ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #41

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 14, 2022 12:15 pm
Πρόταση 6. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 309, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
Συνημμένο 309.doc

Θεωρούμε

την τομή της εφαπτομένης στο

με την

, το

ανήκει στην πολική του

άρα από La Hire το $S\in CA$
Παίρνουμε επίσης $X=EA\cap E_1'C$ και $Y=EC\cap C_1'A$ , οι CX,AY

συμμετροδιαμέσοι στο ECA

και τα

συνευθειακά.
Οι τετράδες (E_1',Z,X,C)

και

είναι αρμονικές επομένως θα πρέπει και S,D,Z

συνευθειακά.
Έτσι το τετράπλευρο BZED

είναι αρμονικό, θα είναι λοιπόν B,E,D_1'

συνευθειακά και μετά τα πράγματα είναι απλά.

#42

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ έγραψε: ↑
Πέμ Δεκ 15, 2022 5:12 pm

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 14, 2022 12:15 pm
Πρόταση 6. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 309, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
Συνημμένο 309.doc
Θεωρούμε την τομή της εφαπτομένης στο με την , το ανήκει στην πολική του άρα από La Hire το $S\in CA$
Παίρνουμε επίσης $X=EA\cap E_1'C$ και $Y=EC\cap C_1'A$ , οι συμμετροδιαμέσοι στο και τα συνευθειακά.
Οι τετράδες και είναι αρμονικές επομένως θα πρέπει και συνευθειακά.
Έτσι το τετράπλευρο είναι αρμονικό, θα είναι λοιπόν συνευθειακά και μετά τα πράγματα είναι απλά.

Αγαπητέ φίλε ΦΩΤΙΑΔΗ σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στη προσπάθειά μου αυτή και την απόδειξή της παραπάνω Γεωμετρικής Πρότασης μου.

Θα ήθελα όμως να προτείνω οι αποδείξεις μας να είναι ποιο λεπτομερείς, επειδή μας παρακολουθούν και μαθητές.

Με Γεωμετρική αγάπη
Νίκος Κυριαζής

#43

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 309, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 10.

Όπως και στο συνημμένο μου 309 αναφέρεται, η απόδειξη της Πρότασης 10 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτή να αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=580

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

#44

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Κάθε τρίγωνο, με το τρίγωνο που έχει πλευρές τις εφαπτόμενες στα τρία σημεία που οι σεβιανές του σημείου Gergonne του πρώτου από τα παραπάνω τρίγωνα επανατέμνουν τον εγγεγραμμένο κύκλο του ιδίου τριγώνου, έχουν κοινό σημείο Gergonne.

$\bullet$ Έστω $\vartriangle ABC$ το δοσμένο τρίγωνο και ας είναι $D,\ E,\ F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του (I),

στις πλευρές $BC,\ AC,\ AB,$ αντιστοίχως.

Έστω $D',\ E',\ F',$ τα σημεία τομής του κύκλου (I)

από τις ευθείες $AD,\ BE,\ CF$ αντιστοίχως και έστω το σημείο $R\equiv AD\cap BE\cap CF,$ γνωστό ως το Σημείο Gergone του $\vartriangle ABC.$

Η εφαπτομένη του κύκλου (I)

στο σημείο

τέμνει τις πλευρές $AB,\ AC,$ στα σημεία $K,\ L$ αντιστοίχως, η εφαπτομένη στο σημείο

τέμνει τις πλευρές $BC,\ AB$ στα σημεία $P,\ Q$ αντιστοίχως και η εφαπτομένη στο σημείο

τέμνει τις πλευρές $AC,\ BC$ στα σημεία $M,\ N,$ αντιστοίχως.

Έστω τα σημεία $A'\equiv MN\cap PQ$ και $B'\equiv KL\cap MN$ και $C'\equiv PQ\cap KL$ και θα αποδειχθεί ότι το

είναι το Σημείο Gergone και του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'.$

: Τρίγωνα με κοινό σημείο Gergone.; f 112_t 44778 (#40).PNG (25.34 KiB) Προβλήθηκε 3099 φορές

$\bullet$ Θεωρούμε το περιγεγραμμένο περί τον κύκλο (I)

τετράπλευρο AMA'Q

και σύμφωνα με το Θεώρημα Newton (a), έχουμε $EE'\cap FF'\cap AA'\cap MQ\equiv R\ \ \ ,(1)$

Από (1)

και $EE'\cap FF'\cap AD\equiv R$ συμπεραίνεται ότι οι ευθείες $ARA',\ ARD$ ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως η ευθεία

περνάει από το σημείο A'.

Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι ευθείες $BE,\ CF$ περνάνε από τα σημεία $B',\ C'$ αντιστοίχως και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#45

vittasko έγραψε: ↑
Τετ Δεκ 21, 2022 9:46 pm

ΝΙΚΟΣ έγραψε:Κάθε τρίγωνο, με το τρίγωνο που έχει πλευρές τις εφαπτόμενες στα τρία σημεία που οι σεβιανές του σημείου Gergonne του πρώτου από τα παραπάνω τρίγωνα επανατέμνουν τον εγγεγραμμένο κύκλο του ιδίου τριγώνου, έχουν κοινό σημείο Gergonne.

$\bullet$ Έστω $\vartriangle ABC$ το δοσμένο τρίγωνο και ας είναι $D,\ E,\ F,$ τα σημεία επαφής του εγγεγραμμένου κύκλου του στις πλευρές $BC,\ AC,\ AB,$ αντιστοίχως.

Έστω $D',\ E',\ F',$ τα σημεία τομής του κύκλου από τις ευθείες $AD,\ BE,\ CF$ αντιστοίχως και έστω το σημείο $R\equiv AD\cap BE\cap CF,$ γνωστό ως το Σημείο Gergone του $\vartriangle ABC.$

Η εφαπτομένη του κύκλου στο σημείο τέμνει τις πλευρές $AB,\ AC,$ στα σημεία $K,\ L$ αντιστοίχως, η εφαπτομένη στο σημείο τέμνει τις πλευρές $BC,\ AB$ στα σημεία $P,\ Q$ αντιστοίχως και η εφαπτομένη στο σημείο τέμνει τις πλευρές $AC,\ BC$ στα σημεία $M,\ N,$ αντιστοίχως.

Έστω τα σημεία $A'\equiv MN\cap PQ$ και $B'\equiv KL\cap MN$ και $C'\equiv PQ\cap KL$ και θα αποδειχθεί ότι το είναι το Σημείο Gergone και του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'.$
f 112_t 44778 (#40).PNG
$\bullet$ Θεωρούμε το περιγεγραμμένο περί τον κύκλο τετράπλευρο και σύμφωνα με το Θεώρημα Newton (a), έχουμε $EE'\cap FF'\cap AA'\cap MQ\equiv R\ \ \ ,(1)$

Από και $EE'\cap FF'\cap AD\equiv R$ συμπεραίνεται ότι οι ευθείες $ARA',\ ARD$ ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως η ευθεία περνάει από το σημείο

Ομοίως αποδεικνύεται ότι οι ευθείες $BE,\ CF$ περνάνε από τα σημεία $B',\ C'$ αντιστοίχως και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στη προσπάθειά μου αυτή και την απόδειξή της παραπάνω Γεωμετρικής Πρότασης μου.

Καλά Χριστούγεννα.

Νίκος Κυριαζής

#46

Πρόταση 11.ΕΞΑΠΛΕΥΡΟ ΜΕ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΔΙΑΓΏΝΙΕΣ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 310, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση, η οποία αναφέρται σε ΕΞΑΠΛΕΥΡΟ ΜΕ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΔΙΑΓΏΝΙΕΣ.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.

Συνημμένο 310.doc: (27.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 52 φορές

#47

Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους, με υγεία και κάθε χαρά στις οικογένειές σας.

Έχει τύχει να ασχοληθώ με αυτό το πρόβλημα στο παρελθόν (πριν την εποχή του υπολογιστή και διαδικτύου για μένα) και είχαν προκύψει κάποιες ενδιαφέρουσες επεκτάσεις και γενικεύσεις.

Αργότερα, όπως συμβαίνει συνήθως, διαπίστωσα ότι από αυτά που θεωρούσα ως προσωπικές κατασκευές, κάποια έχουν ανακαλυφθεί νωρίτερα από άλλους και εδώ ( Νίκος Κυριαζής ) και στην αλλοδαπή ( Flour van Lamoen ).

$\bullet$ Η απόδειξη που έχω υπόψη μου για την πρόταση 11 όπως την έβαλε ο Νίκος, δεν είναι δύσκολη και την αφήνω προς το παρόν για όσους δεν την έχουν ξαναδεί. Διαφέρει από την όμορφη του Νίκου, με Διπλούς λόγους.

Στο σχήμα που ακολουθεί το εγγεγραμμένο εξάγωνο της πρότασης 11, συγκροτείται από ζεύγη σημείων επί των πλευρών δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ , ως τα σημεία τομής των από τυχόντα κύκλο (K)

.

: Πρόταση 11.; f 112_t 44778 (Πρόταση 11).PNG (33.35 KiB) Προβλήθηκε 2963 φορές

Αποδεικνύεται ότι στο εξάγωνο A'B''C'A"B'C''

που αντιστοιχεί στην πρόταση 11, οι διαγώνιές του $A'A'',\ B'B'',\ C'C''$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

.

Επεκτείνοντας το πρόβλημα, αποδεικνύεται ακόμη ότι:

α) Οι ευθείες $AA',\ BB',\ CC'$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

.

β) Οι ευθείες $AA'',\ BB'',\ CC''$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το

.

γ) Τα σημεία $P,\ Q,\ R$ είναι συνευθειακά.

$\bullet$ Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για άλλα ζεύγη σημείων επί των πλευρών του $\vartriangle ABC$ ( ισοτομικών, ίχνη ισογωνίων ευθείων και άλλα ).

Το ενδιαφέρον γενικό θεώρημα που προέκυψε από την μελέτη του σχήματος, αφορά στα συγκλίνοντα ευθύγραμμα τμήματα ( τρία ευθύγραμμα ορίζονται ως συγκλίνοντα, όταν οι ευθείες στις οποίες ανήκουν, είναι συντρέχουσες ). Το έχουμε ξαναδεί στο

και θα δώσω την σχετική αναφορά αργότερα.

Στο παραπάνω σχήμα, με αφετηρία την σύγκλιση στο σημείο

των ευθυγράμμων τμημάτων $AA',\ BB',\ CC'$ ( που αποδεικνύεται ανεξάρτητα από την πρόταση 11 ), αποδεικνύονται τα ως άνω αποτελέσματα, (β), (γ) και η συντρέχεια των διαγωνίων του εξαγώνου A'B''C'A''B'C''

και εν γένει (*) δεν έχει σημασία πως είναι διευθετημένα τα τμήματα και τα άκρα τους, στο επίπεδο ή στον χώρο.

Τα σημεία A',B'',R,C'',P,C',A'',B'

στο σχήμα, δύναται να θεωρηθούν και ως οι προβολές των κορυφών εξαέδρου στο επίπεδο, του οποίου οι απέναντι έδρες είναι προοπτικά τετράπλευρα, με σημεία προοπτικότητας τις κορυφές του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και του οποίου οι διαγώνιες αποδεικνύεται ότι τέμνονται στο ίδιο σημείο. Ο κύβος είναι μία ειδική περίπτωση τέτοιου εξαέδρου.

(*) ΘΕΩΡΗΜΑ. Δίνονται τρία ευθύγραμμα τμήματα $AA',\ BB',\ CC',$ συγκλίνοντα στο σημείο έστω και έστω τα σημεία $A''\equiv BC'\cap B'C$ και $B''\equiv AC'\cap A'C$ και $C''\equiv AB'\cap A'B.$ Αποδείξτε ότι :

(α) - Οι ευθείες $AA'',\ BB'',\ CC'',$ τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(β) - Οι ευθείες $A'A'',\ B'B'',\ C'C'',$ τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(γ) - Η ευθεία περνάει από το σημείο

Κώστας Βήττας.

#48

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Πρόταση 11.ΕΞΑΠΛΕΥΡΟ ΜΕ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΔΙΑΓΏΝΙΕΣ.
Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο(1), έχει συντρέχουσες τις κύριες διαγώνιές(2) του εξάπλευρου το οποίο έχει κορυφές τις έξι τομές των διαδοχικών πρώτων διαγώνιων(3) του(α).
Ή με άλλη διατύπωση:
Τα δύο «δίδυμα τρίγωνα(4)», του εξάπλευρου που έχει κορυφές τις έξι τομές των διαδοχικών πρώτων διαγώνιων κάθε εγγεγραμμένου σε κύκλο εξάπλευρου, είναι ομολογικά[7].

Έστω το σημείο $T\equiv QM\cap PL$ και θα αποδειχθεί ότι τα σημεία $K,\ T,\ N$ είναι συνευθειακά.

: Πρόταση 11 - Απόδειξη; f 112_t 44778a (Πρόταση 11).PNG (24.03 KiB) Προβλήθηκε 2896 φορές

$\bullet$ Από το εγγεγραμμένο μη κυρτό εξάγωνο ACEBZD,

σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία $K\equiv AC\cap BZ$ και $N\equiv CE\cap ZD$ και $S\equiv EB\cap DA$ είναι συνευθειακά.

Από τις τριάδες των σημείων $A,\ Q,\ P$ και $B,\ L,\ M$ επί των ευθειών $AE,\ BD$ αντιστοίχως, σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $K\equiv AL\cap BQ$ και $R\equiv AM\cap BP$ και $T\equiv QM\cap PL$ είναι συνευθειακά.

Από τις τριάδες των σημείων $A,\ P,\ E$ και $B,\ M,\ D$ επί των ευθειών $AE,\ BD$ αντιστοίχως, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $R\equiv AM\cap BP$ και $S\equiv AD\cap BE$ και $N\equiv PD\cap EM$ είναι συνευθειακά.

Από τις ευθείες $KNS,\ KRT,\ RSN$ τώρα, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $K,\ R,\ S,\ T,\ N,$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

#49

vittasko έγραψε: ↑
Παρ Ιαν 06, 2023 10:13 am
Καλημέρα και χρόνια πολλά σε όλους, με υγεία και κάθε χαρά στις οικογένειές σας.

Έχει τύχει να ασχοληθώ με αυτό το πρόβλημα στο παρελθόν (πριν την εποχή του υπολογιστή και διαδικτύου για μένα) και είχαν προκύψει κάποιες ενδιαφέρουσες επεκτάσεις και γενικεύσεις.

Αργότερα, όπως συμβαίνει συνήθως, διαπίστωσα ότι από αυτά που θεωρούσα ως προσωπικές κατασκευές, κάποια έχουν ανακαλυφθεί νωρίτερα από άλλους και εδώ ( Νίκος Κυριαζής ) και στην αλλοδαπή ( Flour van Lamoen ).

$\bullet$ Η απόδειξη που έχω υπόψη μου για την πρόταση 11 όπως την έβαλε ο Νίκος, δεν είναι δύσκολη και την αφήνω προς το παρόν για όσους δεν την έχουν ξαναδεί. Διαφέρει από την όμορφη του Νίκου, με Διπλούς λόγους.

Στο σχήμα που ακολουθεί το εγγεγραμμένο εξάγωνο της πρότασης 11, συγκροτείται από ζεύγη σημείων επί των πλευρών δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ , ως τα σημεία τομής των από τυχόντα κύκλο .
f 112_t 44778 (Πρόταση 11).PNG
Αποδεικνύεται ότι στο εξάγωνο που αντιστοιχεί στην πρόταση 11, οι διαγώνιές του $A'A'',\ B'B'',\ C'C''$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το .

Επεκτείνοντας το πρόβλημα, αποδεικνύεται ακόμη ότι:

α) Οι ευθείες $AA',\ BB',\ CC'$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το .

β) Οι ευθείες $AA'',\ BB'',\ CC''$ τέμνονται στο ίδιο σημείο, έστω το .

γ) Τα σημεία $P,\ Q,\ R$ είναι συνευθειακά.

$\bullet$ Τα παραπάνω αποτελέσματα ισχύουν και για άλλα ζεύγη σημείων επί των πλευρών του $\vartriangle ABC$ ( ισοτομικών, ίχνη ισογωνίων ευθείων και άλλα ).

Το ενδιαφέρον γενικό θεώρημα που προέκυψε από την μελέτη του σχήματος, αφορά στα συγκλίνοντα ευθύγραμμα τμήματα ( τρία ευθύγραμμα ορίζονται ως συγκλίνοντα, όταν οι ευθείες στις οποίες ανήκουν, είναι συντρέχουσες ). Το έχουμε ξαναδεί στο και θα δώσω την σχετική αναφορά αργότερα.

Στο παραπάνω σχήμα, με αφετηρία την σύγκλιση στο σημείο των ευθυγράμμων τμημάτων $AA',\ BB',\ CC'$ ( που αποδεικνύεται ανεξάρτητα από την πρόταση 11 ), αποδεικνύονται τα ως άνω αποτελέσματα, (β), (γ) και η συντρέχεια των διαγωνίων του εξαγώνου και εν γένει (*) δεν έχει σημασία πως είναι διευθετημένα τα τμήματα και τα άκρα τους, στο επίπεδο ή στον χώρο.

Τα σημεία στο σχήμα, δύναται να θεωρηθούν και ως οι προβολές των κορυφών εξαέδρου στο επίπεδο, του οποίου οι απέναντι έδρες είναι προοπτικά τετράπλευρα, με σημεία προοπτικότητας τις κορυφές του δοσμένου τριγώνου $\vartriangle ABC$ και του οποίου οι διαγώνιες αποδεικνύεται ότι τέμνονται στο ίδιο σημείο. Ο κύβος είναι μία ειδική περίπτωση τέτοιου εξαέδρου.

(*) ΘΕΩΡΗΜΑ. Δίνονται τρία ευθύγραμμα τμήματα $AA',\ BB',\ CC',$ συγκλίνοντα στο σημείο έστω και έστω τα σημεία $A''\equiv BC'\cap B'C$ και $B''\equiv AC'\cap A'C$ και $C''\equiv AB'\cap A'B.$ Αποδείξτε ότι :

(α) - Οι ευθείες $AA'',\ BB'',\ CC'',$ τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(β) - Οι ευθείες $A'A'',\ B'B'',\ C'C'',$ τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω
(γ) - Η ευθεία περνάει από το σημείο

Κώστας Βήττας.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Από το 1986 άρχισα να μελετώ-ερευνώ διάφορα θέματα Γεωμετρίας μεταξύ των οποίων και θέματα σχετικά με τα θέματα που αναφέρει ο πολύ καλός μου φίλος Κώστας Βήττας, τον οποίο και ευχαριστώ που μου δίνει την ευκαιρία να αναφερθώ σε αυτά.
Τα θέματα αυτά, και ότι άλλο στο μεταξύ προέκυπτε, άρχισα να τα δημοσιεύω με τα βιβλία μου [1] (Πέντε τόμοι 1.984 σελίδων), [2] (Ένδεκα τόμοι 3.600 σελίδων περίπου), κτλ.

Συγκεκριμένα, πολλά θέματα σχετικά με αυτά που αναφέρονται από τον Κώστα, αναγράφονται:
1. Στο βιβλίο μου [1]:
Στον τόμο 3 σελίδες 820-983, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις(Όπου έχουν μελετηθεί διεξοδικά).
2. Στο βιβλίο μου [2]:
α. Στον τόμο 2, σελίδες 4-11, 14-17, 22-26, 34-35, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ.
β. Στον τόμο 3 σελίδες 276, 283-288, 356-358, 563-365, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ..
γ. Στον τόμο 4 σελίδες 25-27, 63, 70-82, 92-105,122-136, 153-155, 228-229, 231-246, 311-313, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ..
δ. Στον τόμο 5 σελίδες 120-124, 128-134, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ..
ε. Στον τόμο 6 σελίδες 143-146, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ..
στ. Στον τόμο 7 σελίδα 213, αλλά και αλλού για ειδικές περιπτώσεις, επεκτάσεις, προβλήματα, κτλ..
(Ο Κώστας που έχει τα παραπάνω βιβλία μου και όχι μόνο, μπορεί να ανατρέξει εκεί και να μελετήσει τα θέματα αυτά).

Ειδικά, για αυτά που αναφέρει παραπάνω (ποστ 47) ο Κώστας, έχω να πω ότι όλα και το σχήμα, αναγράφονται στις Προτάσεις 2ζ(66) και 4η(81) του βιβλίου μου [2].
Θα το εκτιμούσα πολύ, αν ο Κώστας με ενημερώσει, ειδικά γι’ αυτά. Δηλαδή αν από την έρευνά του τα βρήκε σε άλλα βιβλία και ποια.

Επειδή, όπως φαίνεται παραπάνω έχω ερευνήσει και μελετήσει διεξοδικά τα θέματα αυτά, δε θα ήθελα να ασχοληθώ και πάλι. Άρα ατυχώς και με το νέο Θεώρημα που προτείνει ο Κώστας.

Χαίρομαι που και ο Κώστας έχει ασχοληθεί με σχετικά θέματα και έχει και αυτός στον τομέα αυτό προσφέρει πολλά.

Βιβλιογραφία,
[1]. Γεωμετρία. Εγγεγραμμένα-Περιγεγραμμέν Σχήματα 1993. Νίκου Κυριαζή.
[2]. Νέα Στοιχεία Γεωμετρίας 1996 - 2022 . Αυτοέκδοση. Νίκου Κυριαζή.

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

#50

vittasko έγραψε: ↑
Σάβ Ιαν 07, 2023 9:56 pm

ΝΙΚΟΣ έγραψε: Πρόταση 11.ΕΞΑΠΛΕΥΡΟ ΜΕ ΣΥΝΤΡΕΧΟΥΣΕΣ ΔΙΑΓΏΝΙΕΣ.
Κάθε εγγεγραμμένο σε κύκλο εξάπλευρο(1), έχει συντρέχουσες τις κύριες διαγώνιές(2) του εξάπλευρου το οποίο έχει κορυφές τις έξι τομές των διαδοχικών πρώτων διαγώνιων(3) του(α).
Ή με άλλη διατύπωση:
Τα δύο «δίδυμα τρίγωνα(4)», του εξάπλευρου που έχει κορυφές τις έξι τομές των διαδοχικών πρώτων διαγώνιων κάθε εγγεγραμμένου σε κύκλο εξάπλευρου, είναι ομολογικά[7].
Έστω το σημείο $T\equiv QM\cap PL$ και θα αποδειχθεί ότι τα σημεία $K,\ T,\ N$ είναι συνευθειακά.
f 112_t 44778a (Πρόταση 11).PNG
$\bullet$ Από το εγγεγραμμένο μη κυρτό εξάγωνο σύμφωνα με το Θεώρημα Pascal, έχουμε ότι τα σημεία $K\equiv AC\cap BZ$ και $N\equiv CE\cap ZD$ και $S\equiv EB\cap DA$ είναι συνευθειακά.

Από τις τριάδες των σημείων $A,\ Q,\ P$ και $B,\ L,\ M$ επί των ευθειών $AE,\ BD$ αντιστοίχως, σύμφωνα με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $K\equiv AL\cap BQ$ και $R\equiv AM\cap BP$ και $T\equiv QM\cap PL$ είναι συνευθειακά.

Από τις τριάδες των σημείων $A,\ P,\ E$ και $B,\ M,\ D$ επί των ευθειών $AE,\ BD$ αντιστοίχως, σύμφωνα πάλι με το Θεώρημα Πάππου, έχουμε ότι τα σημεία $R\equiv AM\cap BP$ και $S\equiv AD\cap BE$ και $N\equiv PD\cap EM$ είναι συνευθειακά.

Από τις ευθείες $KNS,\ KRT,\ RSN$ τώρα, συμπεραίνεται ότι τα σημεία $K,\ R,\ S,\ T,\ N,$ είναι συνευθειακά και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.

Κώστας Βήττας.

Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου στην προσπάθειά μου αυτή, αλλά και για την ωραία απόδειξη της γεωμετρικής Πρότασής 11, που μας έδωσες.

Έτσι, η Πρόταση 11, μετά τις πολλές εφαρμογές της και μετά τις δύο αποδείξεις. που έχουμε μέχρι τώρα, μπορεί να αποκαλείται Θεώρημα.

ΚΑΛΗ ΧΡΟΝΙΑ

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

#51

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 310, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 310.doc: (38.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές

#52

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 310, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 11.

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 310.doc: (38.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 46 φορές

#53

Πρόταση 12. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 311, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 311.doc: (21.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 40 φορές

#54

Πρόταση12. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 311, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη της παραπάνω Πρότασης 12.

Όπως και στο συνημμένο μου 311 αναφέρεται, η απόδειξη της Πρότασης 12 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτή να αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=580

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 311.doc: (33.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 44 φορές

#55

Γεωμετρικός Τόπος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 314, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση (γ.τ.).
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση (γ.τ.), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 314.doc: (24.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές

#56

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 10:21 am
Γεωμετρικός Τόπος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 314, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση (γ.τ.).
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση (γ.τ.), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

.
Είναι άμεσο: Φέρνουμε την διχοτόμο

της

και φέρνουμε την μεσοκάθετο της

, η οποία τέμνει την

στο

. Τότε

παράλληλη της

αφού $\angle BAD= \angle DAN= \angle NDA$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι η

. Πράγματι αν από τυχαίο σημείο της M_1

φέρουμε τις παράλληλες M_1A_1// AC

και

έχουμε από όμοια τρίγωνα ότι M_1A_1: NA= BM_1:BN=M_1D:ND

. Αλλά

, άρα

, δηλαδή είναι σημείο του τόπου. 'Ομοια το αντίστροφο.

#57

]

ΝΙΚΟΣ έγραψε: ↑
Σάβ Φεβ 04, 2023 10:21 am
Γεωμετρικός Τόπος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 314, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση (γ.τ.).
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

.
Είναι άμεσο: Φέρνουμε την διχοτόμο

της

και φέρνουμε την μεσοκάθετο της

, η οποία τέμνει την

στο

. Τότε

παράλληλη της

αφού $\angle BAD= \angle DAN= \angle NDA$ .

Εύκολα βλέπουμε ότι ο ζητούμενος γ.τ. είναι η

. Πράγματι αν από τυχαίο σημείο της M_1

φέρουμε τις παράλληλες M_1A_1// AC

και

έχουμε από όμοια τρίγωνα ότι M_1A_1: NA= BM_1:BN=M_1D:ND

. Αλλά

, άρα

, δηλαδή είναι σημείο του τόπου. 'Ομοια το αντίστροφο.
[/quote]

Αυτός πραγματικά είναι ο ζητούμενος γ.τ., πολύ εύκολος, πλην όμως πολύ χρήσιμος στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε άλλοτε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 314, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή εύρεση και απόδειξη του γ.τ. αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 314.doc: (48.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 39 φορές

#58

Κατασκευή 13. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 312, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 312.doc: (21 KiB) Μεταφορτώθηκε 42 φορές

#59

Κατασκευή 13. ΤΡΙΓΩΝΑ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ GERGONNE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 312, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του παραπάνω Προβλήματος 13.

Όπως και στο συνημμένο μου 312 αναφέρεται, η απόδειξη του του Προβλήματος 13 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=580

Ακόμη, αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία.:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 312.doc: (33 KiB) Μεταφορτώθηκε 48 φορές

#60

Γεωμετρικός Τόπος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 315, αναρτώ ένα άλλο νέο μου Πρόβλημα.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Επομένως, βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική λύση, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 315.doc: (25 KiB) Μεταφορτώθηκε 49 φορές

ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Re: ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

Μέλη σε σύνδεση