ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Λυση Προβλήματος.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 315, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 315, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Λέξεις Κλειδιά:
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόβλημα 14. ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 313, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560 https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 313, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560 https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Κατασκευή 14.ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Με το παρακάτω συνημμένο μου 313, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του παραπάνω Προβλήματος 14.
Όπως και στο συνημμένο μου 313 αναφέρεται, η απόδειξη του του Προβλήματος 14 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600
Ακόμη, αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Με το παρακάτω συνημμένο μου 313, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του παραπάνω Προβλήματος 14.
Όπως και στο συνημμένο μου 313 αναφέρεται, η απόδειξη του του Προβλήματος 14 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600
Ακόμη, αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόταση.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 316, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δύο δικές μου σχετικές αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 316, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δύο δικές μου σχετικές αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Απόδειξη της Πρότασης 15.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 54), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.
βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 54), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.
βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Τρί Μαρ 07, 2023 8:51 amΑπόδειξη της Πρότασης 15.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.
βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Τρί Μαρ 07, 2023 8:57 amΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Τρί Μαρ 07, 2023 8:51 amΑπόδειξη της Πρότασης 15.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.
βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόβλημα. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΕΣ ΤΟΜΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 317, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε ΑΡΜΟΝΙΚΑ τετράπλευρα με κοινές τομές των διαγωνίων τους.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 317, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε ΑΡΜΟΝΙΚΑ τετράπλευρα με κοινές τομές των διαγωνίων τους.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2234
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Έστω ο δοσμένος κύκλος και ας είναι τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.
Έστω οι εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο και ας είναι τυχούσα διατέμνουσα του με το σημείο έστω, μεταξύ των
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του
Έστω η διάμετρος του κύκλου δια του σημείου και ας είναι η προβολή του σημείου επί της ευθείας με το έστω, μεταξύ των Από τυχόν σημείο της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου και την διατέμνουσα δια του σημείου με το σημείο έστω, μεταξύ των
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και περνάει από το σημείο γιατί το ανήκει στην ευθεία η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του να ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.
Κώστας Βήττας.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και στην προσπάθειά μου αυτή εδώ, αλλά και για την παραπάνω λύση του προβλήματος 11(98), η οποία συμπίπτει σχεδόν με τη δική μου, οπότε προφανώς και δε θα την αναρτήσω, αν και το είχα υποσχεθεί.vittasko έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 19, 2023 12:45 amΈστω ο δοσμένος κύκλος και ας είναι τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.
Έστω οι εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο και ας είναι τυχούσα διατέμνουσα του με το σημείο έστω, μεταξύ των
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του
Έστω η διάμετρος του κύκλου δια του σημείου και ας είναι η προβολή του σημείου επί της ευθείας με το έστω, μεταξύ των
f 112_t 4477 (#68).PNG
Από τυχόν σημείο της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου και την διατέμνουσα δια του σημείου με το σημείο έστω, μεταξύ των
Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και περνάει από το σημείο γιατί το ανήκει στην ευθεία η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον
Το τετράπλευρο είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του να ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.
Κώστας Βήττας.
Θέλω όμως να επισημάνω ότι αυτή λύνεται εύκολα πλέον και χωρίς να ξοδέψεις «φαιά ουσία», με απλή εφαρμογή της μεθόδου του «Αρμονικού Μετασχηματισμού», ως εξής:
Στο επίπεδο του δοσμένου κύκλου και δίπλα απ’ αυτόν γράφουμε κύκλο στον οποίο και εγγράφουμε δύο τετράγωνα τα οποία μετασχηματίζουμε σε αρμονικά στον δοσμένο κύκλο, σύμφωνα με την Κατασκευή 152 του βιβλίου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε τα νέα τετράπλευρα είναι τα ζητούμενα.
Επίσης θέλω να κάνω γνωστό ότι σύντομα θα αναρτήσω ένα νέο πρόβλημα μου γεωμετρικής κατασκευής, το οποίο αποτελεί μια ειδική περίπτωση του παραπάνω προβλήματος 11(98).
Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόβλημα 149. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 318, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε αρμονικά τετράπλευρα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 318, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε αρμονικά τετράπλευρα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Κατασκευή 149.ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Με το παρακάτω συνημμένο μου 318, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τΙς ΔΎΟ δικές μου λεπτομερείς λύσεις του παραπάνω Προβλήματος 149.
Όπως και στο συνημμένο μου 318 αναφέρεται, οι αποδείξεις του Προβλήματος 149 αποτελούν εφαρμογές των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600
Αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.
Με το παρακάτω συνημμένο μου 318, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τΙς ΔΎΟ δικές μου λεπτομερείς λύσεις του παραπάνω Προβλήματος 149.
Όπως και στο συνημμένο μου 318 αναφέρεται, οι αποδείξεις του Προβλήματος 149 αποτελούν εφαρμογές των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600
Αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16300
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Ουσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο αφού ισχύει (ίσον ας πούμε ), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου και ακτίνας .ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μαρ 31, 2023 10:18 amΠρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Αυτή πραγματικά είναι η λύση του παραπάνω προβλήματος 11(97), πολύ εύκολη, οταν γνωρίζουμε τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο (#56) ή ακόμη πιο ευκολη (απλή εφαρμογή), οταν γνωρίζουμε την παραπάνω κατασκευή 7ι(190) (ποστ 61) συνημμένο 315,πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε άλλοτε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Παρ Μαρ 31, 2023 10:10 pmΟυσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο αφού ισχύει (ίσον ας πούμε ), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου και ακτίνας .ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Παρ Μαρ 31, 2023 10:18 amΠρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με το παρακάτω συνημμένο μου 319, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 1α(23)).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 320, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 320, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Λυση του Προβλήματος 1α (23).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑Τετ Απρ 12, 2023 8:11 amΛυση του Προβλήματος 1α (23).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).
βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 320..doc
Λήμμα 1α(110)).
Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
παρακάτω αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 1α(110), αντί να αναρτήσω τη δεύτερη λύση της Κατασκευής 1α(23), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).
Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):
1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του λήμματος 1α(110) και τα σχετικά σχόλιά σας.
Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 1α(110), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.
Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 1α(110), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια θα ακολουθήσει και η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 16300
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 2:04 am
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Είναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι και . Συνεπώς , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα , όπως θέλαμε.
Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών δείχνει ότι το είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα είναι ίσα). Και λοιπά.
-
- Διακεκριμένο Μέλος
- Δημοσιεύσεις: 1700
- Εγγραφή: Παρ Νοέμ 13, 2009 8:35 pm
- Τοποθεσία: Καλαμαριά (Θεσσαλονίκη).
Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.
Αυτή πραγματικά είναι η απόδειξη της παραπάνω βοηθητικής πρότασης 1α(110), πολύ εύκολη, πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.Mihalis_Lambrou έγραψε: ↑Τετ Απρ 19, 2023 1:53 amΕίναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι και . Συνεπώς , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα , όπως θέλαμε.
Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών δείχνει ότι το είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα είναι ίσα). Και λοιπά. ises hordes.png
Με το παρακάτω συνημμένο μου 322, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη αυτής.
Θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα και η δέυτερη λύση του προβλήματος 1α(23), που βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 1α(110), όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 78).
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.
Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες