ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#61

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Δευ Φεβ 20, 2023 2:38 pm

Λυση Προβλήματος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 315, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 315.doc
(41.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 60 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#62

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τετ Φεβ 22, 2023 11:51 am

Πρόβλημα 14. ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 313, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
Συνημμένο 313.doc
(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 82 φορές
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#63

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Κυρ Φεβ 26, 2023 8:25 am

Κατασκευή 14.ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 313, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του παραπάνω Προβλήματος 14.

Όπως και στο συνημμένο μου 313 αναφέρεται, η απόδειξη του του Προβλήματος 14 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600

Ακόμη, αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 313.doc
(34 KiB) Μεταφορτώθηκε 53 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#64

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Σάβ Μαρ 04, 2023 10:56 am

Πρόταση.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 316, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δύο δικές μου σχετικές αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc
(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#65

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τρί Μαρ 07, 2023 8:51 am

Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 54), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc
(39.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 55 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#66

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τρί Μαρ 07, 2023 8:57 am

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 07, 2023 8:51 am
Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#67

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τρί Μαρ 07, 2023 11:57 am

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 07, 2023 8:57 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τρί Μαρ 07, 2023 8:51 am
Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc
(39.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#68

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Πέμ Μαρ 16, 2023 2:44 pm

Πρόβλημα. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΕΣ ΤΟΜΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 317, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε ΑΡΜΟΝΙΚΑ τετράπλευρα με κοινές τομές των διαγωνίων τους.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 317.doc
(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές


Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2232
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
Επικοινωνία:

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#69

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Κυρ Μαρ 19, 2023 12:45 am

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 16, 2023 2:44 pm
11(98). Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφούν δύο τυχαία αρμονικά τετράπλευρα, των οποίων οι δύο τομές των διαγώνιών τους να συμπίπτουν.
\bullet Έστω (O) ο δοσμένος κύκλος και ας είναι P, τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.

Έστω PA,\ PC, οι εφαπτόμενες του κύκλου (O) από το σημείο P και ας είναι PBD τυχούσα διατέμνουσα του (O) με το σημείο B έστω, μεταξύ των P,\ D.

Το τετράπλευρο ABCD είναι αρμονικό και έστω K, το σημείο τομής των διαγωνίων του AC,\ BD.

Έστω EZ, η διάμετρος του κύκλου (O) δια του σημείου K και ας είναι S, η προβολή του σημείου P, επί της ευθείας EZ με το Z έστω, μεταξύ των K,\ S.
f 112_t 4477 (#68).PNG
Πρωτοεμφανιζόμενες προτάσεις (#68)
f 112_t 4477 (#68).PNG (35.98 KiB) Προβλήθηκε 5531 φορές
\bullet Από τυχόν σημείο P', της ευθείας PS, φέρνουμε τις εφαπτόμενες P'A',\ P'C' του κύκλου (O) και την διατέμνουσα P'B'D' δια του σημείου K, με το σημείο B' έστω, μεταξύ των P',\ D'.

Η ευθεία A'C' ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου P', ως προς τον κύκλο (O) και περνάει από το σημείο K γιατί το P' ανήκει στην ευθεία PS, η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου K ως προς τον (O).

Το τετράπλευρο A'B'C'D' είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του A'C',\ B'D' να ταυτίζεται με το K και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.

Κώστας Βήττας.


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#70

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Δευ Μαρ 20, 2023 11:35 am

vittasko έγραψε:
Κυρ Μαρ 19, 2023 12:45 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Πέμ Μαρ 16, 2023 2:44 pm
11(98). Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφούν δύο τυχαία αρμονικά τετράπλευρα, των οποίων οι δύο τομές των διαγώνιών τους να συμπίπτουν.
\bullet Έστω (O) ο δοσμένος κύκλος και ας είναι P, τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.

Έστω PA,\ PC, οι εφαπτόμενες του κύκλου (O) από το σημείο P και ας είναι PBD τυχούσα διατέμνουσα του (O) με το σημείο B έστω, μεταξύ των P,\ D.

Το τετράπλευρο ABCD είναι αρμονικό και έστω K, το σημείο τομής των διαγωνίων του AC,\ BD.

Έστω EZ, η διάμετρος του κύκλου (O) δια του σημείου K και ας είναι S, η προβολή του σημείου P, επί της ευθείας EZ με το Z έστω, μεταξύ των K,\ S.
f 112_t 4477 (#68).PNG
\bullet Από τυχόν σημείο P', της ευθείας PS, φέρνουμε τις εφαπτόμενες P'A',\ P'C' του κύκλου (O) και την διατέμνουσα P'B'D' δια του σημείου K, με το σημείο B' έστω, μεταξύ των P',\ D'.

Η ευθεία A'C' ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου P', ως προς τον κύκλο (O) και περνάει από το σημείο K γιατί το P' ανήκει στην ευθεία PS, η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου K ως προς τον (O).

Το τετράπλευρο A'B'C'D' είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του A'C',\ B'D' να ταυτίζεται με το K και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.

Κώστας Βήττας.
Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και στην προσπάθειά μου αυτή εδώ, αλλά και για την παραπάνω λύση του προβλήματος 11(98), η οποία συμπίπτει σχεδόν με τη δική μου, οπότε προφανώς και δε θα την αναρτήσω, αν και το είχα υποσχεθεί.

Θέλω όμως να επισημάνω ότι αυτή λύνεται εύκολα πλέον και χωρίς να ξοδέψεις «φαιά ουσία», με απλή εφαρμογή της μεθόδου του «Αρμονικού Μετασχηματισμού», ως εξής:
Στο επίπεδο του δοσμένου κύκλου και δίπλα απ’ αυτόν γράφουμε κύκλο στον οποίο και εγγράφουμε δύο τετράγωνα τα οποία μετασχηματίζουμε σε αρμονικά στον δοσμένο κύκλο, σύμφωνα με την Κατασκευή 152 του βιβλίου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε τα νέα τετράπλευρα είναι τα ζητούμενα.

Επίσης θέλω να κάνω γνωστό ότι σύντομα θα αναρτήσω ένα νέο πρόβλημα μου γεωμετρικής κατασκευής, το οποίο αποτελεί μια ειδική περίπτωση του παραπάνω προβλήματος 11(98).



Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#71

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τετ Μαρ 22, 2023 10:37 am

Πρόβλημα 149. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 318, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε αρμονικά τετράπλευρα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 318.doc
(27 KiB) Μεταφορτώθηκε 60 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#72

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Παρ Μαρ 24, 2023 9:51 am

Κατασκευή 149.ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 318, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τΙς ΔΎΟ δικές μου λεπτομερείς λύσεις του παραπάνω Προβλήματος 149.

Όπως και στο συνημμένο μου 318 αναφέρεται, οι αποδείξεις του Προβλήματος 149 αποτελούν εφαρμογές των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600

Αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 318.doc
(46 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#73

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Παρ Μαρ 31, 2023 10:18 am

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 319.doc
(19 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15865
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#74

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Παρ Μαρ 31, 2023 10:10 pm

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Παρ Μαρ 31, 2023 10:18 am
Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Ουσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων K' με K'\Gamma_1 = KA'_1 με K'\Gamma_1 // A \Gamma και  K'A_1 // AB. Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων K'' με K''A_1 = K''B_1 με K''A_1 // A B και  K''B_1 // B\Gamma. Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο K αφού ισχύει KA_1=KB_1=K\Gamma_1 (ίσον ας πούμε R), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου K και ακτίνας R.


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#75

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Δευ Απρ 03, 2023 10:18 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Παρ Μαρ 31, 2023 10:10 pm
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Παρ Μαρ 31, 2023 10:18 am
Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Ουσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων K' με K'\Gamma_1 = KA'_1 με K'\Gamma_1 // A \Gamma και  K'A_1 // AB. Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων K'' με K''A_1 = K''B_1 με K''A_1 // A B και  K''B_1 // B\Gamma. Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο K αφού ισχύει KA_1=KB_1=K\Gamma_1 (ίσον ας πούμε R), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου K και ακτίνας R.
Αυτή πραγματικά είναι η λύση του παραπάνω προβλήματος 11(97), πολύ εύκολη, οταν γνωρίζουμε τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο (#56) ή ακόμη πιο ευκολη (απλή εφαρμογή), οταν γνωρίζουμε την παραπάνω κατασκευή 7ι(190) (ποστ 61) συνημμένο 315,πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε άλλοτε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 319, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 319.doc
(32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 58 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#76

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Κυρ Απρ 09, 2023 9:53 am

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 1α(23)).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 320, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 320..doc
(17 KiB) Μεταφορτώθηκε 60 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#77

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τετ Απρ 12, 2023 8:11 am

Λυση του Προβλήματος 1α (23).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 320..doc
(792 KiB) Μεταφορτώθηκε 70 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#78

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Τρί Απρ 18, 2023 9:46 am

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τετ Απρ 12, 2023 8:11 am
Λυση του Προβλήματος 1α (23).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 320..doc

Λήμμα 1α(110)).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
παρακάτω αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 1α(110), αντί να αναρτήσω τη δεύτερη λύση της Κατασκευής 1α(23), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του λήμματος 1α(110) και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 1α(110), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 1α(110), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια θα ακολουθήσει και η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/


Mihalis_Lambrou
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 15865
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#79

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Mihalis_Lambrou » Τετ Απρ 19, 2023 1:53 am

ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 18, 2023 9:46 am

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».
Είναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές AB,CD είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα ABL, CLD είναι ίσα διότι AB=CD και \angle A = \angle C,\, \angle B = \angle D. Συνεπώς AL=CL, δηλαδή το τρίγωνο ACL είναι ισοσκελές. Άρα \angle LKC = \angle LAC = \angle ACL = \angle LKB, όπως θέλαμε.

Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών \angle LKC = \angle LKB δείχνει ότι το ACL είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα ABL, CLD είναι ίσα). Και λοιπά.
ises hordes.png
ises hordes.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 5223 φορές


ΝΙΚΟΣ
Διακεκριμένο Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1595
Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

#80

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΝΙΚΟΣ » Παρ Απρ 21, 2023 10:37 am

Mihalis_Lambrou έγραψε:
Τετ Απρ 19, 2023 1:53 am
ΝΙΚΟΣ έγραψε:
Τρί Απρ 18, 2023 9:46 am

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».
Είναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές AB,CD είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα ABL, CLD είναι ίσα διότι AB=CD και \angle A = \angle C,\, \angle B = \angle D. Συνεπώς AL=CL, δηλαδή το τρίγωνο ACL είναι ισοσκελές. Άρα \angle LKC = \angle LAC = \angle ACL = \angle LKB, όπως θέλαμε.

Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών \angle LKC = \angle LKB δείχνει ότι το ACL είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα ABL, CLD είναι ίσα). Και λοιπά. ises hordes.png
Αυτή πραγματικά είναι η απόδειξη της παραπάνω βοηθητικής πρότασης 1α(110), πολύ εύκολη, πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 322, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη αυτής.

Θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα και η δέυτερη λύση του προβλήματος 1α(23), που βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 1α(110), όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 78).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 322.pdf
(354.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 76 φορές


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες