ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...
Βρήκα ένα θέμα από την 23η Μαθηματική Ολυμπιάδα της Ιρλανδίας που έγινε στις 24 Απριλίου 2010.
Το προτείνω γιατί το θεωρώ ως απαραίτητη γνώση για παιδιά που ασχολούνται με μαθηματικούς διαγωνισμούς.
'Εστω τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου
Αποδείξτε ότι τα
είναι μήκη πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου με μικρότερη περίμετρο από αυτήν του , εκτός αν το είναι ισόπλευρο.
Τι μπορεί να λεχθεί για το εμβαδόν του συγκριτικά με το εμβαδόν του ;
Το προτείνω γιατί το θεωρώ ως απαραίτητη γνώση για παιδιά που ασχολούνται με μαθηματικούς διαγωνισμούς.
'Εστω τα μήκη πλευρών ενός τριγώνου
Αποδείξτε ότι τα
είναι μήκη πλευρών ενός οξυγωνίου τριγώνου με μικρότερη περίμετρο από αυτήν του , εκτός αν το είναι ισόπλευρο.
Τι μπορεί να λεχθεί για το εμβαδόν του συγκριτικά με το εμβαδόν του ;
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...
Οι είναι πλευρές τριγώνου αν και μόνο αν υπάρχουν θετικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
Τότε
Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι τότε παίρνουμε κι έτσι .
Για να αποτελούν τα πλευρές τριγώνου και για να είναι οξυγώνιο αρκεί να αποδείξουμε ότι (που προκύπτει με μία ύψωση στο τετράγωνο) και (που είναι άμεσο με αντικατάσταση) αντίστοιχα.
Επίσης αν και η περίμετρος του τριγώνου και αντίστοιχα τότε:
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή που σημαίνει ότι το είναι ισόπλευρο.
Edit (Προσθήκη για το ερώτημα που αφορά τα εμβαδά των δύο τριγώνων):
Τα εμβαδά των δύο τριγώνων είναι ίσα (ωραίο αποτέλεσμα):
Η απόδειξη γίνεται με τον τύπο του Ήρωνα τη (βασική) ταυτότητα:
και πράξεις μεταξύ των:
Αλέξανδρος
Τότε
Έστω, χωρίς βλάβη της γενικότητας, ότι τότε παίρνουμε κι έτσι .
Για να αποτελούν τα πλευρές τριγώνου και για να είναι οξυγώνιο αρκεί να αποδείξουμε ότι (που προκύπτει με μία ύψωση στο τετράγωνο) και (που είναι άμεσο με αντικατάσταση) αντίστοιχα.
Επίσης αν και η περίμετρος του τριγώνου και αντίστοιχα τότε:
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν δηλαδή που σημαίνει ότι το είναι ισόπλευρο.
Edit (Προσθήκη για το ερώτημα που αφορά τα εμβαδά των δύο τριγώνων):
Τα εμβαδά των δύο τριγώνων είναι ίσα (ωραίο αποτέλεσμα):
Η απόδειξη γίνεται με τον τύπο του Ήρωνα τη (βασική) ταυτότητα:
και πράξεις μεταξύ των:
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...
Μια διαφορετική (ελπίζω σωστή) προσέγγιση για το (α) μετα την όμορφη λυση του κυρίου Αλέξανδρου.
Για να αποτελούν οι πλευρές οξυγώνιου τριγώνου αρκεί να ισχύει .
Όμως τα γίνονται με την βοήθεια των δοσμένων ισοτήτων:
αντίστοιχα, οπου η ημιπερίμετρος του .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε την : η οποία μετα απο πράξεις και αντικαταστάσεις γίνεται:
που ισχύει (τριγωνική ανισότητα).
Για να αποτελούν οι πλευρές οξυγώνιου τριγώνου αρκεί να ισχύει .
Όμως τα γίνονται με την βοήθεια των δοσμένων ισοτήτων:
αντίστοιχα, οπου η ημιπερίμετρος του .
Αρκεί λοιπόν να αποδείξουμε την : η οποία μετα απο πράξεις και αντικαταστάσεις γίνεται:
που ισχύει (τριγωνική ανισότητα).
-
- Δημοσιεύσεις: 1283
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 28, 2009 11:41 pm
- Τοποθεσία: Kάπου στο πιο μεγάλο νησί του Ιονίου
Re: ΑΠΟ ΤΗΝ ΑΛΛΗ ΑΚΡΗ ΤΗΣ ΕΥΡΩΠΗΣ...
Νομίζω ότι είναι κατάλληλο να γράψω κάτι πάνω σε αυτό το θέμα...
Το θέμα φυσικά δεν βγήκε έτσι στην τύχη , στην πραγματικότητα εκφράζει κάτι που το καταλαβαίνουν αρκετοί...
Όταν όμως το βλέπεις διατυπωμένο ως θέμα μαθηματικού διαγωνισμού , μάλλον ξαφνιάζεσαι...
Έστω τρίγωνο και έστω τα σημεία επαφής των πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
Ας υπολογίσουμε το μήκος Θα χρησιμοποιηθεί ο νόμος του συνημιτόνου στο τρίγωνο , η πρώτη σκέψη που έρχεται στο μυαλό...
Φυσικά δεν ξεχνάμε ότι
Έτσι λοιπόν
Mε τις ίδιες σκέψεις μπορεί να αποδειχθεί ότι και ότι
Άρα τα μήκη σχηματίζουν τρίγωνο και αφού είναι γνωστό ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του είναι οξυγώνιο , εύκολα συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο με μήκη πλευρών είναι επίσης οξυγώνιο.
Το τρίγωνο με μήκη πλευρών είναι όμοιο με το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του
O λόγος ομοιότητας είναι ίσος με .
Από εδώ μπορούν να προκύψουν ωραία συμπεράσματα...
Φυσικά ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του
Δεν ξεχνάμε ότι ο λόγος ομοιότητας των δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με τον λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων τους κύκλων.
Έτσι λοιπόν αν συμβολίσουμε με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου που έχει μήκη πλευρών μπορούμε πλέον να γράψουμε
και έτσι
Ας δούμε τι γίνεται με το εμβαδόν του τριγώνου μήκη πλευρών ...
Ας το ονομάσουμε
Iσχύει ότι
Είναι όμως γνωστό ότι
Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι
Για να μην γίνει κάποια σύγχυση με το θέμα έτσι όπως το έδωσαν στην Ιρλανδία , εκεί δόθηκαν μήκη γι' αυτό είχαμε ισότητα εμβαδών. Η ουσία δεν αλλάζει όμως...
Το θέμα φυσικά δεν βγήκε έτσι στην τύχη , στην πραγματικότητα εκφράζει κάτι που το καταλαβαίνουν αρκετοί...
Όταν όμως το βλέπεις διατυπωμένο ως θέμα μαθηματικού διαγωνισμού , μάλλον ξαφνιάζεσαι...
Έστω τρίγωνο και έστω τα σημεία επαφής των πλευρών με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
Ας υπολογίσουμε το μήκος Θα χρησιμοποιηθεί ο νόμος του συνημιτόνου στο τρίγωνο , η πρώτη σκέψη που έρχεται στο μυαλό...
Φυσικά δεν ξεχνάμε ότι
Έτσι λοιπόν
Mε τις ίδιες σκέψεις μπορεί να αποδειχθεί ότι και ότι
Άρα τα μήκη σχηματίζουν τρίγωνο και αφού είναι γνωστό ότι το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του είναι οξυγώνιο , εύκολα συμπεραίνουμε ότι το τρίγωνο με μήκη πλευρών είναι επίσης οξυγώνιο.
Το τρίγωνο με μήκη πλευρών είναι όμοιο με το τρίγωνο που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του
O λόγος ομοιότητας είναι ίσος με .
Από εδώ μπορούν να προκύψουν ωραία συμπεράσματα...
Φυσικά ο περιγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου που έχει κορυφές τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου με τις πλευρές του είναι ο εγγεγραμμένος κύκλος του
Δεν ξεχνάμε ότι ο λόγος ομοιότητας των δύο ομοίων τριγώνων είναι ίσος με τον λόγο των ακτίνων των περιγεγραμμένων τους κύκλων.
Έτσι λοιπόν αν συμβολίσουμε με την ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου που έχει μήκη πλευρών μπορούμε πλέον να γράψουμε
και έτσι
Ας δούμε τι γίνεται με το εμβαδόν του τριγώνου μήκη πλευρών ...
Ας το ονομάσουμε
Iσχύει ότι
Είναι όμως γνωστό ότι
Έτσι καταλήγουμε στο συμπέρασμα ότι
Για να μην γίνει κάποια σύγχυση με το θέμα έτσι όπως το έδωσαν στην Ιρλανδία , εκεί δόθηκαν μήκη γι' αυτό είχαμε ισότητα εμβαδών. Η ουσία δεν αλλάζει όμως...
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες