Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους, με υγεία και κάθε χαρά στις οικογένειές σας.
Έχει τύχει να ασχοληθώ με αυτό το πρόβλημα στο παρελθόν (πριν την εποχή του υπολογιστή και διαδικτύου για μένα) και είχαν προκύψει κάποιες ενδιαφέρουσες επεκτάσεις και γενικεύσεις.
Αργότερα, όπως συμβαίνει συνήθως, διαπίστωσα ότι από αυτά που θεωρούσα ως προσωπικές κατασκευές, κάποια έχουν ανακαλυφθεί νωρίτερα από άλλους και εδώ (
Νίκος Κυριαζής ) και στην αλλοδαπή (
Flour van Lamoen ).
Η απόδειξη που έχω υπόψη μου για την πρόταση 11 όπως την έβαλε ο Νίκος, δεν είναι δύσκολη και την αφήνω προς το παρόν για όσους δεν την έχουν ξαναδεί. Διαφέρει από την όμορφη του Νίκου, με Διπλούς λόγους.
Στο σχήμα που ακολουθεί το εγγεγραμμένο εξάγωνο της πρότασης 11, συγκροτείται από ζεύγη σημείων επί των πλευρών δοσμένου τριγώνου
, ως τα σημεία τομής των από τυχόντα κύκλο
.
- Πρόταση 11.
- f 112_t 44778 (Πρόταση 11).PNG (33.35 KiB) Προβλήθηκε 4402 φορές
Αποδεικνύεται ότι στο εξάγωνο
που αντιστοιχεί στην πρόταση 11, οι διαγώνιές του
τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το
.
Επεκτείνοντας το πρόβλημα, αποδεικνύεται ακόμη ότι:
α) Οι ευθείες
τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το
.
β) Οι ευθείες
τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το
.
γ) Τα σημεία
είναι συνευθειακά.
Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για άλλα ζεύγη σημείων επί των πλευρών του
( ισοτομικών, ίχνη ισογωνίων ευθείων και άλλα ).
Το ενδιαφέρον γενικό θεώρημα που προέκυψε από την μελέτη του σχήματος, αφορά στα συγκλίνοντα ευθύγραμμα τμήματα ( τρία ευθύγραμμα ορίζονται ως συγκλίνοντα, όταν οι ευθείες στις οποίες ανήκουν, είναι συντρέχουσες ). Το έχουμε ξαναδεί στο
και θα δώσω την σχετική αναφορά αργότερα.
Στο παραπάνω σχήμα, με αφετηρία την σύγκλιση στο σημείο
των ευθυγράμμων τμημάτων
( που αποδεικνύεται ανεξάρτητα από την πρόταση 11 ), αποδεικνύονται τα ως άνω αποτελέσματα, (β), (γ) και η συντρέχεια των διαγωνίων του εξαγώνου
και εν γένει (*) δεν έχει σημασία πως είναι διευθετημένα τα τμήματα και τα άκρα τους, στο επίπεδο ή στον χώρο.
Τα σημεία
στο σχήμα, δύναται να θεωρηθούν και ως οι προβολές των κορυφών εξαέδρου στο επίπεδο, του οποίου οι απέναντι έδρες είναι προοπτικά τετράπλευρα, με σημεία προοπτικότητας τις κορυφές του δοσμένου τριγώνου
και του οποίου οι διαγώνιες αποδεικνύεται ότι τέμνονται στο ίδιο σημείο. Ο κύβος είναι μία ειδική περίπτωση τέτοιου εξαέδρου.
(*)
ΘΕΩΡΗΜΑ. Δίνονται τρία ευθύγραμμα τμήματα συγκλίνοντα στο σημείο έστω και έστω τα σημεία και και Αποδείξτε ότι :
(α) - Οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(β) - Οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(γ) - Η ευθεία περνάει από το σημείο
Κώστας Βήττας.