ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[Mihalis_Lambrou]

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ ), όμοια και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα αντίστοιχα). Άρα . όπως θέλαμε.
.

Υπόψη: Στο συνημμένο 330, όπως και στα προηγούμενα, το pdf που περιέχουν δεν ανοίγει. Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε ένα pdf μέσα σε ένα αρχείο Word. Καλύτερα ένα σκέτο Word ή ένα σκέτο pdf. Μέχρι τώρα δεν έχω καταφέρει να δω ΚΑΝΕΝΑ από τα επισυναπτόμενα pdf. Έχουν και άλλοι το ίδιο πρόβλημα;
.

[ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ]

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ ), όμοια και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα αντίστοιχα). Άρα . όπως θέλαμε.
.

Υπόψη: Στο συνημμένο 330, όπως και στα προηγούμενα, το pdf που περιέχουν δεν ανοίγει. Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε ένα pdf μέσα σε ένα αρχείο Word. Καλύτερα ένα σκέτο Word ή ένα σκέτο pdf. Μέχρι τώρα δεν έχω καταφέρει να δω ΚΑΝΕΝΑ από τα επισυναπτόμενα pdf. Έχουν και άλλοι το ίδιο πρόβλημα;
.

Σε εμένα ένα διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο με το pdf μέσα στο word ανοίγει το pdf.

[ΝΙΚΟΣ]

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ ), όμοια και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα αντίστοιχα). Άρα . όπως θέλαμε.
.

Υπόψη: Στο συνημμένο 330, όπως και στα προηγούμενα, το pdf που περιέχουν δεν ανοίγει. Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε ένα pdf μέσα σε ένα αρχείο Word. Καλύτερα ένα σκέτο Word ή ένα σκέτο pdf. Μέχρι τώρα δεν έχω καταφέρει να δω ΚΑΝΕΝΑ από τα επισυναπτόμενα pdf. Έχουν και άλλοι το ίδιο πρόβλημα;
.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή, τη πληροφορία και την απόδειξη της πρότασης.

[Mihalis_Lambrou]

Άλλη λύση στο προηγούμενο. Θα χρησιμοποιήσω το σχήμα στο ποστ #101.

Από την δύναμη του σημείου ως προς τοπν δεξιό κύκλο, έχουμε . Όμοια .

Διαιρώντας κατά μέλη και με απλοποίηση του κοινού όρου , έχουμε .

Αλλά από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε που σημαίνει ότι μετά την απλοποίηση αυτών των κλασμάτων στην μένει . Το ζητούμενο έπεται.

[ΝΙΚΟΣ]

Είναι άμεσο: Τα τρίγωνα είναι ίσα γιατί έχουν ως χορδές στον ίδιο κύκλο που τις βλέπουν ίσες γωνίες (εδώ ), όμοια και οι περιεχόμενες γωνίες είναι και οι δύο ίσες με (από τα εγγράψιμμα τετράπλευρα αντίστοιχα). Άρα . όπως θέλαμε.
.

Υπόψη: Στο συνημμένο 330, όπως και στα προηγούμενα, το pdf που περιέχουν δεν ανοίγει. Δεν έχει νόημα να τοποθετούμε ένα pdf μέσα σε ένα αρχείο Word. Καλύτερα ένα σκέτο Word ή ένα σκέτο pdf. Μέχρι τώρα δεν έχω καταφέρει να δω ΚΑΝΕΝΑ από τα επισυναπτόμενα pdf. Έχουν και άλλοι το ίδιο πρόβλημα;
.

Σε εμένα ένα διπλό κλικ πάνω στο εικονίδιο με το pdf μέσα στο word ανοίγει το pdf.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και τη πληροφορία.
Θα ήθελα όμως ανάλογες πληροφορίες και από άλλους φίλους.


Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Άλλη λύση στο προηγούμενο. Θα χρησιμοποιήσω το σχήμα στο ποστ #101.

Από την δύναμη του σημείου ως προς τοπν δεξιό κύκλο, έχουμε . Όμοια .

