίο Ασκήσεων των Ιησουϊτών, δεν περιέχονται πολλές τέτοιες παλαιές σχετικές αποδείξεις. Στο βιβλίο αυτό στην παράγραφο 445, αναφέρεται το Θεώρημα αυτό και χαρακτηρίζεται ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη. Εκεί δίνεται μια πολύ γνωστή και έξυπνη απόδειξή του η οποία αναφέρεται ως απόδειξη Gauss, ενώ εμείς εδώ της έχουμε δώσει α. α. 1. Ακόμη στο ίδιο βιβλίο και στην παράγραφο 1397α, δίνεται και μια άλλη κομψή απόδειξη, που και αυτή συμπεριλαμβάνεται στις παραπάνω 69.
Όσο για την σχετική ομιλία σου Μιχάλη , που θα γίνει την 1-6-2017 στην Αθήνα, προφανώς πολύ θα ήθελα να την ακούσω, καθώς όπως εδώ γίνεται φανερό και εγώ έχω ασχοληθεί πολύ με το Θεώρημα αυτό (και όχι μόνο), ερευνώντας για πολλά χρόνια σε διάφορες βιβλιοθήκες κτλ, αλλά δυστυχώς δεν θα μπορέσω λόγω αποστάσεως. Ελπίζω όμως ότι θα αναρτηθεί στο mathematica και θα την απολαύσω.
Με μεγάλη αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
Σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρον σου, τη συμμετοχή σου για τέταρτη φορά και την συμβολή σου στην εδώ παλιά προσπάθειά μου, αλλά και για τις πολύτιμες πληροφορίες που μας δίνεις, για το Θεώρημα της σύγκλισης των υψών τριγώνου.
Ακόμη σε ευχαριστώ για την ανάρτηση της παραπάνω μιας ακόμη σχετικής απόδειξης, η οποία εκ πρώτης όψεως φαίνεται ότι δεν έχει σχέση με τις παραπάνω 69, οπότε και θα πάρει τον αριθμό 70, όταν μου δοθεί η ευκαιρία να εξακριβώσω τούτο και να πάρω οριστική θέση (Για την απόδειξη αυτή, έχω κάποια ερωτηματικά, στα οποία πιστεύω ότι θα απαντήσω).
Προ έξι ετών περίπου και που επανήλθα προ τεσσάρων ετών, σου είχα ζητήσει εδώ να μας δώσεις όλες τις σχετικές αποδείξεις που αναφέρεις ότι έχεις εντοπίσει και που είχες πει ότι θα εύρισκες ευκαιρία και θα μας τις έδινες. Όμως μέχρι τώρα δεν μας τις έδωσες. Τούτο όμως είναι ανάγκη εκ των πραγμάτων να υλοποιηθεί, καθώς τότε θα ξεκαθαρίσει η κατάσταση εδώ, αλλιώς το πρόβλημα αυτό θα παραμένει σε εκκρεμότητα. Θα μπορούσαμε δηλαδή έτσι να αποφανθούμε ποιες από τις εδώ αποδείξεις υπάρχουν πραγματικά στη βιβλιογραφία, έτσι ώστε να αναθεωρήσουμε και τη θέση μας, για όσες από τις παραπάνω 69 αποδείξεις προϋπάρχουν στη διεθνή βιβλιογραφία, όπως έγινε και με μια απόδειξη του Νεύτωνα,, που μου αφιέρωσες, προ ετών, η οποία αντικατέστησε μία δική μου και την οποία χαρακτήριζα ως νέα πρωτοεμφανιζόμενη.
Αυτός άλλωστε είναι και ένας λόγος που έχουμε προβεί στη δημοσίευσή τους στο mathematica, καθώς έτσι είναι δυνατό να ξεκαθαρίσουν πραγματικά ποιες αποδείξεις είναι νέες και πρωτοεμφανίζονται εδώ.
Χάρηκα, όταν προ τετραετίας μου αφιέρωσες εδώ στο mathematica την παραπάνω αναφερόμενη σχετική απόδειξη, η οποία όπως μου έγραψες, είχε επινοηθεί από τον Νεύτωνα και η οποία διαπίστωσα τότε ότι αυτή συνέπιπτε με μία δική μου από αυτές που χαρακτήριζα νέες. Η χαρά μου ήταν δικαιολογημένη, καθώς τούτο θεώρησα πολύ τιμητικό για μένα και κολακευτικό.
Δεν είναι κακό και απίθανο, κάποιες από τις παραπάνω 69 αποδείξεις να συμπίπτουν με κάποιες άλλες παλαιότερες της διεθνούς βιβλιογραφίας όλων των εποχών. Είναι όμως απίθανο να συμπίπτουν όλες, Όπως και εσύ αναγράφεις.
Πάντως τώρα εδώ «νέες και πρωτοεμφανιζόμενες αποδείξεις» χαρακτηρίζουμε εκείνες που ΕΔΩ εμείς μέχρι τώρα βλέπουμε για πρώτη φορά. Μέχρι τότε που θα μας δοθούν παλαιές αποδείξεις που προϋπάρχουν, θα συνεχίζουμε να τις χαρακτηρίζουμε όπως πρώτα, μέχρι αποδείξεως του αντιθέτου, μετά θα αναθεωρήσουμε τον χαρακτηρισμό αυτό για κάποιες από αυτές που ΑΠΟΔΕΔΕΙΓΜΕΝΑ προϋπάρχουν στη βιβλιογραφία.
Ας σημειωθεί εδώ, ότι μεταξύ άλλων, η κύρια προσπάθειά μας είναι να συγκεντρώσουμε όσο γίνεται περισσότερες νέες σχετικές αποδείξεις (νέες, παλαιές, αρχαίες, όσες υπάρχουν), αν είναι δυνατό και με τα ονόματα εκείνων που πρώτοι τις επινόησαν, καθώς ένας από τους στόχους μας είναι, αφού ξεκαθαρίσουν τα πράγματα, όλες αυτές να αποτελέσουν ένα βιβλίο, ανάλογο με το βιβλίο των αποδείξεων του Πυθαγορείου Θεωρήματος, το οποίο ως γνωστό περιέχει περισσότερες από 500 αποδείξεις, μεταξύ των οποίων μάλιστα μερικές, έχουν επινοηθεί από πολύ μεγάλες προσωπικότητες.
Για να επιτευχθούν όμως τα παραπάνω απαιτείται μεγάλη συλλογική προσπάθεια και βοήθεια από τους φίλους, για αυτό άλλωστε τις δημοσιεύουμε και στο mathematica, όπως και παραπάνω αναφέραμε. Όσο για τις 46 αποδείξεις, που χαρακτηρίζω «δικές μου», θα τις χαρακτηρίζω έτσι, μέχρις αποδείξεως του αντιθέτου, γιατί πιστεύω ότι οι περισσότερες είναι πραγματικά νέες, καθώς πολλές έχουν βασισθεί σε νέα λήμματα που επινόησα ειδικά, για να στηριχθούν οι αποδείξεις αυτές.
Μετά τα παραπάνω, παρακαλούμε το φίλο Μιχάλη, όπως και όποιον άλλο φίλο έχει υπόψη του κάποιες παλαιές σχετικές αποδείξεις να τις αναρτήσει εδώ, ώστε να λυθεί το πρόβλημά μας αυτό, για να μη διαιωνίζεται.
Επειδή είμαι πεπεισμένος ότι ο Μιχάλης θέλει, θα ανταποκριθεί στο κάλεσμά μας αυτό, όταν μπορέσει, τον ευχαριστούμε εκ των προτέρων.
Μου κάνει εντύπωση πως στο βιβλίο Ασκήσεων των Ιησουϊτών, δεν περιέχονται πολλές τέτοιες παλαιές σχετικές αποδείξεις. Στο βιβλίο αυτό στην παράγραφο 445, αναφέρεται το Θεώρημα αυτό και χαρακτηρίζεται ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη. Εκεί δίνεται μια πολύ γνωστή και έξυπνη απόδειξή του η οποία αναφέρεται ως απόδειξη Gauss, ενώ εμείς εδώ της έχουμε δώσει α. α. 1. Ακόμη στο ίδιο βιβλίο και στην παράγραφο 1397α, δίνεται και μια άλλη κομψή απόδειξη, που και αυτή συμπεριλαμβάνεται στις παραπάνω 69.
Όσο για την σχετική ομιλία σου Μιχάλη , που θα γίνει την 1-6-2017 στην Αθήνα, προφανώς πολύ θα ήθελα να την ακούσω, καθώς όπως εδώ γίνεται φανερό και εγώ έχω ασχοληθεί πολύ με το Θεώρημα αυτό (και όχι μόνο), ερευνώντας για πολλά χρόνια σε διάφορες βιβλιοθήκες κτλ, αλλά δυστυχώς δεν θα μπορέσω λόγω αποστάσεως. Ελπίζω όμως ότι θα αναρτηθεί στο mathematica και θα την απολαύσω.
Με μεγάλη αγάπη και εκτίμηση
Νίκος Κυριαζής
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Είδα το βίντεο με την ομιλία του φίλου καθηγητού Μιχάλη Λάμπρου, της 1-6-2017, κάπως καθυστερημένα λόγω επειγουσών υποχρεώσεών μου, την οποία περίμενα με χαρά να απολαύσω, καθώς όπως είναι γνωστό με ενδιέφερε πολύ το θέμα στο οποίο αναφερόταν (ιστορική διαδρομή των αποδείξεων του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου), αλλά και λόγω της μεγάλης πείρας και των μεγάλων σχετικών δυνατοτήτων του ομιλητή.
Όμως, πολύ γρήγορα το βίντεο με απογοήτευσε, γιατί υπάρχουν πολλά προβλήματα ακουστικά, λόγω της δημιουργουμένης αντήχησης και οπτικά, καθώς τα σχήματα του μαυροπίνακα, σε λίγες περιπτώσεις είναι ορατά. Ίσως συνέβαλαν και οι δικές μου μειωμένες ακουστικότητα και ορατότητα.
Τελικά θεωρώ ότι το βίντεο αδίκησε κατά πολύ την ομιλία, η οποία σε γενικές γραμμές ήταν τέλεια από κάθε πλευρά, όσο μπόρεσα να την δω και να την ακούσω. Κρίμα όμως που δεν μπόρεσα να την απολαύσω, όπως περίμενα, λόγω βίντεο.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
Όμως, πολύ γρήγορα το βίντεο με απογοήτευσε, γιατί υπάρχουν πολλά προβλήματα ακουστικά, λόγω της δημιουργουμένης αντήχησης και οπτικά, καθώς τα σχήματα του μαυροπίνακα, σε λίγες περιπτώσεις είναι ορατά. Ίσως συνέβαλαν και οι δικές μου μειωμένες ακουστικότητα και ορατότητα.
Τελικά θεωρώ ότι το βίντεο αδίκησε κατά πολύ την ομιλία, η οποία σε γενικές γραμμές ήταν τέλεια από κάθε πλευρά, όσο μπόρεσα να την δω και να την ακούσω. Κρίμα όμως που δεν μπόρεσα να την απολαύσω, όπως περίμενα, λόγω βίντεο.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Νίκο πρώτα απ' όλα ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και για όλη την παρουσία σου στη Γεωμετρία.ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Μου κάνει εντύπωση πως στο βιβλίο Ασκήσεων των Ιησουϊτών, δεν περιέχονται πολλές τέτοιες παλαιές σχετικές αποδείξεις. Στο βιβλίο αυτό στην παράγραφο 445, αναφέρεται το Θεώρημα αυτό και χαρακτηρίζεται ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη. Εκεί δίνεται μια πολύ γνωστή και έξυπνη απόδειξή του η οποία αναφέρεται ως απόδειξη Gauss, ενώ εμείς εδώ της έχουμε δώσει α. α. 1. Ακόμη στο ίδιο βιβλίο και στην παράγραφο 1397α, δίνεται και μια άλλη κομψή απόδειξη, που και αυτή συμπεριλαμβάνεται στις παραπάνω 69.
Όπως είπα στην ομιλία μου, το βιβλίο των Ιησουιτών παράγραφος 445, αναφέρεται στο Θεώρημα των υψών ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη επειδή ο ίδιος το αναφέρει και το χρησιμοποιεί (χωρίς απόδειξη) στην Πρόταση 5 του Περί Λημμάτων του. Η ίδια η απόδειξη είναι μεν χαμένη αλλά υπάρχει στα συμφραζόμενα στο Αρχαί της Γεωμετρίας του (μόνο σε Αραβική μετάφραση) Πρόταση 5.
Στην ομιλία μου έκανα ανασύσταση τουλάχιστον αποδείξεων τις οποίες σίγουρα γνώριζαν οι αρχαίοι για το Θεώρημα των υψών, αν και η ίδια η απόδειξη ατόφια δεν σώζεται στα αρχαία. Και στις περιπτώσεις, η ανασύστασή μου έγκειται στην συμπλήρωση ενός τετριμμένου βήματος σε έναν σωζόμενο συλλογισμό κάποιου αρχαίου (Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Απολλώνιος, Μενέλαος) σε κάποιο θεώρημά του. Μία από αυτές είναι αυτή στην παράγραφο 1397α των Ιησουιτών. Τονίζω ότι και το ευθύ και το αντίστροφο της εν λόγω ιδιότητας (παράγραφος 1397α) των υψών χρησιμοποιείται πολλές φορές από τον Απολλώνιο.
Η κομψή απόδειξη του Gauss υπάρχει στο παράρτημα της Γερμανικής μετάφρασης εκ του Γαλλικού του Geometrie de position του Carnot (1810). Ο Gauss την επινόησε το 1803 ή 1804 κατά μαρτυρία του Schumacher, αλλά έμεινε αδημοσίευτη μέχρι το 1810. H ίδια απόδειξη υπάρχει επίσης ως άσκηση με εκτενή υπόδειξη σε ένα βιβλιαράκι του Servois (1804) με "άγνωστες και ενδιαφέρουσες ασκήσεις Γεωμετρίας", ο οποίος την επινόησε ανεξάρτητα. Τα σχετικά με το θέμα τα αναφέρω στην ομιλία μου.
Υ.Γ. Κάποια ώρα σήμερα ή αύριο θα προσθέσω άλλη μία απόδειξη του Θεωρήματος περί υψών που πηγάζει από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη (με προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος σε κάτι που γράφει ο ίδιος).
Πράγματι, η λήψη έγινε με τις μικρές τεχνικές δυνατότητες που θα μπορούσαν να έχουν οι οργανωτές. Δυστυχώς η Πολιτεία δεν βοηθά, και ό,τι κάνουν οι οργανωτές είναι με το μεράκι τους και με δικά τους έξοδα.ΝΙΚΟΣ έγραψε: το βίντεο με απογοήτευσε, γιατί υπάρχουν πολλά προβλήματα ακουστικά, λόγω της δημιουργουμένης αντήχησης και οπτικά, καθώς τα σχήματα του μαυροπίνακα, σε λίγες περιπτώσεις είναι ορατά.
Υπόσχομαι να επαναλάβω την ομιλία σε ευρύ κοινό όταν θα ξαναέλθω στην Θεσσαλονίκη: Την επανέλαβα πρόσφατα στα Γιαννιτσά με την ελπίδα να έλθουν και οι Θεσσαλονικείς, και μερικοί πράγματι ήλθαν, αλλά όχι πολλοί. Αυτή την στιγμή προγραμματίζω να έλθω Θεσσαλονίκη στις 21-22 Οκτωβρίου 2017 για κάτι σεμινάρια που θα κάνω προς μαθητές και, χωριστά, σε Καθηγητές που οργανώνει η Σχολή Καλαμαρί (οι σχετικές ομιλίες δεν έχουν ανακοινωθεί ακόμα δημοσία). Μπορεί να έλθω νωρίτερα από τον Οκτώβριο, οπότε αλλά θα σας κρατώ ενήμερους. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θα επαναλάβω την ομιλία: Στην πραγματικότητα το υλικό που έχω είναι τεράστιο, που τρομάζω με την ιδέα να το καταγράψω. Πάντως το ουσιαστικό μέρος είναι στην ομιλία.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Συνεχίζω το παραπάνω καθώς και αυτό που έγραψα εδώ.
Δίνω (με προσθήκη ενός τετριμμένου μόνο βήματος) μια απόδειξη από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη στο Περί Λημμάτων, Πρόταση 12, ότι τα ύψη συγκλίνουν. Κοντολογίς, γράφω μία νέα απόδειξη που όμως, στην πραγματικότητα, είναι παμπάλαια. Απλά η μοίρα και ο χρόνος μας στέρησαν το πλήρες έργο του Αρχιμήδη, οπότε συμπληρώνουμε τα κενά.
Απόδειξη ουσιαστικά του Αρχιμήδη: Φέρνουμε τα ύψη και μετά τις εφαπτόμενες στα του κύκλου . Θα δείξουμε ότι α) η διέρχεται από το και β) η είναι κάθετος στην . Αυτό δείχνει ότι η (που βέβαια ταυτίζεται με την ) είναι ύψος του τριγώνου, που είναι το ζητούμενο.
α) Από το εγράψιμμο είναι (υπό χορδής και εφαπτομένης). Από την απόδειξη εδώ για το οποίο ο Αρχιμήδης παραπέμπει στο Περί τετραπλεύρων του, ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα τις ίσες διέρχεται από το . Επίσης η είναι διάμετρος του κύκλου αυτού καθώς η είναι ορθή. Άρα το ως κέντρο του κύκλου περιέχεται στην διάμετρο. Με άλλα λόγια η διέρχεται από το , όπως θέλαμε να δείξουμε.
β) Επειδή (ισοσκελές), το είναι εγγράψιμμο. Άρα η γωνία είναι ορθή, όσο η απέναντί της , όπως θέλαμε να δείξουμε. ο.ε.δ.
Σχόλιο: Η απόδειξη ουσιαστικά υπάρχει στο προαναφερθέν μισοχαμένο κείμενο του Αρχιμήδη (σε Αραβική μόνο μετάφραση). Η δική μου προσθήκη είναι το τετριμμένο βήμα που σημείωσα με μπλε χρώμα. Δεδομένου ότι ο Αρχιμήδης ήξερε το Θεώρημα, καθώς το χρησιμοποιεί στην Πρόταση 5, πιθανότατα το παραπάνω είναι μία από τις αποδείξεις που γνώριζε. Μία δεύτερη προκύπτει πάλι με προσθήκη τετριμμένου βήματος στο επίσης μισοχαμένο έργο του Αρχαί της Γεωμετρίας, Πρόταση 5.
.
Δίνω (με προσθήκη ενός τετριμμένου μόνο βήματος) μια απόδειξη από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη στο Περί Λημμάτων, Πρόταση 12, ότι τα ύψη συγκλίνουν. Κοντολογίς, γράφω μία νέα απόδειξη που όμως, στην πραγματικότητα, είναι παμπάλαια. Απλά η μοίρα και ο χρόνος μας στέρησαν το πλήρες έργο του Αρχιμήδη, οπότε συμπληρώνουμε τα κενά.
Απόδειξη ουσιαστικά του Αρχιμήδη: Φέρνουμε τα ύψη και μετά τις εφαπτόμενες στα του κύκλου . Θα δείξουμε ότι α) η διέρχεται από το και β) η είναι κάθετος στην . Αυτό δείχνει ότι η (που βέβαια ταυτίζεται με την ) είναι ύψος του τριγώνου, που είναι το ζητούμενο.
α) Από το εγράψιμμο είναι (υπό χορδής και εφαπτομένης). Από την απόδειξη εδώ για το οποίο ο Αρχιμήδης παραπέμπει στο Περί τετραπλεύρων του, ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα τις ίσες διέρχεται από το . Επίσης η είναι διάμετρος του κύκλου αυτού καθώς η είναι ορθή. Άρα το ως κέντρο του κύκλου περιέχεται στην διάμετρο. Με άλλα λόγια η διέρχεται από το , όπως θέλαμε να δείξουμε.
β) Επειδή (ισοσκελές), το είναι εγγράψιμμο. Άρα η γωνία είναι ορθή, όσο η απέναντί της , όπως θέλαμε να δείξουμε. ο.ε.δ.
Σχόλιο: Η απόδειξη ουσιαστικά υπάρχει στο προαναφερθέν μισοχαμένο κείμενο του Αρχιμήδη (σε Αραβική μόνο μετάφραση). Η δική μου προσθήκη είναι το τετριμμένο βήμα που σημείωσα με μπλε χρώμα. Δεδομένου ότι ο Αρχιμήδης ήξερε το Θεώρημα, καθώς το χρησιμοποιεί στην Πρόταση 5, πιθανότατα το παραπάνω είναι μία από τις αποδείξεις που γνώριζε. Μία δεύτερη προκύπτει πάλι με προσθήκη τετριμμένου βήματος στο επίσης μισοχαμένο έργο του Αρχαί της Γεωμετρίας, Πρόταση 5.
.
- Συνημμένα
-
- Arhimidis ipsi 2.png (12.52 KiB) Προβλήθηκε 2551 φορές
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 71η ΑΠΟΔΕΙΞΗΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Mihalis_Lambrou έγραψε:Όπως ανέφερα εδώ, βάζω μία απόδειξη ότι τα ύψη τριγώνου συγκλίνουν. Είναι από την Γεωμετρία του Hofmann, Teutscher Euclides, σελίδες 66-68, που εκδόθηκε το στα Γερμανικά. Μπορείτε να δείτε αντίτυπο του βιβλίου εδώ. Προσοχή, είναι γραμμένο σε γοτθικό αλφάβητο, όπως συνηθιζόταν τότε.
Σχεδόν όλες οι αποδείξεις του θεωρήματος στο παρόν θρεντ υπάρχουν στα παλιά και παμπάλαια βιβλία, στα οποία βρίσκει κανείς και άλλες ακόμη, όπως αυτή που ακολουθεί. Είναι πολλή δουλειά να δώσω μία προς μία τις παραπομπές (και έχω αργό ιντερνέτ), αλλά θα το κάνω για τις σημαντικότερες στην επικείμενη ομιλία μου (βλέπε τον παραπάνω σύνδεσμο).
Αντιγράφω από τον Hofmann:
Φέρνουμε τα ύψη του τριγώνου τα οποία τέμνονται στο . Θα δείξουμε ότι το είναι κάθετο στην .
Φέρνουμε από τα τις παράλληλες προς την βάση . Εύκολα βλέπουμε ότι τα τρίγωνα είναι όμοια, όπως επίσης τα . Άρα
και .
Με διαίρεση κατά μέλη των δύο έπεται
και .
Αλλά το μεν και το .
Άρα , οπότε και (προσθέτουμε τον αριθμητή στον παρονομαστή) είναι
.
Αλλά , οπότε . Έπεται ότι το έχει τις ίσες και παράλληλες, οπότε είναι παραλληλόγραμμο. Ειδικά η είναι παράλληλη της και άρα κάθετη στην , όπως θέλαμε.
(αμέσως από κάτω από το σχήμα που ακολουθεί βάζω ένα pdf με δύο σχετικές σελίδες από το εν λόγω βιβλίο του Hofmann)
Αγαπητέ Μιχάλη
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
Είναι γεγονός ότι με την παραπάνω απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 70η πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη.
Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου εδώ για πέμπτη φορά και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας.
Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι για την 71η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την 47η.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 71η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Χαιρετώ τον Νίκο Κυριαζή και τους φίλους εδώ στο mathematica.
Ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί για το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν, με την ελπίδα να μην έπεσα σε κάτι μη πρωτότυπο:
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Οι συμμετρικοί του ως προς τις πλευρές αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο εσωτερικό του τριγώνου αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, επί της κορυφής αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή και εξωτερικό προς το ίδιο ημιεπίπεδο με τη κορυφή αν Στη περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου η απόδειξη είναι προφανής. Αν έχουμε οξυγώνιο τρίγωνο, τότε οι κύκλοι είναι ίσοι. Παρατηρούμε ότι Αυτό σημαίνει ότι ο περιεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο είναι συμμετρικός του ως προς την άρα έχουμε ότι οι κύκλοι είναι ίσοι. Τότε Άρα παίρνουμε που οδηγεί στο ότι το είναι σημείο τομής των υψών. Ακολουθούμε την ίδια ακριβώς μέθοδο στην περίπτωση που μόνο που τότε το θα βρίσκεται όπως είπαμε εκτός του τριγώνου.
Ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί για το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν, με την ελπίδα να μην έπεσα σε κάτι μη πρωτότυπο:
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Οι συμμετρικοί του ως προς τις πλευρές αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο εσωτερικό του τριγώνου αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, επί της κορυφής αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή και εξωτερικό προς το ίδιο ημιεπίπεδο με τη κορυφή αν Στη περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου η απόδειξη είναι προφανής. Αν έχουμε οξυγώνιο τρίγωνο, τότε οι κύκλοι είναι ίσοι. Παρατηρούμε ότι Αυτό σημαίνει ότι ο περιεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο είναι συμμετρικός του ως προς την άρα έχουμε ότι οι κύκλοι είναι ίσοι. Τότε Άρα παίρνουμε που οδηγεί στο ότι το είναι σημείο τομής των υψών. Ακολουθούμε την ίδια ακριβώς μέθοδο στην περίπτωση που μόνο που τότε το θα βρίσκεται όπως είπαμε εκτός του τριγώνου.
- Συνημμένα
-
- συντρέχουν.png (28.78 KiB) Προβλήθηκε 2502 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Mihalis_Lambrou έγραψε:Νίκο πρώτα απ' όλα ευχαριστώ για τα καλά σου λόγια και για όλη την παρουσία σου στη Γεωμετρία.ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Μου κάνει εντύπωση πως στο βιβλίο Ασκήσεων των Ιησουϊτών, δεν περιέχονται πολλές τέτοιες παλαιές σχετικές αποδείξεις. Στο βιβλίο αυτό στην παράγραφο 445, αναφέρεται το Θεώρημα αυτό και χαρακτηρίζεται ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη. Εκεί δίνεται μια πολύ γνωστή και έξυπνη απόδειξή του η οποία αναφέρεται ως απόδειξη Gauss, ενώ εμείς εδώ της έχουμε δώσει α. α. 1. Ακόμη στο ίδιο βιβλίο και στην παράγραφο 1397α, δίνεται και μια άλλη κομψή απόδειξη, που και αυτή συμπεριλαμβάνεται στις παραπάνω 69.
Όπως είπα στην ομιλία μου, το βιβλίο των Ιησουιτών παράγραφος 445, αναφέρεται στο Θεώρημα των υψών ως πέμπτο λήμμα του Αρχιμήδη επειδή ο ίδιος το αναφέρει και το χρησιμοποιεί (χωρίς απόδειξη) στην Πρόταση 5 του Περί Λημμάτων του. Η ίδια η απόδειξη είναι μεν χαμένη αλλά υπάρχει στα συμφραζόμενα στο Αρχαί της Γεωμετρίας του (μόνο σε Αραβική μετάφραση) Πρόταση 5.
Στην ομιλία μου έκανα ανασύσταση τουλάχιστον αποδείξεων τις οποίες σίγουρα γνώριζαν οι αρχαίοι για το Θεώρημα των υψών, αν και η ίδια η απόδειξη ατόφια δεν σώζεται στα αρχαία. Και στις περιπτώσεις, η ανασύστασή μου έγκειται στην συμπλήρωση ενός τετριμμένου βήματος σε έναν σωζόμενο συλλογισμό κάποιου αρχαίου (Ευκλείδης, Αρχιμήδης, Απολλώνιος, Μενέλαος) σε κάποιο θεώρημά του. Μία από αυτές είναι αυτή στην παράγραφο 1397α των Ιησουιτών. Τονίζω ότι και το ευθύ και το αντίστροφο της εν λόγω ιδιότητας (παράγραφος 1397α) των υψών χρησιμοποιείται πολλές φορές από τον Απολλώνιο.
Η κομψή απόδειξη του Gauss υπάρχει στο παράρτημα της Γερμανικής μετάφρασης εκ του Γαλλικού του Geometrie de position του Carnot (1810). Ο Gauss την επινόησε το 1803 ή 1804 κατά μαρτυρία του Schumacher, αλλά έμεινε αδημοσίευτη μέχρι το 1810. H ίδια απόδειξη υπάρχει επίσης ως άσκηση με εκτενή υπόδειξη σε ένα βιβλιαράκι του Servois (1804) με "άγνωστες και ενδιαφέρουσες ασκήσεις Γεωμετρίας", ο οποίος την επινόησε ανεξάρτητα. Τα σχετικά με το θέμα τα αναφέρω στην ομιλία μου.
Υ.Γ. Κάποια ώρα σήμερα ή αύριο θα προσθέσω άλλη μία απόδειξη του Θεωρήματος περί υψών που πηγάζει από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη (με προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος σε κάτι που γράφει ο ίδιος).
Πράγματι, η λήψη έγινε με τις μικρές τεχνικές δυνατότητες που θα μπορούσαν να έχουν οι οργανωτές. Δυστυχώς η Πολιτεία δεν βοηθά, και ό,τι κάνουν οι οργανωτές είναι με το μεράκι τους και με δικά τους έξοδα.ΝΙΚΟΣ έγραψε: το βίντεο με απογοήτευσε, γιατί υπάρχουν πολλά προβλήματα ακουστικά, λόγω της δημιουργουμένης αντήχησης και οπτικά, καθώς τα σχήματα του μαυροπίνακα, σε λίγες περιπτώσεις είναι ορατά.
Υπόσχομαι να επαναλάβω την ομιλία σε ευρύ κοινό όταν θα ξαναέλθω στην Θεσσαλονίκη: Την επανέλαβα πρόσφατα στα Γιαννιτσά με την ελπίδα να έλθουν και οι Θεσσαλονικείς, και μερικοί πράγματι ήλθαν, αλλά όχι πολλοί. Αυτή την στιγμή προγραμματίζω να έλθω Θεσσαλονίκη στις 21-22 Οκτωβρίου 2017 για κάτι σεμινάρια που θα κάνω προς μαθητές και, χωριστά, σε Καθηγητές που οργανώνει η Σχολή Καλαμαρί (οι σχετικές ομιλίες δεν έχουν ανακοινωθεί ακόμα δημοσία). Μπορεί να έλθω νωρίτερα από τον Οκτώβριο, οπότε αλλά θα σας κρατώ ενήμερους. Με τον ένα ή τον άλλο τρόπο, θα επαναλάβω την ομιλία: Στην πραγματικότητα το υλικό που έχω είναι τεράστιο, που τρομάζω με την ιδέα να το καταγράψω. Πάντως το ουσιαστικό μέρος είναι στην ομιλία.
Μιχάλη Καλησπέρα.
Δεν μου αρέσει να γράφω καλά λόγια, για να γίνομαι αρεστός και αγαπητός, αν δεν τα πιστεύω. Απλά κάνω διαπιστώσεις, τις οποίες εκφράζω, που μπορεί και να μην αρέσουν.
Έτσι, πολλοί φίλοι, που παλιότερα συμμετείχαν πολύ ενεργά στις αναρτήσεις μου στο mathematica, τώρα έχουν χαθεί.
Μιχάλη, όσο για τη βοήθεια της Πολιτείας που γράφεις, πραγματικά αδιαφορεί παντελώς. Τούτο διαπίστωσα τα τελευταία τριάντα χρόνια, που ότι και αν ζήτησα, αφού με βασάνισαν για πολύ, στέλνοντας με από τον «Άννα στον Καϊάφα», τελειωμό δεν βρήκα. Τούτο μου συμβαίνει και σήμερα που σου γράφω.
Μια άλλη ευκαιρία, για να απολαύσω την ομιλία σου, που έκανες στα Γιαννιτσά, χάθηκε, καθώς το πείρα χαμπάρι την επόμενη, οπότε ήταν αργά. Έτσι, αναμένω εκείνη της Θεσσαλονίκης, αν είμαστε καλά.
Παράπονα έχω και για την συμπεριφορά στη Γεωμετρία ορισμένων, που έχω διαπιστώσει, ότι δυστυχώς υπάρχουν και πολλοί Έλληνες, εχθροί της Γεωμετρίας ή που δεν ενδιαφέρονται, ισχυριζόμενοι ότι η Γεωμετρία δεν χρειάζεται. Προσωπικά πιστεύω ότι η Γεωμετρία τους δυσκολεύει και την αποφεύγουν (Ομφακές είσιν), καταφεύγοντας σε πιο εύκολα πράγματα.
Τελευταία μάλιστα γνώρισα και Έλληνα Dieudonne′, ο οποίος παλιότερα ήταν φίλος της Γεωμετρίας και τώρα έγινε φανατικός εχθρός της, προφανώς γιατί δεν μπόρεσε να αναδειχθεί με τη Γεωμετρία.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Απλά παρεμβαίνω στο σημείο αυτό, γιατί αισθάνομαι την ανάγκη να επικροτήσω απόλυτα την ερμηνεία αυτή του ΝΙΚΟΥ ΚΥΡΙΑΖΉ.ΝΙΚΟΣ έγραψε: Παράπονα έχω και για την συμπεριφορά στη Γεωμετρία ορισμένων, που έχω διαπιστώσει, ότι δυστυχώς υπάρχουν και πολλοί Έλληνες, εχθροί της Γεωμετρίας ή που δεν ενδιαφέρονται, ισχυριζόμενοι ότι η Γεωμετρία δεν χρειάζεται. Προσωπικά πιστεύω ότι η Γεωμετρία τους δυσκολεύει και την αποφεύγουν (Ομφακές είσιν), καταφεύγοντας σε πιο εύκολα πράγματα.
Τελευταία μάλιστα γνώρισα και Έλληνα Dieudonne′, ο οποίος παλιότερα ήταν φίλος της Γεωμετρίας και τώρα έγινε φανατικός εχθρός της, προφανώς γιατί δεν μπόρεσε να αναδειχθεί με τη Γεωμετρία.
Κατά την άποψη μου ο "εχθρός" της Γεωμετρικής σκέψης είναι σίγουρα "εχθρός" και της Μαθηματικής σκέψης. Για να μπούν στη Πατρίδα αυτή τα πράγματα στη θέση τους θα πρέπει να βρεθεί τρόπος, ώστε η Ευκλείδεια Γεωμετρία να εξετάζεται ως Μάθημα εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση σε σχολές όπου τα Μαθηματικά είναι Μάθημα με συντελεστή βαρύτητας που παίζει ρόλο για την εισαγωγή στην αντίστοιχη σχολή. Άλλως θα διαπιστώνεται χρόνο με το χρόνο και σε συνεχή βάση το κόστος λόγω της "αποκαθήλωσης" της διδασκαλίας Γεωμετρίας από κάποιους υπεύθυνους σαν και αυτούς που περιγράφει ο Νίκος, και με την ολοένα μειούμενη απόδοση των υποψηφίων σε Μαθηματικές εξετάσεις, όποια και αν είναι τα θέματα με στοιχειώδη αξιοπρέπεια εκεί.
Ακόμα και στο πλέον απλό θέμα ενός Γεωμετρικού Τόπου ή μίας Γεωμετρικής Κατασκευής ο Νους "εξασκείται", άρα δυναμώνει στις κορυφαίες διαδικασίες της επιστημονικής σκέψης που είναι: Η Ανάλυση, Η σύνθεση , Η απόδειξη (της αλήθειας της σύνθεσης), Η διερεύνηση, αφού έχουν προηγηθεί η Διαισθητική αντίληψη και το αποτέλεσμα της Αφαιρετικής ικανότητας της σκέψης.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Mihalis_Lambrou έγραψε:Συνεχίζω το παραπάνω καθώς και αυτό που έγραψα εδώ.
Δίνω (με προσθήκη ενός τετριμμένου μόνο βήματος) μια απόδειξη από τα συμφραζόμενα του Αρχιμήδη στο Περί Λημμάτων, Πρόταση 12, ότι τα ύψη συγκλίνουν. Κοντολογίς, γράφω μία νέα απόδειξη που όμως, στην πραγματικότητα, είναι παμπάλαια. Απλά η μοίρα και ο χρόνος μας στέρησαν το πλήρες έργο του Αρχιμήδη, οπότε συμπληρώνουμε τα κενά.
Απόδειξη ουσιαστικά του Αρχιμήδη: Φέρνουμε τα ύψη και μετά τις εφαπτόμενες στα του κύκλου . Θα δείξουμε ότι α) η διέρχεται από το και β) η είναι κάθετος στην . Αυτό δείχνει ότι η (που βέβαια ταυτίζεται με την ) είναι ύψος του τριγώνου, που είναι το ζητούμενο.
α) Από το εγράψιμμο είναι (υπό χορδής και εφαπτομένης). Από την απόδειξη εδώ για το οποίο ο Αρχιμήδης παραπέμπει στο Περί τετραπλεύρων του, ο κύκλος με κέντρο και ακτίνα τις ίσες διέρχεται από το . Επίσης η είναι διάμετρος του κύκλου αυτού καθώς η είναι ορθή. Άρα το ως κέντρο του κύκλου περιέχεται στην διάμετρο. Με άλλα λόγια η διέρχεται από το , όπως θέλαμε να δείξουμε.
β) Επειδή (ισοσκελές), το είναι εγγράψιμμο. Άρα η γωνία είναι ορθή, όσο η απέναντί της , όπως θέλαμε να δείξουμε. ο.ε.δ.
Σχόλιο: Η απόδειξη ουσιαστικά υπάρχει στο προαναφερθέν μισοχαμένο κείμενο του Αρχιμήδη (σε Αραβική μόνο μετάφραση). Η δική μου προσθήκη είναι το τετριμμένο βήμα που σημείωσα με μπλε χρώμα. Δεδομένου ότι ο Αρχιμήδης ήξερε το Θεώρημα, καθώς το χρησιμοποιεί στην Πρόταση 5, πιθανότατα το παραπάνω είναι μία από τις αποδείξεις που γνώριζε. Μία δεύτερη προκύπτει πάλι με προσθήκη τετριμμένου βήματος στο επίσης μισοχαμένο έργο του Αρχαί της Γεωμετρίας, Πρόταση 5.
.
Αγαπητέ Μιχάλη
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
Είναι γεγονός ότι με την παραπάνω απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 71η πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη (Απόδειξη του Αρχιμήδη, όπως την ονομάζεις).
Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου εδώ για έκτη φορά και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας.
Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι για την 72η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την η.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
- Γιώργος Ρίζος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 29, 2008 1:18 pm
- Τοποθεσία: Κέρκυρα
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Καλησπέρα σε όλους.
Φαντάζομαι ότι η απόδειξη που αναρτώ είναι εκτός αρίθμησης, πλην όμως, νομίζω ότι είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση για την τάξη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου (εφόσον εξακολουθήσουν να υπάρχουν στο Νέο Λύκειο).
Παρακαλώ μη με ρωτήσετε "ποια να υπάρχουν: Η κατεύθυνση, τα Μαθηματικά ή η Β΄ Λυκείου;".
Πρόκειται για μια βελτιωμένη παραλλαγή της ανάρτησης ΕΔΩ, που είχε αρίθμηση 52 την οποίαν και αντικαθιστά, όπως γράφει ο κ. Νίκος Κυριαζής παρακάτω.
Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή . Έστω το τρίγωνο με .
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή , άρα τα δύο ύψη του ταυτίζονται με τις πλευρές , οπότε τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν στην κορυφή , ενώ αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και αν είναι αμβλυγώνιο. Έστω, λοιπόν, και , για να έχουμε τρίγωνο.
H είναι το ύψος από το στη .
Είναι και .
Έστω το ύψος από την κορυφή στην , οπότε .
Τέμνει την στο .
Τότε, , οπότε και το ύψος από την κορυφή στην διέρχεται από το , σημείο τομής των υψών .
Τους χαιρετισμούς μου στον αγαπητό Κύριο Νίκο Κυριαζή, που είχα τη χαρά να τον γνωρίσω κι από κοντά.
Φαντάζομαι ότι η απόδειξη που αναρτώ είναι εκτός αρίθμησης, πλην όμως, νομίζω ότι είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση για την τάξη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου (εφόσον εξακολουθήσουν να υπάρχουν στο Νέο Λύκειο).
Παρακαλώ μη με ρωτήσετε "ποια να υπάρχουν: Η κατεύθυνση, τα Μαθηματικά ή η Β΄ Λυκείου;".
Πρόκειται για μια βελτιωμένη παραλλαγή της ανάρτησης ΕΔΩ, που είχε αρίθμηση 52 την οποίαν και αντικαθιστά, όπως γράφει ο κ. Νίκος Κυριαζής παρακάτω.
Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή . Έστω το τρίγωνο με .
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή , άρα τα δύο ύψη του ταυτίζονται με τις πλευρές , οπότε τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν στην κορυφή , ενώ αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και αν είναι αμβλυγώνιο. Έστω, λοιπόν, και , για να έχουμε τρίγωνο.
H είναι το ύψος από το στη .
Είναι και .
Έστω το ύψος από την κορυφή στην , οπότε .
Τέμνει την στο .
Τότε, , οπότε και το ύψος από την κορυφή στην διέρχεται από το , σημείο τομής των υψών .
Τους χαιρετισμούς μου στον αγαπητό Κύριο Νίκο Κυριαζή, που είχα τη χαρά να τον γνωρίσω κι από κοντά.
τελευταία επεξεργασία από Γιώργος Ρίζος σε Παρ Ιούλ 07, 2017 11:19 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 71η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
S.E.Louridas έγραψε:Χαιρετώ τον Νίκο Κυριαζή και τους φίλους εδώ στο mathematica.
Ας δούμε και την διαπραγμάτευση που ακολουθεί για το ότι τα ύψη τριγώνου συντρέχουν, με την ελπίδα να μην έπεσα σε κάτι μη πρωτότυπο:
Έστω τρίγωνο εγγεγραμμένο σε κύκλο Οι συμμετρικοί του ως προς τις πλευρές αντίστοιχα τέμνονται σε σημείο εσωτερικό του τριγώνου αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο, επί της κορυφής αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή και εξωτερικό προς το ίδιο ημιεπίπεδο με τη κορυφή αν Στη περίπτωση του ορθογωνίου τριγώνου η απόδειξη είναι προφανής. Αν έχουμε οξυγώνιο τρίγωνο, τότε οι κύκλοι είναι ίσοι. Παρατηρούμε ότι Αυτό σημαίνει ότι ο περιεγραμμένος κύκλος στο τρίγωνο είναι συμμετρικός του ως προς την άρα έχουμε ότι οι κύκλοι είναι ίσοι. Τότε Άρα παίρνουμε που οδηγεί στο ότι το είναι σημείο τομής των υψών. Ακολουθούμε την ίδια ακριβώς μέθοδο στην περίπτωση που μόνο που τότε το θα βρίσκεται όπως είπαμε εκτός του τριγώνου.
Αγαπητέ Σωτήρη.
σε ευχαριστώ πολύ για το έμπρακτο ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μου, την παραπάνω σωστή και ωραία απόδειξη σου.
Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον 38 τρόπο απόδειξής, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό QUANTUM στη σελίδα 37 του τόμου 5 (Τεύχος 5/1999).
Μετά τα παραπάνω, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι της 72ης απόδειξης ενώ προσωπικά αναζητώ την 47η απόδειξη.
Ευχές
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 71η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Η απόδειξη αυτή υπάρχει σε πολλά σημεία στα παλιά βιβλία. Δίνω μόνο δύο παραπομπές.ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον 38 τρόπο απόδειξής, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό QUANTUM στη σελίδα 37 του τόμου 5 (Τεύχος 5/1999).
α) Υπάρχει στο Ladies Diary 1745-46.
Οι κατοπινοί εκδότες του Ladies Diary το 1817 έβγαλαν ένα τετράτομο βιβλίο με όλες τις μαθηματικές ερωτήσεις και απαντήσεις του Ladies Diary 1704-1816. Τίτλος του
Leybourne, The Mathematical Questions proposed in LADIES DIARY 1704-1816.
Στις σελίδες 373-375 του α' τόμου αναπαράγουν την εν λόγω απόδειξη στο Ladies Diary του 1745-46. Επισυνάπτω τα σχετικά χωρία (βλέπε κυρίως από το σημείο Additional solution και κάτω).
β) Υπάρχει στο βιβλίο του Smith και της Bryant, Euclides Elements of Geometry, 1901.
Βλέπε σελίδες 228-229. Επισυνάπτω τα σχετικά χωρία.
Επίσης η ίδια απόδειξη υπάρχει και αλλού στην αγγλική βιβλιογραφία αλλά και στην Γαλλική, Γερμανική και Ρωσική, παλιά και σύγχρονη.
Πιστέψτε με ότι έχω κάνει τεράστια έρευνα για τα ιστορικά στοιχεία του θεωρήματος περί υψών, και έχω καταγράψει μεγάλο αριθμό διαφορετικών, συχνά κομψότατων, αποδείξεων. Είναι αδύνατον να τα παρουσιάσω όλα εδώ. Τα παραπάνω ελάχιστα στοιχεία μου πήραν 1,5 ώρα με τα copy/paste οπότε με αυτούς τους ρυθμούς δεν με φτάνει ούτε ένας μήνας. Άσε που τα παμπάλαια βιβλία δεν τα έχω σε αντίγραφο για να κάνω copy/paste αλλά τα έχω δει ιδίοις όμμασι στις μεγάλες βιβλιοθήκες ανά τον κόσμο, και έχω κρατήσει χειρόγραφες σημειώσεις. Υπόψη ότι για τόσο σπάνια βιβλία, οι βιβλιοθήκες είναι ιδιαίτερα προσεκτικές να μην χαλάσουν, οπότε δεν τα ταλαιπωρούν με φωτοτύπησή τους. Εδώ δεν σε αφήνουν ούτε να κρατάς στυλό, μπας και λερώσεις το βιβλίο. Επιτρέπεται να κρατάς μόνο μολύβι. Όσο για νερό ή καφέ δίπλα σου για τις πολλές ώρες του ψαχουλέματος, ούτε για αστείο.
.
- Συνημμένα
-
- Από Leybourne κλπ.pdf
- (242.83 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Αγαπητέ Νίκο Κυριαζή, μετά την ανεπιτυχή προηγούμενη προσπάθεια μου να δημιουργηθεί πρωτότυπη απόδειξη (καταθέτω τις όποιες διαπραγματεύσεις μου, επειδή είναι για μένα αδύνατο να ερευνήσω για την κάθε μου προσπάθεια αν υπάρχει "ταυτοσήμως αντίστοιχη" και αλλού, αφού δεν διαθέτω την αντίστοιχη "βιβλιογραφική πολυφωνία"), ας δούμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί.
Από τυχόν σημείο του ύψους θεωρούμε τις κάθετες επί των αντίστοιχα που τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα παίρνουμε και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις , προκύπτει αφού τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια. Επομένως παίρνουμε Συνεπώς τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν, άρα και τα ύψη του όμοιου πλέον προς αυτό τριγώνου θα συντρέχουν.
Σχόλιο: Η διαπραγμάτευση έγινε σε οξυγώνιο τρίγωνο. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ακολουθείται ίδια απόδειξη, όπως εύκολα διαπιστώνεται, απλά αν η είναι η αμβλεία, τότε, τα σημεία θα είναι εξωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα προς το σημείο . Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
Από τυχόν σημείο του ύψους θεωρούμε τις κάθετες επί των αντίστοιχα που τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα παίρνουμε και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις , προκύπτει αφού τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια. Επομένως παίρνουμε Συνεπώς τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν, άρα και τα ύψη του όμοιου πλέον προς αυτό τριγώνου θα συντρέχουν.
Σχόλιο: Η διαπραγμάτευση έγινε σε οξυγώνιο τρίγωνο. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ακολουθείται ίδια απόδειξη, όπως εύκολα διαπιστώνεται, απλά αν η είναι η αμβλεία, τότε, τα σημεία θα είναι εξωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα προς το σημείο . Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 70η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
S.E.Louridas έγραψε:Απλά παρεμβαίνω στο σημείο αυτό, γιατί αισθάνομαι την ανάγκη να επικροτήσω απόλυτα την ερμηνεία αυτή του ΝΙΚΟΥ ΚΥΡΙΑΖΉ.ΝΙΚΟΣ έγραψε: Παράπονα έχω και για την συμπεριφορά στη Γεωμετρία ορισμένων, που έχω διαπιστώσει, ότι δυστυχώς υπάρχουν και πολλοί Έλληνες, εχθροί της Γεωμετρίας ή που δεν ενδιαφέρονται, ισχυριζόμενοι ότι η Γεωμετρία δεν χρειάζεται. Προσωπικά πιστεύω ότι η Γεωμετρία τους δυσκολεύει και την αποφεύγουν (Ομφακές είσιν), καταφεύγοντας σε πιο εύκολα πράγματα.
Τελευταία μάλιστα γνώρισα και Έλληνα Dieudonne′, ο οποίος παλιότερα ήταν φίλος της Γεωμετρίας και τώρα έγινε φανατικός εχθρός της, προφανώς γιατί δεν μπόρεσε να αναδειχθεί με τη Γεωμετρία.
Κατά την άποψη μου ο "εχθρός" της Γεωμετρικής σκέψης είναι σίγουρα "εχθρός" και της Μαθηματικής σκέψης. Για να μπούν στη Πατρίδα αυτή τα πράγματα στη θέση τους θα πρέπει να βρεθεί τρόπος, ώστε η Ευκλείδεια Γεωμετρία να εξετάζεται ως Μάθημα εισαγωγής στην τριτοβάθμια εκπαίδευση σε σχολές όπου τα Μαθηματικά είναι Μάθημα με συντελεστή βαρύτητας που παίζει ρόλο για την εισαγωγή στην αντίστοιχη σχολή. Άλλως θα διαπιστώνεται χρόνο με το χρόνο και σε συνεχή βάση το κόστος λόγω της "αποκαθήλωσης" της διδασκαλίας Γεωμετρίας από κάποιους υπεύθυνους σαν και αυτούς που περιγράφει ο Νίκος, και με την ολοένα μειούμενη απόδοση των υποψηφίων σε Μαθηματικές εξετάσεις, όποια και αν είναι τα θέματα με στοιχειώδη αξιοπρέπεια εκεί.
Ακόμα και στο πλέον απλό θέμα ενός Γεωμετρικού Τόπου ή μίας Γεωμετρικής Κατασκευής ο Νους "εξασκείται", άρα δυναμώνει στις κορυφαίες διαδικασίες της επιστημονικής σκέψης που είναι: Η Ανάλυση, Η σύνθεση , Η απόδειξη (της αλήθειας της σύνθεσης), Η διερεύνηση, αφού έχουν προηγηθεί η Διαισθητική αντίληψη και το αποτέλεσμα της Αφαιρετικής ικανότητας της σκέψης.
Σωτήρη Καλησπέρα.
Δυστυχώς από πολλούς Μαθηματικούς μας εφαρμόζονται πραγματικά η λογική των εισαγωγικών εξετάσεων στα ΑΕΙ και η αρχή του «Μου χρειάζεται για τη δουλειά μου; Ασχολούμαι, Δε μου χρειάζεται για τη δουλειά μου; Δεν ασχολούμαι»,
Αντιλαμβάνομαι ότι ένας εν ενεργεία Μαθηματικός, έτσι πρέπει να ενεργεί, για να προσφέρει στους μαθητές του, όσο το δυνατό περισσότερα και καλλίτερα στοιχεία.
Όμως όταν βγαίνει στη σύνταξη, τι κάνει; Δεν ασχολείται πλέον με την επιστήμη του, για την οποία τόσο κόπο, χρήμα και χρόνο έχει θυσιάσει: Αλλά που και αυτή του προσφέρει τα προς το ζην και που έχει συνδεθεί μαζί της ψυχικά; Αν μπορεί, δεν πρέπει να συμβάλει και αυτός στην ανάπτυξή της, όπως και οι πρόγονοί μας; Γιατί αν δεν τον ευχαριστεί τίποτε, τότε μια ζωή έκανε αγγαρεία; Άρα, μια ζωή υπέφερε;
Ευχές
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Γιώργος Ρίζος έγραψε:Καλησπέρα σε όλους.
Φαντάζομαι ότι η απόδειξη που αναρτώ είναι εκτός αρίθμησης, πλην όμως, νομίζω ότι είναι μια ενδιαφέρουσα άσκηση για την τάξη των Μαθηματικών Κατεύθυνσης Β΄ Λυκείου (εφόσον εξακολουθήσουν να υπάρχουν στο Νέο Λύκειο).
Παρακαλώ μη με ρωτήσετε "ποια να υπάρχουν: Η κατεύθυνση, τα Μαθηματικά ή η Β΄ Λυκείου;".
Πρόκειται για μια βελτιωμένη παραλλαγή της ανάρτησης ΕΔΩ.
04-07-2017 Γεωμετρία.jpg
Έστω ορθοκανονικό σύστημα συντεταγμένων με αρχή . Έστω το τρίγωνο με .
Αν το τρίγωνο είναι ορθογώνιο στην κορυφή , άρα τα δύο ύψη του ταυτίζονται με τις πλευρές , οπότε τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν στην κορυφή , ενώ αν το τρίγωνο είναι οξυγώνιο και αν είναι αμβλυγώνιο. Έστω, λοιπόν, και , για να έχουμε τρίγωνο.
H είναι το ύψος από το στη .
Είναι και .
Έστω το ύψος από την κορυφή στην , οπότε .
Τέμνει την στο .
Τότε, , οπότε και το ύψος από την κορυφή στην διέρχεται από το , σημείο τομής των υψών .
Τους χαιρετισμούς μου στον αγαπητό Κύριο Νίκο Κυριαζή, που είχα τη χαρά να τον γνωρίσω κι από κοντά.
Γιώργο Καλημέρα.
Χαίρομαι που συναντιόμαστε ξανά στο mathematica και σε ευχαριστώ πολύ για το ενδιαφέρων σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου εδώ και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας.
Η νέα σου απόδειξη με αναλυτική, είναι μια βελτιωμένη απόδειξη, όπως αναφέρεις, εκείνης που είχες αναρτήσει παλιότερα εδώ και που είχε πάρει τον αριθμό 52 και όχι των αριθμό 51, που αναφέρεις.
Συνεπώς, προφανώς θέλεις να αντικαταστήσεις την παλιά απόδειξή σου, με τη νέα βελτιωμένη και με τον ίδιο αριθμό 52, αν σε ερμηνεύω σωστά. Συμφωνείς;
Ευχές.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 71η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Mihalis_Lambrou έγραψε:Η απόδειξη αυτή υπάρχει σε πολλά σημεία στα παλιά βιβλία. Δίνω μόνο δύο παραπομπές.ΝΙΚΟΣ έγραψε: Δυστυχώς όμως η απόδειξή σου αυτή, τυχαίνει να συμπίπτει με τον 38 τρόπο απόδειξής, που έχει δημοσιευθεί στο περιοδικό QUANTUM στη σελίδα 37 του τόμου 5 (Τεύχος 5/1999).
α) Υπάρχει στο Ladies Diary 1745-46.
Οι κατοπινοί εκδότες του Ladies Diary το 1817 έβγαλαν ένα τετράτομο βιβλίο με όλες τις μαθηματικές ερωτήσεις και απαντήσεις του Ladies Diary 1704-1816. Τίτλος του
Leybourne, The Mathematical Questions proposed in LADIES DIARY 1704-1816.
Στις σελίδες 373-375 του α' τόμου αναπαράγουν την εν λόγω απόδειξη στο Ladies Diary του 1745-46. Επισυνάπτω τα σχετικά χωρία (βλέπε κυρίως από το σημείο Additional solution και κάτω).
β) Υπάρχει στο βιβλίο του Smith και της Bryant, Euclides Elements of Geometry, 1901.
Βλέπε σελίδες 228-229. Επισυνάπτω τα σχετικά χωρία.
Επίσης η ίδια απόδειξη υπάρχει και αλλού στην αγγλική βιβλιογραφία αλλά και στην Γαλλική, Γερμανική και Ρωσική, παλιά και σύγχρονη.
Πιστέψτε με ότι έχω κάνει τεράστια έρευνα για τα ιστορικά στοιχεία του θεωρήματος περί υψών, και έχω καταγράψει μεγάλο αριθμό διαφορετικών, συχνά κομψότατων, αποδείξεων. Είναι αδύνατον να τα παρουσιάσω όλα εδώ. Τα παραπάνω ελάχιστα στοιχεία μου πήραν 1,5 ώρα με τα copy/paste οπότε με αυτούς τους ρυθμούς δεν με φτάνει ούτε ένας μήνας. Άσε που τα παμπάλαια βιβλία δεν τα έχω σε αντίγραφο για να κάνω copy/paste αλλά τα έχω δει ιδίοις όμμασι στις μεγάλες βιβλιοθήκες ανά τον κόσμο, και έχω κρατήσει χειρόγραφες σημειώσεις. Υπόψη ότι για τόσο σπάνια βιβλία, οι βιβλιοθήκες είναι ιδιαίτερα προσεκτικές να μην χαλάσουν, οπότε δεν τα ταλαιπωρούν με φωτοτύπησή τους. Εδώ δεν σε αφήνουν ούτε να κρατάς στυλό, μπας και λερώσεις το βιβλίο. Επιτρέπεται να κρατάς μόνο μολύβι. Όσο για νερό ή καφέ δίπλα σου για τις πολλές ώρες του ψαχουλέματος, ούτε για αστείο.
.
Αγαπητέ Μιχάλη.
Πιστεύουμε απόλυτα στην πολύ μεγάλη έρευνα, που έχεις πραγματοποιήσει, για το ιστορικό μέρος του Θεωρήματος της σύγκλισης των υψών τριγώνου.
Όμως τούτο δεν μας λύνει το πρόβλημα στο οποίο εμείς εδώ έχουμε περιέλθει, για την επίλυση του οποίου απαιτείται, όπως όλες οι αποδείξεις που εσύ και όποιος άλλος φίλος έχετε συναντήσει, να αναρτηθούν εδώ.
Αντιλαμβανόμαστε ότι αυτό αποτελεί μια μεγάλη, χρονοβόρα και επίπονη δουλειά, γι’ αυτό προτείνουμε όταν σας δένεται η ευκαιρία να αναρτάται εδώ μια – δύο αποδείξεις, όπως άλλωστε μέχρι τώρα κάνετε. Τούτο προφανώς θα απαιτήσει πολλά χρόνια, αλλά πιστεύω ότι την προσπάθεια αυτή θα τη συνεχίσουν και οι επερχόμενοι, μέχρι να ολοκληρωθεί, αν εμείς δεν προλάβουμε. Να προκύψει δηλαδή ένα βιβλίο, το οποίο βεβαίως διαρκώς να βελτιώνεται και να συμπληρώνεται με νέες αποδείξεις, σε κάθε νέα έκδοσή του.
Ευχές
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Πάντως, προσωπικά ας μου επιτραπεί να θέλω να ξέρω αν η τελευταία απόδειξη μου είναι ταυτόσημη (γιατί για τούτο πρόκειται, δηλαδή για ταυτοσιμότητα) με κάποια από τις ήδη μέχρι τώρα υπάρχουσες τουλάχιστον εδώ στη προσπάθεια καταγραφής του Νίκου Κυριαζή, που ας μου επιτραπεί να επαναλάβω ότι επιτελεί ένα τεράστιο έργο. Δηλαδή μιλάω για την απόδειξη:
S.E.Louridas έγραψε: Από τυχόν σημείο του ύψους θεωρούμε τις κάθετες επί των αντίστοιχα που τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα παίρνουμε και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις , προκύπτει αφού τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια. Επομένως παίρνουμε Συνεπώς τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν, άρα και τα ύψη του όμοιου πλέον προς αυτό τριγώνου θα συντρέχουν.
Σχόλιο: Η διαπραγμάτευση έγινε σε οξυγώνιο τρίγωνο. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ακολουθείται ίδια απόδειξη, όπως εύκολα διαπιστώνεται, απλά αν η είναι η αμβλεία, τότε, τα σημεία θα είναι εξωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα προς το σημείο . Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή.
- Συνημμένα
-
- α;ςσ.png (10.9 KiB) Προβλήθηκε 2141 φορές
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 15741
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Σωτήρη, ας πω την γνώμη μου.S.E.Louridas έγραψε:Πάντως, προσωπικά ας μου επιτραπεί να θέλω να ξέρω αν η τελευταία απόδειξη μου είναι ταυτόσημη (γιατί για τούτο πρόκειται, δηλαδή για ταυτοσιμότητα) με κάποια από τις ήδη μέχρι τώρα υπάρχουσες
Πρέπει πρώτα από όλα να ξεκαθαρίσουμε/συμφωνήσουμε τι ακριβώς εννοούμε με τις φράσεις "διαφορετική απόδειξη", "ίδια απόδειξη".
Η δική μου κατανόηση είναι ότι αν τα κύρια βήματα είναι ίδια έστω και αν υπάρχουν δευτερεύουσες μικροδιαφορές, τότε δύο αποδείξεις είναι ουσιαστικά ίδιες. Διαφορετικές λογίζονται οι αποδείξεις που βασίζονται σε μία ή παραπάνω διαφορετικές (εννοώ διαφορετικές) ιδέες. Για να το πω λαϊκά, η οπτική "του άλλαξε ο Μανωλιός και έβαλε τα ρούχα του αλλιώς" δεν επαρκεί για να ισχυριστούμε ότι δύο αποδείξεις είναι διαφορετικές.
Με αυτή την εισαγωγή ως δεδομένη, ας εξετάσουμε την παραπάνω απόδειξη.
Θα συμφωνήσεις ότι αν λάβουμε το σημείο όχι τυχαίο πάνω στο ύψος αλλά κάποιο συγκεκριμένο (όμως χωρίς αλλαγή στα υπόλοιπα βήματα της απόδειξης) τότε δεν έχουμε νέα απόδειξη. Μιλάμε για "ίδια απόδειξη".
Τώρα, πες λοιπόν ότι παίρνω το να είναι η τομή των υψών (βλέπε το παρακάτω σχήμα). Από εκεί και πέρα ακολουθώ τα ίδια ακριβώς βήματα, δηλαδή φέρνω από το κάθετη στην και έστω ότι τέμνει την στο . Προσθέτω εδώ ότι το δεν θα το χρησιμοποιήσω καθώς συμπίπτει με το . Από εκεί και πέρα χρησιμοποιώ ακριβώς τα ίδια βήματα με αυτά που κάνεις. Μα ακριβώς ακριβώς ίδια.
Ερώτηση: Θα έχω τότε ίδια ή διαφορετική απόδειξη;
Η δική μου θέση είναι ότι η απόδειξη είναι (ουσιαστικά) ίδια. Τώρα μάλιστα το τελευταίο βήμα είναι ότι , οπότε και η απόδειξη ολοκληρώνεται καθώς δείξαμε ότι το τρίτο ύψος συμπίπτει με το . Με άλλα λόγια η όποια διαφορά μεταξύ της αρχικής και της απόδειξης που περιέγραψα, είναι επί τα βελτίω για την δεύτερη.
Γιατί τα λέω αυτά; Διότι μία από τις αποδείξεις στο Ladies Diary του 1749 είναι η παραπάνω (με μικρή μόνο διαφορά, αλλά ίδια βήματα, στο ότι καταλήγει στο ότι τα είναι στην ίδια ευθεία με στην θέση του της ευθείας με ).
Εν κατακλείδι, η άποψη μου είναι ότι η απόδειξη δεν είναι νέα. Είναι θέμα του να διακρίνουμε την ουσία των διαφορών και να κρίνουμε αν είναι πραγματικές ή δευτερεύουσες.
- Συνημμένα
-
- Ipsi ksana.png (4.91 KiB) Προβλήθηκε 2134 φορές
- S.E.Louridas
- Δημοσιεύσεις: 5948
- Εγγραφή: Σάβ Μαρ 21, 2009 10:53 am
- Τοποθεσία: Aegaleo.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
Καλημέρα.Mihalis_Lambrou έγραψε:Σωτήρη, ας πω την γνώμη μου.S.E.Louridas έγραψε:Πάντως, προσωπικά ας μου επιτραπεί να θέλω να ξέρω αν η τελευταία απόδειξη μου είναι ταυτόσημη (γιατί για τούτο πρόκειται, δηλαδή για ταυτοσιμότητα) με κάποια από τις ήδη μέχρι τώρα υπάρχουσες
Πρέπει πρώτα από όλα να ξεκαθαρίσουμε/συμφωνήσουμε τι ακριβώς εννοούμε με τις φράσεις "διαφορετική απόδειξη", "ίδια απόδειξη".
Η δική μου κατανόηση είναι ότι αν τα κύρια βήματα είναι ίδια έστω και αν υπάρχουν δευτερεύουσες μικροδιαφορές, τότε δύο αποδείξεις είναι ουσιαστικά ίδιες. Διαφορετικές λογίζονται οι αποδείξεις που βασίζονται σε μία ή παραπάνω διαφορετικές (εννοώ διαφορετικές) ιδέες. Για να το πω λαϊκά, η οπτική "του άλλαξε ο Μανωλιός και έβαλε τα ρούχα του αλλιώς" δεν επαρκεί για να ισχυριστούμε ότι δύο αποδείξεις είναι διαφορετικές.
Με αυτή την εισαγωγή ως δεδομένη, ας εξετάσουμε την παραπάνω απόδειξη...
Θα συμφωνήσεις ότι αν λάβουμε το σημείο όχι τυχαίο πάνω στο ύψος αλλά κάποιο συγκεκριμένο (όμως χωρίς αλλαγή στα υπόλοιπα βήματα της απόδειξης) τότε δεν έχουμε νέα απόδειξη. Μιλάμε για "ίδια απόδειξη"...
Εν κατακλείδι, η άποψη μου είναι ότι η απόδειξη δεν είναι νέα. Είναι θέμα του να διακρίνουμε την ουσία των διαφορών και να κρίνουμε αν είναι πραγματικές ή δευτερεύουσες.
Ειλικρινά ευχαριστώ το Μιχάλη για την άποψη του αλλά κύρια για την άμεση ανταπόκρισή του.
Και μια που κάνουμε τη κουβέντα αυτή, και χωρίς να γνώριζα μέχρι τώρα Μιχάλη το βιβλίο που αναφέρεις, θεωρώ αν δεν μου διαφεύγει κάτι, ότι στην απόδειξη του βιβλίου αυτού υπάρχει ένα μικρό κενό, εκτός και αν ήταν γνωστό μέχρι τότε (1749) ως αποτέλεσμα απόδειξης βέβαια, ότι τα δύο ύψη τριγώνου τέμνονται. Γιατί αν δεν είναι τότε κατά την άποψη μου η εκεί απόδειξη έχει σοβαρό βασικό μαθηματικό κενό. Στην επίλυση ενός προβλήματος δεν έχουν σημασία μόνο κάποιες τεχνικές. Τεράστια επίσης σημασία έχει και το τι θεωρούμε ως δεδομένα από τα οποία εκκινούμε για να αποδείξουμε την αλήθεια τελικά του "πακέτου" "αν , τότε ". Μα θα σου πει ο άλλος: Αν θεωρήσουμε ότι τα ύψη τέμνονται και τελικά αυτό είναι ψευδής υπόθεση, τότε ότι και αν ζητήσουμε το "πακέτο" "αν , τότε " είναι αληθής πρόταση κτλ, κτλ. Ο.Κ. Το "κυνήγι του θησαυρού" συνεχίζεται. Κατά τα άλλα θεωρώ ότι παρουσιάζει τεράστιο ενδιαφέρον το ότι κυνηγάμε τέτοιους θησαυρούς, ανεξαρτήτως αποτελέσματος. Άντε να ξέρεις την ύπαρξη τέτοιων βιβλίων αν δεν έχεις αφιερώσει επι τούτου χρόνο ζωής, όπως έχει αφιερώσει ο Μιχάλης. Στην ημέτερη απόδειξη δεν έγινε χρήση του ότι δύο ύψη τριγώνου τέμνονται. Κατά τα άλλα προφανώς και δεν έχω υπόψη μου το βιβλίο που αναφέρει ο Μιχάλης και κύρια και κατά μείζονα λόγο, δεν έχω υπ' όψιν μου την εκεί ακριβή απόδειξη.
S.E.Louridas
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
1.Μιλώ, μόνο όταν έχω να πώ κάτι καλύτερο από την σιωπή (Πυθαγόρας).
2.Οι αξίες αντανακλώνται, Δεν επιβάλλονται.
3.Είναι Κορυφαία η κάθε στιγμή επίλυσης ενός Μαθηματικού προβλήματος.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1568
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ. ΑΝΑΖΗΤΕΙΤΑΙ Η 72η ΑΠΟΔΕΙΞΗ ΚΛΑΣΙΚΗΣ ΠΡΟΤΑΣΗΣ.
S.E.Louridas έγραψε:Αγαπητέ Νίκο Κυριαζή, μετά την ανεπιτυχή προηγούμενη προσπάθεια μου να δημιουργηθεί πρωτότυπη απόδειξη (καταθέτω τις όποιες διαπραγματεύσεις μου, επειδή είναι για μένα αδύνατο να ερευνήσω για την κάθε μου προσπάθεια αν υπάρχει "ταυτοσήμως αντίστοιχη" και αλλού, αφού δεν διαθέτω την αντίστοιχη "βιβλιογραφική πολυφωνία"), ας δούμε και τη διαπραγμάτευση που ακολουθεί.
Από τυχόν σημείο του ύψους θεωρούμε τις κάθετες επί των αντίστοιχα που τέμνουν τις στα σημεία αντίστοιχα. Από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα παίρνουμε και από τα όμοια ορθογώνια τρίγωνα έχουμε
Αν τώρα πολλαπλασιάσουμε κατά μέλη τις σχέσεις , προκύπτει αφού τα ορθογώνια τρίγωνα είναι όμοια. Επομένως παίρνουμε Συνεπώς τα ύψη του τριγώνου συντρέχουν, άρα και τα ύψη του όμοιου πλέον προς αυτό τριγώνου θα συντρέχουν.
Σχόλιο: Η διαπραγμάτευση έγινε σε οξυγώνιο τρίγωνο. Σε αμβλυγώνιο τρίγωνο ακολουθείται ίδια απόδειξη, όπως εύκολα διαπιστώνεται, απλά αν η είναι η αμβλεία, τότε, τα σημεία θα είναι εξωτερικά σημεία των πλευρών αντίστοιχα προς το σημείο . Σε ορθογώνιο τρίγωνο τα πράγματα είναι προφανή. α;ςσ.png
Αγαπητέ Σωτήρη,
ΣΥΓΧΑΡΗΤΗΡΙΑ !!!
Είναι γεγονός ότι με την παραπάνω απόδειξή σου, έχεις επιτύχει να μας χαρίσεις την 72η πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη.
Σε ευχαριστούμε πολύ και πάλι, για το ενδιαφέρον σου, την ανταπόκρισή σου στο κάλεσμά μας, την συμμετοχή σου εδώ και την συνεισφορά σου στην προσπάθειά μας.
Μετά και την παραπάνω πρωτοεμφανιζόμενη ΕΔΩ απόδειξη, συνεχίζουμε την προσπάθειά μας με το κυνήγι για την 73η απόδειξη, ενώ προσωπικά αναζητώ την 48η.
Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες