ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 1α(48).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 356, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 356.doc

Λήμμα 1α(36).

Αγαπητοί φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 357 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 1α(36), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.1α(48), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 1α(48).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 1α(36), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που το επινόησα και το προτείνω παρά την ευκολη απόδειξή του.

Δύο δικές μου σχετικές απόδειξείςτου λήμματος 1α(36), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 357.doc

(17.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 31 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Λύση της 357, η οποία είναι άμεση.

Φέρνουμε από τα κάθετες στην . Θέλουμε να αποδείξουμε ότι το είναι το μέσον της .

Έχουμε προφανώς , , . Επίσης από το τραπέζιο έχουμε , ισοδύναμα , δηλαδή . Άρα

, όπως θέλαμε.

[Mihalis_Lambrou]

Λύση της . Κατά την γνώμη μου η πρέπει να προηγείται της . Θα χρησιμοποιήσω ένα συμπέρασμα από την λύση μου της (προηγούμενο ποστ) για άμεση λύση της .

Το σημείο στην του οποίου ζητάμε τον τόπο είναι, σύμφωνα με την , το μέσον της διατέμνουσας (είναι το σημείο στο προηγούμενο ποστ). Στο σχήμα που ακολουθεί έχω κρατήσει μόνο όσα στοιχεία χρειάζονται από εδώ και πέρα για την λύση της .

Έστω το μέσον της διακέντρου . Φέρνουμε τις , οι οποίες βέβαια είναι κάθετες στη , και άρα παράλληλες. Η ενώνει τα μέσα των , οπότε είναι παράλληλη προς αυτές και άρα κάθετη στην . Αφού, λοιπόν, η είναι ορθή που βλέπει το (σταθερό) ευθύγραμμο τμήμα σημαίνει ότι ο τόπος του είναι κύκλος διαμέτρου (δίχως το σημείο ). Tελειώσαμε.

Το αντίστροφο είναι άμεσο από το ευθύ.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 1α(48).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 356, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 356.doc

Λήμμα 1α(36).

Αγαπητοί φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 357 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 1α(36), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.1α(48), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 1α(48).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 1α(36), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που το επινόησα και το προτείνω παρά την ευκολη απόδειξή του.

Δύο δικές μου σχετικές απόδειξείςτου λήμματος 1α(36), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 357.doc

Δύο Απόδείξεις της Πρότασης 1α(36).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 357, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τις δύο αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου σχετική λύση του γ.τ. 1α(48), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.

Υπενθυμίζω ότι η Άσκηση 1α(36) έχει συζητηθεί και παλιότερα στον παρακάτω σύνδεσμο:
viewtopic.php?f=112&t=5461

Υπόψη ότι την Άσκηση 1α(36) κατασκεύασα ως μαθητής γυμνασίου το 1950. Την πρότεινα στο περιοδκό «Μαθηματική Ηχώ», με δική μου απόδειξη και δημοσιεύθηκε με απόδειξη άλλου μαθητή. Πρόκειται για την πρώτη μου άσκηση που δημοσιεύθηκε:


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 357.doc

(17.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 22 φορές

1α(36).jpg (267.1 KiB) Προβλήθηκε 5724 φορές

1α(36)α.jpg (301.71 KiB) Προβλήθηκε 5724 φορές

1α(36)β.jpg (336.45 KiB) Προβλήθηκε 5724 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέος Γεωμετρικός Τόπος 1α(48).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 356, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=22&t=74420&p=360592#p360592
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/


Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 1α(48).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 356, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού, η οποία βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 1α(36), ποστ.164.

βασιζόμενοι στον παραπάνω γ,τ,, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που τον επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Σημείωση. Υπενθυμίζω ότι οι 1α(36), 1α(48), 1α(53), 1α(50), τόμος 1, αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα - γ.τ, κτλ. του γράφοντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στα βιβλία μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨, κτλ, αποτελούν μέρος από τις 4.500 περίπου που έχω επινοήσει κατά το παρελθόν. Στόχος μου είναι απλά και μόνο να δημοσιεύσω στο mathematica όσο το δυνατό περισσότερες μπορέσω και όχι τόσο η συμμετοχή. Παρόλα αυτά οι ενδιαφερόμενοι μελετητές τούτων είναι δυνατό να δώσουν τις δικές τους αποδείξεις-λύσεις και ακόμη να κάνουν τις δικές τους επεκτάσεις-γενικεύσεις και τα δικά τους σχόλια.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=56328
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 356.doc

(17 KiB) Μεταφορτώθηκε 20 φορές

1α(48).jpg (219.77 KiB) Προβλήθηκε 5682 φορές

1α(48)α.jpg (357.19 KiB) Προβλήθηκε 5682 φορές

1α(48)β.jpg (173.04 KiB) Προβλήθηκε 5682 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

ΑΚΥΡΟ

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1 α(53).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 358, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=112&t=5636&start=160
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

1α(53).jpg (168.46 KiB) Προβλήθηκε 5382 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Πρόταση 1 α(53), συνημμένο 358 (βλέπε προηγούμενο ποστ).