Διαιρώντας κατά μέλη και με απλοποίηση του κοινού όρου , έχουμε .

Αλλά από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε που σημαίνει ότι μετά την απλοποίηση αυτών των κλασμάτων στην μένει . Το ζητούμενο έπεται.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την νέα δεύτερη απόδειξη της πρότασης 1ζ(36).
Η απόδειξη αυτή προφανώς είναι ανάλογη με τη απόδειξη του προβλήματος 1α(23), που έχει αναρτηθεί παραπάνω με το συνημμένο 320 (ποστ # 77, δευτερο εικονίδειο).

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Άλλη λύση στο προηγούμενο. Θα χρησιμοποιήσω το σχήμα στο ποστ #101.

Από την δύναμη του σημείου ως προς τοπν δεξιό κύκλο, έχουμε . Όμοια .

Διαιρώντας κατά μέλη και με απλοποίηση του κοινού όρου , έχουμε .

Αλλά από το θεώρημα της διχοτόμου έχουμε που σημαίνει ότι μετά την απλοποίηση αυτών των κλασμάτων στην μένει . Το ζητούμενο έπεται.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την νέα δεύτερη απόδειξη της πρότασης 1ζ(36).
Η απόδειξη αυτή προφανώς είναι ανάλογη με τη απόδειξη του προβλήματος 1α(23), που έχει αναρτηθεί παραπάνω με το συνημμένο 320 (ποστ # 77, δεύτερο εικονίδιο).

Νίκος Κυριαζής

[ΝΙΚΟΣ]

Νέα Πρόταση 1ζ(36).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 330, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
Συνημμένο 330.doc

Δύο αποδείξεις της Πρότασης 1ζ(36).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 330, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Παρακαλώ επίσης τους φίλους που ανοίγουν τα συνημμένα μου, να με ενημερώνουν αν εξακολουθούν να βρίσκουν δυσκολίες κατά το άνοιγμά τους, καθώς πιστεύω ότι εντόπισα την αιτία του προβλήματος και ότι το έχω αντιμετωπίσει επιτωχώς.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 330.doc

(136.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 47 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Γεωμετρικός Τόπος 5θ(156).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 331, αναρτώ έναν άλλο νέο μου Γεωμετρικό Τόπο.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 331.doc

(19 KiB) Μεταφορτώθηκε 47 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Γεωμετρικός Τόπος 5θ(156).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 331, αναρτώ έναν άλλο νέο μου Γεωμετρικό Τόπο.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
Συνημμένο 331.doc

Λήμμα 5θ(155).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 332 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 5θ(155), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.5θ(156), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 5θ(156).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 5θ(155), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που το επινόησα και το προτείνω παρά την ευκολη απόδειξή του.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 5θ(155), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 332.doc

(20 KiB) Μεταφορτώθηκε 40 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Λήμμα 5θ(155).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι,
παρακάτω με το συνημμένο μου 332 αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 5θ(155), αντί να αναρτήσω τη λύση του γ.τ.5θ(156), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η λύση μου του γ.τ. 5θ(156).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του παραπάνω λήμματος και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 5θ(155), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής

Συνημμένο 332.doc

Απόδειξη της Πρότασης 5θ(155).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 332, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου απόδειξη της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στη παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά, αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που την επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Παρακαλώ επίσης τους φίλους που ανοίγουν τα συνημμένα μου, να με ενημερώνουν αν εξακολουθούν να βρίσκουν δυσκολίες ή όχι κατά το άνοιγμά τους, καθώς πιστεύω ότι εντόπισα την αιτία του προβλήματος και ότι το έχω αντιμετωπίσει επιτωχώς.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 332.doc

(822.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Γεωμετρικός Τόπος 5θ(156).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 331, αναρτώ έναν άλλο νέο μου Γεωμετρικό Τόπο.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Νίκος Κυριαζής

Συνημμένο 331.doc

Λύση του Γεωμετρικού Τόπου 5θ(156).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 331, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του γ.τ. αυτού, η οποία βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 5θ(155), ποστ.111.

βασιζόμενοι στον παραπάνω γ,τ,, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που τον επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Παρακαλώ επίσης τους φίλους που ανοίγουν τα συνημμένα μου, να με ενημερώνουν αν εξακολουθούν να βρίσκουν δυσκολίες ή όχι κατά το άνοιγμά τους, καθώς πιστεύω ότι εντόπισα την αιτία του προβλήματος και ότι το έχω αντιμετωπίσει επιτωχώς.

Υπενθυμίζω ότι οι 5θ(155), 5θ(156) τόμος 5, 7ια(1), 7ια(4), 7ια(6) τόμος 7, αποτελούν νέες Προτάσεις, Προβλήματα και γ.τ. του γράφντος, τις οποίες πρωτοεμφάνισα στο βιβίο μου ¨Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας¨.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 331.doc

(344.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρίας 1ζ(44).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 333, αναρτώ ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα Γεωμετρίας .
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 333.doc

(21.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 45 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα Γεωμετρίας 1ζ(44).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 333, αναρτώ ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα Γεωμετρίας .
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Συνημμένο 333.doc

Ίσως χάνω κάτι δεδομένου ότι η άσκηση παρά είναι απλή. Όπως στο σχήμα θέλουμε . Λύνουμε τώρα το γραμμικό σύστημα ως προς (ένας εύκολος τρόπος από τους πολλούς είναι να αρχίσουμε προσθέτοντας κατά μέλη τις τρεις εξισώσεις). Θα βρούμε

. Και λοιπά.

H διερεύνηση (που απαιτεί ), άμεση.

Και ένα σχόλιο: Κατά την γνώμη μου θα ήταν ποιο εποικοδομητικό να έμπαινε σε πλήρη θέα η εκφώνηση και το σχήμα αντί να είναι σε συνημμένο. Όπως είναι τώρα, αν κάποιος θέλει να διαβάσει την άσκηση ή την λύση πρέπει να κατεβάσει στον υπολογιστή του και να ανοίξει από εκεί το συνημμένο, και να το ξανακάνει όλο αυτό κάθε φορά που διαβάζει την άσκηση. Το αποτέλεσμα, όπως αναπόδραστα παρατηρεί κανείς κοιτώντας πόσες φορές συνολικά έχει κατέβει το εκάστοτε συνημμένο, θα διαπιστώσει ότι είναι ιδιαίτερα λίγες. Καλό είναι να μην αδικούνται οι εν λόγω ασκήσεις. Σε όλα τα άλλα αντίστοιχα ποστ στο φόρουμ, ο εκάστοτε θεματοθέτης παραθέτει σε ανοικτή/απευθείας θέα την εκφώνηση και το σχήμα, για διευκόλυνση του αναγνώστη. Υποθέτω ότι το απαιτούν και οι κανονισμοί μας.

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρίας 1ζ(44).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 333, αναρτώ ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα Γεωμετρίας.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Συνημμένο 333.doc

Ίσως χάνω κάτι δεδομένου ότι η άσκηση παρά είναι απλή. Όπως στο σχήμα θέλουμε . Λύνουμε τώρα το γραμμικό σύστημα ως προς (ένας εύκολος τρόπος από τους πολλούς είναι να αρχίσουμε προσθέτοντας κατά μέλη τις τρεις εξισώσεις). Θα βρούμε

. Και λοιπά.

H διερεύνηση (που απαιτεί ), άμεση.

Και ένα σχόλιο: Κατά την γνώμη μου θα ήταν ποιο εποικοδομητικό να έμπαινε σε πλήρη θέα η εκφώνηση και το σχήμα αντί να είναι σε συνημμένο. Όπως είναι τώρα, αν κάποιος θέλει να διαβάσει την άσκηση ή την λύση πρέπει να κατεβάσει στον υπολογιστή του και να ανοίξει από εκεί το συνημμένο, και να το ξανακάνει όλο αυτό κάθε φορά που διαβάζει την άσκηση. Το αποτέλεσμα, όπως αναπόδραστα παρατηρεί κανείς κοιτώντας πόσες φορές συνολικά έχει κατέβει το εκάστοτε συνημμένο, θα διαπιστώσει ότι είναι ιδιαίτερα λίγες. Καλό είναι να μην αδικούνται οι εν λόγω ασκήσεις. Σε όλα τα άλλα αντίστοιχα ποστ στο φόρουμ, ο εκάστοτε θεματοθέτης παραθέτει σε ανοικτή/απευθείας θέα την εκφώνηση και το σχήμα, για διευκόλυνση του αναγνώστη. Υποθέτω ότι το απαιτούν και οι κανονισμοί μας.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την λύση του προβλήματος 1ζ(44).
Η αλγεβρική λύση αυτή, προφανώς είναι εύκολη και ανάλογη με τη δεύτερη απόδειξη του προβλήματος 1ζ(34), που έχω αναρτήσει παραπάνω με το συνημμένο μου 328 (ποστ # 99, δεύτερο και τρίτο εικονίδια). Εδώ με τη λύση αυτή έχει προφανώς προκύψει ένα εξάγωνο εγγεγραμμένο στο τρίγωνο ABC και εύλογα προκύπτει το ερώτημα: Τούτο είναι και εγγράψιμο σε κύκλο ή όχι;

Ιδιαίτερα ευχαριστώ για το παραπάνω σχόλιο, καθώς τα σχόλια τα επιζητώ, γιατί μας δίνουν την δυνατότητα να βελτιώνουμε τις προσπάθειές μας. Τα αναφερόμενα θέματα στο παραπάνω σχόλιο, τα θεωρώ σωστά, και θα ήθελα να μπορούσα να τα εφαρμόσω. Όμως όλα αυτά, αλλά και πολλά άλλα, όλα μαζί αυτά τα έχω συνεκτιμήσει και έχω καταλήξει στον τρόπο παρουσίασής των εδώ προσπαθειών μου. Δηλαδή εκείνον τον τρόπο που ήδη χρησιμοποιώ.

Λύση του Γεωμετρικού Προβλήματος 1ζ(44).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 333, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του Προβλήματος αυτού.

βασιζόμενοι στο παραπάνω πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι αλλωστε και ο λόγος που το επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Παρακαλώ επίσης τους φίλους που ανοίγουν τα συνημμένα μου, να με ενημερώνουν αν εξακολουθούν να βρίσκουν δυσκολίες ή όχι κατά το άνοιγμά τους, καθώς πιστεύω ότι εντόπισα την αιτία του προβλήματος και ότι το έχω αντιμετωπίσει επιτωχώς.

Υπόψη ότι το Πρόβλημα 1ζ(32), που αναφέρω στην παρακάτω λύση του Προβλήματος 1ζ(44), αποτελεί προανώς ειδική περίπτωση του Προβλήματος 1ζ(44) και το οποίο έχω αναρτήσει με το συνημμένο μου 329, ποστ 96.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 333.doc

(21.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 50 φορές

Σάρωση 1ζ(44)..jpg (222.46 KiB) Προβλήθηκε 6544 φορές

Σάρωση 1ζ(44)α..jpg (356.9 KiB) Προβλήθηκε 6544 φορές

Σάρωση 1ζ(44)β..jpg (340.12 KiB) Προβλήθηκε 6544 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρίας 1ε(50).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 334, αναρτώ ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα Γεωμετρίας.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 334.doc

(19.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 37 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Το πρόβλημα 334 έχει άπειρες λύσεις, για δεδομένους κύκλους με κέντρα (οι μεγάλοι στο σχήμα).

Γράφουμε δύο ίσους τυχαίους κύκλους με κέντρα τα (οι μικροί στο σχήμα). Από το φέρνω την εφαπτομένη στον άλλο μικρό κύκλο, και ομοίως την εφαπτομένη . Οι είναι βέβαια ίσες. Από την τομή των δύο αρχικών κύκλων φέρνω την διατέμνουσα παράλληλη της , και ομοίως την παρ'άλληλη της . Ίσχυρίζομαι ότι οι ικανοποιούν το ζητούμενο. Πράγματι, είναι

. Τελιώσαμε.

Σχόλιο: Μιά άλλη διατύπωση της άσκησης (πιο ισχυρή) είναι να μου δώσουν τους δύο τεμνόμενους κύκλους και την διατέμνουσα από το κοινό τους σημείο. Κατόπιν, να ζητά την διατέμνουσα , ίση με την δοθείσα. Τα παραπάνω προσαρμόζονται εύκολα και για την πιο ισχυρή άσκηση, κάνοντας εν μέρη την αν'αποδη πορεία με πριν.

- - - - - - - - - - -

Και άλλο ένα σχόλιο: Θα κάνω άλλη μία φορά την παράκληση που έκανα στο ποστ 114:

... θα ήταν ποιο εποικοδομητικό να έμπαινε σε πλήρη θέα η εκφώνηση και το σχήμα αντί να είναι σε συνημμένο. ... κοιτώντας πόσες φορές συνολικά έχει κατέβει το εκάστοτε συνημμένο, θα διαπιστώσει ότι είναι ιδιαίτερα λίγες. ... Υποθέτω ότι το απαιτούν και οι κανονισμοί μας.

[ΝΙΚΟΣ]

Το πρόβλημα 334 έχει άπειρες λύσεις, για δεδομένους κύκλους με κέντρα (οι μεγάλοι στο σχήμα).

Γράφουμε δύο ίσους τυχαίους κύκλους με κέντρα τα (οι μικροί στο σχήμα). Από το φέρνω την εφαπτομένη στον άλλο μικρό κύκλο, και ομοίως την εφαπτομένη . Οι είναι βέβαια ίσες. Από την τομή των δύο αρχικών κύκλων φέρνω την διατέμνουσα παράλληλη της , και ομοίως την παρ'άλληλη της . Ίσχυρίζομαι ότι οι ικανοποιούν το ζητούμενο. Πράγματι, είναι

. Τελιώσαμε.

Σχόλιο: Μιά άλλη διατύπωση της άσκησης (πιο ισχυρή) είναι να μου δώσουν τους δύο τεμνόμενους κύκλους και την διατέμνουσα από το κοινό τους σημείο. Κατόπιν, να ζητά την διατέμνουσα , ίση με την δοθείσα. Τα παραπάνω προσαρμόζονται εύκολα και για την πιο ισχυρή άσκηση, κάνοντας εν μέρη την αν'αποδη πορεία με πριν.

- - - - - - - - - - -

Και άλλο ένα σχόλιο: Θα κάνω άλλη μία φορά την παράκληση που έκανα στο ποστ 114:

... θα ήταν ποιο εποικοδομητικό να έμπαινε σε πλήρη θέα η εκφώνηση και το σχήμα αντί να είναι σε συνημμένο. ... κοιτώντας πόσες φορές συνολικά έχει κατέβει το εκάστοτε συνημμένο, θα διαπιστώσει ότι είναι ιδιαίτερα λίγες. ... Υποθέτω ότι το απαιτούν και οι κανονισμοί μας.

Ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή και κυρίως για την όμορφη λύση του παραπάνω προβλήματος 1ε(50),(Συνημμένο 334, ποστ 116).

Όσον αφορά στο παραπάνω σχόλιο, αλλά και εκείνο του ποστ 114, έχω απαντήσει στο ποστ 115, όπου έχει αναφερθεί και μία ερώτηση, που πιστεύω ότι θα ήταν καλό να είχαμε κάποια απάντηση (Με άλγεβρα), καθώς στην διατύπωση του Προβλήματος 1ζ(44) συνημμένο 333 ποστ 113, θα μπορούσε να είχε συμπεριληφθεί και η ερώτηση αυτή.


Λύση του Γεωμετρικού Προβλήματος 1ε(50).

Αγαπητοί φίλοι,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 334, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λύση του Προβλήματος αυτού.

βασιζόμενοι στο παραπάνω πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά. Αυτός είναι άλλωστε και ο λόγος που το επινόησα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Σημειώνω εδώ ότι, τα 1ε(50), 1α(110) συνημμένο 322 ποστ 80, 1α(23) συνημμένο 320 ποστ 77 και 1β(41) συνημμένο 321 ποστ 81, αποτελούν νέες Προτάσεις- Προβλήματα του γράφοντος, που αναφέρονται στο παρακάτω συνημμένο 334 και που τα πρωτοεμφάνισα στο βιβλίο μου «Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας»(Τόμοι 1- 3).

Θα ήθελα εδώ να διευκρινίσω ότι, σχεδόν όλες οι σχετικές διαπραγματεύσεις μου σε Προτάσεις-Προβλήματα επιδιώκω, να είναι διεξοδικές (Με κάθε λεπτομέρεια) και όχι πρόχειρες [Να περιλαμβάνουν δηλαδή: Ανάλυση (σκεπτικό), Κατασκευή, Σύνθεση (απόδειξη), Σχήμα (Πλήρες, με σωστή και όμορφη εμφάνιση), Ενδεχομένως και με άλλες αποδείξεις- λύσεις-επεκτάσεις, Παρατηρήσεις (Σχόλια), Σημειώσεις, Παραπομπές, κτλ]. Αυτά πιστεύω ότι θα ήταν καλό να γίνονται, καθώς μας παρακολουθούν και μαθητές, αλλά και άλλοι στους οποίους δημιουργούνται ερωτηματικά, αν δεν έχουν πολλές γνώσεις σχετικές με το εκάστοτε αντικείμενο.

Παρακαλώ τους φίλους που ανοίγουν τα συνημμένα μου, να με ενημερώνουν, αν εξακολουθούν να βρίσκουν δυσκολίες ή όχι κατά το άνοιγμά τους, καθώς πιστεύω ότι εντόπισα την αιτία του προβλήματος και ότι το έχω αντιμετωπίσει επιτυχώς.

Μεαγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 334.doc

(428 KiB) Μεταφορτώθηκε 36 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Γεωμετρικός Τόπος 12(1).

Αγαπητοί φίλοι,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 335, αναρτώ έναν άλλο νέο μου γ.τ.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 335.doc

(18 KiB) Μεταφορτώθηκε 29 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Για την άσκηση στο συνημμένο 335:

Τα τρίγωνα είναι ίσα διότι (υπόθεση), (από το εγγράψιμμο ) και (από το εγγράψιμμο ). Άρα (δηλαδή ίσες χορδές του επάνω κύκλου), που σημαίνει ότι το είναι στην διχοτόμα της . 'Ομοια το αντίστροφο.

... Να περιλαμβάνουν δηλαδή: Ανάλυση (σκεπτικό), Κατασκευή, Σύνθεση (απόδειξη), Σχήμα (Πλήρες, με σωστή και όμορφη εμφάνιση), Ενδεχομένως και με άλλες αποδείξεις- λύσεις-επεκτάσεις, Παρατηρήσεις (Σχόλια), Σημειώσεις, Παραπομπές, κτλ ...

Δεν έχει νόημα να γράφουμε ιστορίες ολόκληρες για θέματα που είναι προφανή, της μισς ή δυο γραμμών. Τα Μαθηματικά θέλουν οικονομία και κομψότητα. Όταν πλατειάζουμε, χάνουμε την ουσία. Το μήνυμα που πρέπει να δώσουμε στους μαθητές μας είναι να εργάζονται με λιτότητα και συμπάγεια. Και θα συνεχίσω να το κάνω γιατί έχω χρέος ως δάσκαλος να δίνω τον μπούσουλα της ορθής Μαθηματικής πρακτικής.
.