Θα μπορούσε και Ευκλείδης στην Β' Λυκείου

#1

Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο ABC

που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο φέρουμε τα ύψη από τις κορυφές A,C,B

που τέμνουν τον κύκλο στα σημεία D,E,Z

.

: 2014-10-13.mathematica.circle.PNG (19.37 KiB) Προβλήθηκε 604 φορές

Όπως δείχνει το σχήμα, ορίζουμε τα σημεία L,M

ως τομές των DE,AB

και

. Να αποδειχθεί ότι τα σημεία L,M,H

είναι συνευθειaκά, όπου

είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου ABC

.

Μπ.

#2

Μπάμπης Στεργίου έγραψε:Σε ένα οξυγώνιο τρίγωνο που είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο φέρουμε τα ύψη από τις κορυφές που τέμνουν τον κύκλο στα σημεία . Όπως δείχνει το σχήμα, ορίζουμε τα σημεία ως τομές των και . Να αποδειχθεί ότι τα σημεία είναι συνευθειaκά, όπου είναι το ορθόκεντρο του τριγώνου .
Μπ.

$\angle LHB\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha } \angle BEL \equiv \angle BED\mathop = \limits^{\varepsilon \gamma \gamma \varepsilon \gamma \rho \alpha \mu \mu \varepsilon \nu \varepsilon \varsigma \,\,\sigma \tau o\,\,\iota \delta \iota o\,\,\tau o\xi o}$ $\angle BZM \equiv \angle HZM\mathop = \limits^{\sigma \upsilon \mu \mu \varepsilon \tau \rho \iota \alpha } \angle MHZ\mathop \Rightarrow \limits^{B,H,Z\,\,\sigma \upsilon \nu \varepsilon \upsilon \theta \varepsilon \iota \alpha \kappa \alpha } L,H,M$ συνευθειακά.

Στάθης
Υ.Σ.Το πρόβλημα στη γενικότερη μορφή του είναι απλή εφαρμογή του Θεωρήματος του Pascal στο μη κυρτό εξάγωνο για τυχαίες χορδές του περίκυκλου του τριγώνου $\vartriangle ABC$ που διέρχονται από το ίδιο σημείο το οποίο δεν είναι απαραίτητα το ορθόκεντρο του τριγώνου

ArgirisM · #3

Και μία δικιά μου λύση.
Παρατηρούμε πως $\angle ADE = \angle ACE = 90^0 - \angle A = \angle ABZ = \angle ADZ \Longrightarrow$ τα τετράπλευρα BLHD, CDHM

είναι εγγράψιμα σε κύκλο.
Ακόμη έχουμε ότι η $\angle ABD = \angle LBD$ είναι ίση με το μισό του μη κυρτού (με βάση το σχήμα) τόξου

. Συνεπώς στο εγγράψιμο τετράπλευρο BLHD

έχουμε $\angle LHD = 180^0 - \angle LBD (1)$ .
Ομοίως στο τετράπλευρο CDHM

προκύπτει $\angle DHM = 180^0 - \angle MCD (2)$ (η γωνία $\angle MCD$ ισούται με το μισό του κυρτού τόξου

).
Όμως $\angle LHD + \angle DHM = 360^0 - (\angle LBD + \angle MCD) = 360^0 - 180^0 = 180^0$ .
Άρα L, H, M:

συνευθειακά.

Θα μπορούσε και Ευκλείδης στην Β' Λυκείου

Θα μπορούσε και Ευκλείδης στην Β' Λυκείου

Re: Θα μπορούσε και Ευκλείδης στην Β' Λυκείου

Re: Θα μπορούσε και Ευκλείδης στην Β' Λυκείου

Μέλη σε σύνδεση