Είναι απλό: Θα δούμε αρχικά πώς οι τέσσερις πρώτες δοθείσες ισότητες συνεπάγονται την πέμπτη. Στο σχήμα που ακολουθεί, μέσα στις παρενθέσεις είναι οι αποστάσεις από το . Τις βρίσκουμε με την σειρά , άρα , κατόπιν , και .

Για το αποδεικτέο, δηλαδή το , έχουμε και (ίσο με το προηγούμενο), όπως θέλαμε.

Tα υπόλοιπα βγαίνουν είτε με τετριμμένη παραλλαγή του παραπάνω απλούστατου τρόπου, είτε ως εξής. Για παράδειγμα ας δούμε πώς η 1η, 2η, 3η και 5η δείχνουν την 4η: Θεωρούμε την 1η, 2η, 3η και έστω το μέσον του . Δηλαδή ισχύουν οι προϋποθέσεις αυτού που μόλις αποδείξαμε αλλά με το στην θέση του . Από το προηγούμενο, το είναι το μέσον του και άρα ταυτίζεται με το . Τελειώσαμε.

Όμοια τα υπόλοιπα, με τετριμμένη παραλλαγή κάθε φορά, των παραπάνω.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1 α(53).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 358, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=112&t=5636&start=160
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α(53).jpg

Απόδειξη της Πρότασης 1α(53).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 358, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Πρότασης αυτής.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.

Υπόψη ότι μετά από μικρό χρονικό διάστημα, θα ακολουθήσει η ανάρτηση μιας πρόσφατης Πρότασής μου που αναφέρεται σε ειδική περίπτωση της Πρότασης 1α(53).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=5323
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

1α(53).jpg (168.46 KiB) Προβλήθηκε 5225 φορές

1α(53)α.jpg (277.42 KiB) Προβλήθηκε 5225 φορές

1α(53)β.jpg (262.02 KiB) Προβλήθηκε 5225 φορές

1α(53)γ.jpg (253.95 KiB) Προβλήθηκε 5225 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1 α(53).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 358, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=112&t=5636&start=160
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α(53).jpg

Απόδειξη της Πρότασης 1α(53).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 358, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Πρότασης αυτής.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.

Υπόψη ότι μετά από μικρό χρονικό διάστημα, θα ακολουθήσει η ανάρτηση μιας πρόσφατης Πρότασής μου που αναφέρεται σε ειδική περίπτωση της Πρότασης 1α(53).


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=5323
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α(53).jpg
1α(53)α.jpg
1α(53)β.jpg
1α(53)γ.jpg

Ειδική Περίπτωση της Πρότασης 1 α(53).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 358α, αναρτώ μία "Ειδική Περίπτωση της παραπάνω Πρότασης 1 α(53)".

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Ειδική Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδειξη, δε θα ακολουθήσει λόγω της μεγάλης ευκολίας της γεωμετρικής της απόδειξης.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Ειδική Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Νέο - Έγγραφο του Microsoft Word.doc

(20 KiB) Μεταφορτώθηκε 24 φορές

[Mihalis_Lambrou]

συνημμένο μου, με αριθμό 358α, αναρτώ μία "Ειδική Περίπτωση της παραπάνω Πρότασης 1 α(53)".

Είναι τετριμμένο και κοινότατο: Για παράδειγμα αν τα είναι τα μέσα των πλευρών του τριγώνου, τότε το είναι παραλληλόγραμμο. Οπότε αν το μέσον της διαγωνίου τότε το είναι το μέσον και της άλλης διαγωνίου , και αντίστροφα. Αυτό αποδεικνύει δύο από τα ζητούμενα. Με ανάλογο εξ ίσου άμεσο τρόπο και τα υπόλοιπα ζητούμενα.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(60).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 380, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμνο 380.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 21 φορές

]

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Πρόταση 1α(60). Συνημμένο 390.

Αρχίζω με μία αναδιατύπωση της πρότασης γιατί ως έχει η εκφώνηση, χάνεται η κομψότητα στον επίπονο συμβολισμό: Έχουμε μία τριγωνική πυραμίδα στις πλάγιες έδρες της οποίας υπάρχουν από τρεις συγκλίνουσες σεβιανές. Τα άκρα των σεβιανών που ξεκινούν από την βάση είναι κοινά ανά ζεύγη (κόκκινα στο σχήμα). Να αποδειχθεί ότι οι τρεις σεβιανές στην βάση είναι συγκλίνουσες.

Στο σχήμα δεν σχεδιάσα όλες τις σεβιανές για να μην βαρύνει η εικόνα, αλλά αρκέστηκα ως δείγμα σε μία μόνο τριάδα σεβιανών (κόκκινες).

H απόδειξη του ζητούμενου είναι απλούστατη, αν και η πληκτρολόγιση μεγάλη: Από το Θεώρημα του Ceva στις τρεις πλάγιες έδρες έχουμε διαδοχικά

, και και '

Πολλαπλασιάζουμε κατά μέλη. Πολλοί όροι απλοποιούνται (για παράδειγμα οι μπλε, οι πράσινοι και οι κόκκινοι, αντίστοιχα). Μένει

, που δίνει την ζητούμενη σύγκλιση.

Το αντίστροφο είναι εξ ίσου απλό. Υποθέτουμε ότι οι σεβιανές της βάσης (με άκρα τα ) συγκλίνουν. Φέρουμε τις να τέμνονται επί της . Mετά φέρνουμε την να διέρχεται από το κοινό σημείο των σεβιανών . Τώρα, από το ευθλύ αλλά κοιτώντας την πυραμίδα με βάση την και κορυφή την , έπεται ότι οι σεβιανές και της έδρας συγκλίνουν. Τελειώσαμε.

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1α(60).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 380, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμνο 380.doc]

Απόδειξη της Πρότασης 1α(60).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 380, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Πρότασης αυτής.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμνο 380.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 16 φορές

Σελίδα 1.jpg (258.09 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Σελίαδα 2.jpg (363.18 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

Σελίδα 3.jpg (235.23 KiB) Προβλήθηκε 965 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέα Άσκηση 1α(57).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 359, αναρτώ μία άλλη νέα μου Άσκηση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=6&t=57414
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 359.jpg (145.79 KiB) Προβλήθηκε 868 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέα Άσκηση 1α(57)., με το παρακάτω συνημμένο με αριθμό 359

Δεν ξέρω αν πρέπει να ονομάζονται Προτάσεις οι μικρές παρατηρήσεις με αποδείξεις λίγων γραμμών. Κανονικά είναι ένα βήμα σε κάποια άλλη απόδειξη. Ας είναι.

Στο τρίγωνο οι δύο κύκλοι (εξ ορισμού) εφάπτονται εξωτερικά, άρα είναι οι παραγεγραμμένοι του κύκλοι. Τα κέντρα τους είναι επί των διχοτόμων του, εσωτερικών ή εξωτερικών (κόκκινες στο σχήμα). οι οποίες σε κάθε γωνία είναι κάθετές μεταξύ τους. Άρα οι είναι ύψη του , οπότε ο κύκλος είναι ο κύκλος του Euler στο ο οποίος, ως γνωστόν, διέρχεται και από τα μέσα των πλευρών του. Ειδικά το είναι μέσον της .

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέα Άσκηση 1α(57).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 359, αναρτώ μία άλλη νέα μου Άσκηση.

Βασιζόμενοι στη παραπάνω Άσκηση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου απόδείξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Πρόταση, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 359.jpg

Απόδειξη της Άσκησης 1α(57).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 359, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή Γεωμετρική απόδειξη της Άσκησης αυτής.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για την παραπάνω Άσκησης, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... 74#p361674
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Σελίδα 1.jpg (316.64 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

Σελίδα 2.jpg (159.44 KiB) Προβλήθηκε 772 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέος Γεωμετρικός Τοπος 1α(58).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 360, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω γ.τ, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για τον παραπάνω γ.τ, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

1α (58)_.jpg (127.01 KiB) Προβλήθηκε 555 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Νέος Γεωμετρικός Τοπος 1α(60).
... συνημμένο μου, με αριθμό 360

Ουσιαστικά είναι λυμένο ήδη: Πριν από λίγες μέρες είδαμε εδώ τον γ.τ. του . Από εκεί πέρα είμαστε ένα τετριμμένο βήμα από την εύρεση του γ.τ. του μέσου του . Είναι ο ομοιόθετος κύκλος με λόγο ομοιοθεσίας και κέντρο (που φυσικά είναι κύκλος).

[ΝΙΚΟΣ]

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ

Νέος Γεωμετρικός Τοπος 1α(58).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 360, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω γ.τ, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Δική μου λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Αγαπητοί φίλοι, και για τον παραπάνω γ.τ, παρακαλώ οι ενδεχόμενες απαντήσεις σας, να είναι πάντα μέσα στο παραπάνω αναφερόμενο πνεύμα του ποστ 1.


Φιλικά
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
1α (58)_.jpg

Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 1α(58).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 360, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού, η οποία βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 1α(53), ποστ.170.

βασιζόμενοι στον παραπάνω γ,τ,, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που τον επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
viewtopic.php?f=62&t=51135&start=80
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
[attachment=0]1α(58).jpg[/attachment]
[attachment=1]1α(58)α.jpg[/attachment]