Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (10).
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (10).
Με βάσεις τις πλευρές και προς το εξωτερικό ( ή το εσωτερικό ) μέρος δοσμένου τριγώνου , κατασκευάζουμε τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα αντιστοίχως και έστω , τα ορθόκεντρά τους αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία και περνάει από το περίκεντρο του .
Κώστας Βήττας.
Κώστας Βήττας.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Παρ Ιαν 10, 2020 3:00 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Δημοσιεύσεις: 927
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (10).
Καλησπέρα κ. Κώστα. Μια ιδέα:
Έστω και . Επίσης έστω . Με Θ. Μενελάου στο λαμβάνουμε
ενώ στο λαμβάνουμε . Έστω το μέτρο των γωνιών των βάσεων των 2 ισοσκελών.
Με Ν. Ημιτόνων έχουμε και . Επομένως παρατηρούμε ότι ισχύει
. Λαμβάνοντας υπόψιν τη σχέση
αυτή καθώς και ότι έπεται από ότι . Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα και είναι
προοπτικά ως προς κέντρο (το ) άρα από Θ. Desargues προκύπτει ότι θα είναι προοπτικά και ως προς άξονα άρα πράγματι συνευθειακά.
Έστω και . Επίσης έστω . Με Θ. Μενελάου στο λαμβάνουμε
ενώ στο λαμβάνουμε . Έστω το μέτρο των γωνιών των βάσεων των 2 ισοσκελών.
Με Ν. Ημιτόνων έχουμε και . Επομένως παρατηρούμε ότι ισχύει
. Λαμβάνοντας υπόψιν τη σχέση
αυτή καθώς και ότι έπεται από ότι . Παρατηρούμε λοιπόν ότι τα και είναι
προοπτικά ως προς κέντρο (το ) άρα από Θ. Desargues προκύπτει ότι θα είναι προοπτικά και ως προς άξονα άρα πράγματι συνευθειακά.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (10).
Με προβολική βγαίνει γρήγορα:vittasko έγραψε: ↑Παρ Φεβ 27, 2015 3:05 pmΜε βάσεις τις πλευρές και προς το εξωτερικό ( ή το εσωτερικό ) μέρος δοσμένου τριγώνου , κατασκευάζουμε τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα αντιστοίχως και έστω , τα ορθόκεντρά τους αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι η ευθεία που συνδέει τα σημεία και περνάει από το περίκεντρο του .
Κώστας Βήττας.
Κουνάω το στην μεσοκάθετο της .
Αφού το κινήται στην μεσοκάθετο του ορίζοντας ίσους διπλούς λόγους.
Επιπλέον λόγω των καθετότητων η είναι προβολικότητα δηλαδή προβολικότητα.
Άρα το θα κινήται σε κωνική και προβολικά, όμοια και το
Θέλουμε να δείξουμε ότι οι προβολικότητες και ταυτίζονται οπότε αρκεί αυτό να συμβαίνει για τρεις θέσεις του .
Όταν ώστε τότε και οπότε άρα εντάξει
Όταν μέσον τότε το πάει στο άπειρο της μεσοκαθέτου του οπότε βαρύκεντρο και ορθόκεντρο οπότε πάλι έχω το ζητούμενο .
Όταν πάει στο άπειρο το πάει στο μέσο του οπότε όπως και πριν έχουμε το ζητούμενο.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες