Ζητείται κατασκευαστής

KARKAR · #1

: Ζητείται κατασκευαστής.png (12.91 KiB) Προβλήθηκε 1562 φορές

Χρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα , σχεδιάστε το τρίγωνο του σχήματος ( όχι αντιγραφή ! )

#2

KARKAR έγραψε:Ζητείται κατασκευαστής.pngΧρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα , σχεδιάστε το τρίγωνο του σχήματος ( όχι αντιγραφή ! )

: Κατασκευαστής.png (37.54 KiB) Προβλήθηκε 1545 φορές

Ζητάει ο Φίλτατος Θανάσης νομίζω μόνο γεωμετρική κατασκευή !.

Δεν γράφω λεπτομέρειες γιατί είναι σχετικά απλά τουλάχιστον για τον φάκελο αυτό .

Τελικά ας γράψουμε και δυο λόγια.

Γράφουμε τον κύκλο (A,AC)

που τέμνει την ευθεία

ακόμα στο

.

Επειδή $\widehat T = \widehat \theta \Rightarrow \widehat T = \widehat {TAB} \Rightarrow AB = BT = 5$ .

Ισχύουν :

$\left\{ \begin{gathered} A{C^2} - A{B^2} = BT \cdot BC \hfill \\ \frac{{AC}}{{AB}} = \frac{{DC}}{{DB}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} A{C^2} - 25 = 5 \cdot (3 + DC) \hfill \\ \frac{{AC}}{5} = \frac{{DC}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$ και άρα.

: Κατασκευαστής_1.png (32.62 KiB) Προβλήθηκε 1533 φορές

$\boxed{AC = 8\,\,\,\kappa \alpha \iota \,\,DC = \frac{{24}}{5}}$

Φιλικά Νίκος

Δείτε κι αυτό.

: Κατασκευαστής_2.png (25.9 KiB) Προβλήθηκε 1532 φορές

#3

KARKAR έγραψε:Ζητείται κατασκευαστής.pngΧρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα , σχεδιάστε το τρίγωνο του σχήματος ( όχι αντιγραφή ! )

Χαιρετώ τους αγαπητούς φίλους Θανάση και Νίκο!

: Ζητείται κατασκευαστής.png (10.98 KiB) Προβλήθηκε 1517 φορές

Έστω ότι το τρίγωνο κατασκευάστηκε. Φέρνω από το

κάθετη στην

που τέμνει την

στο

. Προφανώς είναι

AE=AB=5

και

. Εξάλλου είναι $\displaystyle{C\widehat BE = \frac{{\widehat B - \widehat C}}{2} = \frac{\theta }{2} \Leftrightarrow C\widehat DE = \widehat C = \theta \Leftrightarrow EC = 3}$

$\displaystyle{BD = \frac{{5a}}{{13}} = 3 \Leftrightarrow a = \frac{{39}}{5}}$ . Tο τρίγωνο τώρα ABC

με $\boxed{a = \frac{{39}}{5},b = 8,c = 5}$ είναι πλέον κατασκευάσιμο.

STOPJOHN · #4

KARKAR έγραψε:Ζητείται κατασκευαστής.pngΧρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα , σχεδιάστε το τρίγωνο του σχήματος ( όχι αντιγραφή ! )

Καλησπέρα
Είναι $\hat{EBC}=\hat{ECB}=\hat{EBA}=\hat{BSD}=\vartheta ,SD//BE,\hat{DAC}=\hat{BAD}=\omega$

Αρα $\hat{BID}=\hat{BDI}=\omega +\vartheta ,\dfrac{DS}{3}=\dfrac{8}{5}\Leftrightarrow DS=\dfrac{24}{5},SB=3$
Το τρίγωνο SBD

κατασκευάζεται αφού είναι γνωστές οι πλευρές και ομοίως το τρίγωνο ABD

Αρα το τρίγωνο ABC

κατασκευάζεται (απλό)

Γιάννης

#5

KARKAR έγραψε:Χρησιμοποιώντας τα γεωμετρικά σας όργανα , σχεδιάστε το τρίγωνο του σχήματος ( όχι αντιγραφή ! )

Φίλοι μου στις όμορφες λύσεις σας παραθέτω κι εγώ μια ακόμη.

Εργαζόμαστε στο ακόλουθο σχήμα που θεωρείται ως υποθετικό αν και είναι
κατασκευασμένο με τα δεδομένα του προβλήματος όπως θα αναλυθεί στη συνέχεια.

: Κατασκευή 1.png (21.01 KiB) Προβλήθηκε 1439 φορές

Για τις γωνίες που εμφανίζονται στο τρίγωνο αυτό ισχύει:

$\displaystyle{2\phi +3\theta=2\pi\ \ (1)}$

$\displaystyle{\omega=\phi +\theta \ \ (2)}$

Από τις (1) και (2) προκύπτει:

$\displaystyle{\displaystyle{\phi =\frac{\pi}{2}-3\frac{\theta}{2}\ \ (3)}$

$\displaystyle{\omega = \phi+\theta =\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2}\ \ (4)}$

Αν εφαρμόσουμε τώρα στο τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ το θεώρημα των ημιτόνων τότε θα έχουμε:

$\displaystyle{\frac{3}{sin(\phi)}=\frac{5}{sin(\omega)}\ \ (5)}$

Η σχέση (5) λόγω των (3) και (4) δίνει:

$\displaystyle{\frac{3}{sin(\frac{\pi}{2}-\frac{3\theta}{2}}=\frac{5}{sin(\frac{\pi}{2}-\frac{\theta}{2})}\ \ (6)$

Η (6) ακόμα δίνει:

$\displaystyle{3cos(\frac{\theta}{2})=5cos(\frac{3\theta}{2}) \ \ (7)}$

και μετά πράξεις η (7) καταλήγει:

$\displaystyle{20cos^3(\frac{\theta}{2})-18cos(\frac{\theta}{2})=0 \ \ (8)}$

Από τις λύσεις της (8) δεχόμαστε για ευνόητους λόγους την

$\displaystyle{cos(\frac{\theta}{2})=\sqrt{\frac{18}{20}} \ \ (9)}$

Η βασική εξίσωση (9) λυόμενη με τριγωνομετρικούς πίνακες ή με λογισμικό δίνει:

$\displaystyle{\theta\approx 36.87^o}$

τιμή που βρήκε και αγαπητός Νίκος.

Όμως η γεωμετρική κατασκευή της γωνίας αυτής είναι εύκολη από τον ορισμό του συνημιτόνου και τη σχέση (9).

Εφόσον λοιπόν η γωνία $\displaystyle{\theta}$ έχει κατασκευαστεί το τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ κατασκευάζεται με κανόνα και διαβήτη

Αφού κατασκευάζεται το τρίγωνο $\displaystyle{ABD}$ κατασκευάζουμε το τόξο που βλέπει την πλευρά του $\displaystyle{AD}$

με γωνία $\displaystyle{\theta}$ και η κορυφή $\displaystyle{C}$ είναι η τομή του τόξου αυτού με την προέκταση της $\displaystyle{BD}$ ,

όπως φαίνεται στο ακόλουθο σχήμα:

: Κατασκευή 2.png (25.25 KiB) Προβλήθηκε 1439 φορές

Η απόδειξη είναι εύκολη.

Κώστας Δόρτσιος

KARKAR · #6

: Κατασκευαστής.png (13.69 KiB) Προβλήθηκε 1409 φορές

Είναι : $sin\theta=\dfrac{h}{b}$ και $sin2\theta=2sin\theta cos\theta=\dfrac{h}{5}$ , οπότε : $b=10cos\theta$ .

Εξ' άλλου : $BC=BO+OC=5cos2\theta+10cos^2\theta=20cos^2\theta-5$

άρα : $DC=20cos^2\theta-8$ . Τώρα : $\dfrac{5}{3}=\dfrac{10cos\theta}{20cos^2\theta-8}$ ,

απ' όπου $cos\theta=\dfrac{4}{5}$ και $cos2\theta=\dfrac{7}{25}=\dfrac{1.4}{5}$ . Η συνέχεια φανερή .

Ζητείται κατασκευαστής

Ζητείται κατασκευαστής

Re: Ζητείται κατασκευαστής

Re: Ζητείται κατασκευαστής

Re: Ζητείται κατασκευαστής

Re: Ζητείται κατασκευαστής

Re: Ζητείται κατασκευαστής

Μέλη σε σύνδεση