ΓΕΩΜΕΤΡIΑ. ΠΡΩΤΟΕΜΦΑΝΙΖΟΜΕΝΕΣ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ.

[ΝΙΚΟΣ]

Λυση Προβλήματος.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 315, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 315.doc

(41.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 64 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα 14. ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 313, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε τρίγωνα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Συνημμένο 313.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 86 φορές

https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

[ΝΙΚΟΣ]

Κατασκευή 14.ΖΕΥΓΗ ΤΡΙΓΩΝΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 313, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του παραπάνω Προβλήματος 14.

Όπως και στο συνημμένο μου 313 αναφέρεται, η απόδειξη του του Προβλήματος 14 αποτελεί εφαρμογή των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600

Ακόμη, αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 313.doc

(34 KiB) Μεταφορτώθηκε 57 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόταση.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 316, αναρτώ μία άλλη νέα μου Πρόταση.
Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δύο δικές μου σχετικές αποδείξεις, θα ακολουθήσουν σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 316.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 69 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 54), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 316.doc

(39.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 59 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 316.doc

[ΝΙΚΟΣ]

Απόδειξη της Πρότασης 15.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 316, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 64), τις δύο δικές μου αποδείξεις της Πρότασης αυτής.

βασιζόμενοι στην παραπάνω Πρόταση, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 316.doc

(39.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 63 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΕΣ ΤΟΜΕΣ ΔΙΑΓΩΝΙΩΝ.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 317, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε ΑΡΜΟΝΙΚΑ τετράπλευρα με κοινές τομές των διαγωνίων τους.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 317.doc

(20.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 63 φορές

[vittasko]

11(98). Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφούν δύο τυχαία αρμονικά τετράπλευρα, των οποίων οι δύο τομές των διαγώνιών τους να συμπίπτουν.

Έστω ο δοσμένος κύκλος και ας είναι τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.

Έστω οι εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο και ας είναι τυχούσα διατέμνουσα του με το σημείο έστω, μεταξύ των

Το τετράπλευρο είναι αρμονικό και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του

Έστω η διάμετρος του κύκλου δια του σημείου και ας είναι η προβολή του σημείου επί της ευθείας με το έστω, μεταξύ των

Πρωτοεμφανιζόμενες προτάσεις (#68)

f 112_t 4477 (#68).PNG (35.98 KiB) Προβλήθηκε 5862 φορές

Από τυχόν σημείο της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου και την διατέμνουσα δια του σημείου με το σημείο έστω, μεταξύ των

Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και περνάει από το σημείο γιατί το ανήκει στην ευθεία η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον

Το τετράπλευρο είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του να ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.

Κώστας Βήττας.

[ΝΙΚΟΣ]

11(98). Σε δοσμένο κύκλο να εγγραφούν δύο τυχαία αρμονικά τετράπλευρα, των οποίων οι δύο τομές των διαγώνιών τους να συμπίπτουν.

Έστω ο δοσμένος κύκλος και ας είναι τυχόν σημείο στο εξωτερικό μέρος αυτού.

Έστω οι εφαπτόμενες του κύκλου από το σημείο και ας είναι τυχούσα διατέμνουσα του με το σημείο έστω, μεταξύ των

Το τετράπλευρο είναι αρμονικό και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων του

Έστω η διάμετρος του κύκλου δια του σημείου και ας είναι η προβολή του σημείου επί της ευθείας με το έστω, μεταξύ των
f 112_t 4477 (#68).PNG
Από τυχόν σημείο της ευθείας φέρνουμε τις εφαπτόμενες του κύκλου και την διατέμνουσα δια του σημείου με το σημείο έστω, μεταξύ των

Η ευθεία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον κύκλο και περνάει από το σημείο γιατί το ανήκει στην ευθεία η οποία ταυτίζεται με την Πολική ευθεία του σημείου ως προς τον

Το τετράπλευρο είναι αρμονικό με το σημείο τομής των διαγωνίων του να ταυτίζεται με το και το ζητούμενο έχει κατασκευαστεί.

Κώστας Βήττας.

Κώστα σε ευχαριστώ πολύ για τη συμμετοχή σου και στην προσπάθειά μου αυτή εδώ, αλλά και για την παραπάνω λύση του προβλήματος 11(98), η οποία συμπίπτει σχεδόν με τη δική μου, οπότε προφανώς και δε θα την αναρτήσω, αν και το είχα υποσχεθεί.

Θέλω όμως να επισημάνω ότι αυτή λύνεται εύκολα πλέον και χωρίς να ξοδέψεις «φαιά ουσία», με απλή εφαρμογή της μεθόδου του «Αρμονικού Μετασχηματισμού», ως εξής:
Στο επίπεδο του δοσμένου κύκλου και δίπλα απ’ αυτόν γράφουμε κύκλο στον οποίο και εγγράφουμε δύο τετράγωνα τα οποία μετασχηματίζουμε σε αρμονικά στον δοσμένο κύκλο, σύμφωνα με την Κατασκευή 152 του βιβλίου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε τα νέα τετράπλευρα είναι τα ζητούμενα.

Επίσης θέλω να κάνω γνωστό ότι σύντομα θα αναρτήσω ένα νέο πρόβλημα μου γεωμετρικής κατασκευής, το οποίο αποτελεί μια ειδική περίπτωση του παραπάνω προβλήματος 11(98).


Με Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα 149. ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΥΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 318, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή, η οποία αναφέρται σε αρμονικά τετράπλευρα με ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στην παραπάνω Κατασκευή, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 318.doc

(27 KiB) Μεταφορτώθηκε 65 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Κατασκευή 149.ΖΕΥΓΗ ΑΡΜΟΝΙΚΩΝ ΤΕΤΡΑΠΛΕΎΡΩΝ ΜΕ ΚΟΙΝΑ ΣΗΜΕΙΑ LEMOINE.

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 318, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τΙς ΔΎΟ δικές μου λεπτομερείς λύσεις του παραπάνω Προβλήματος 149.

Όπως και στο συνημμένο μου 318 αναφέρεται, οι αποδείξεις του Προβλήματος 149 αποτελούν εφαρμογές των ορισμών και Προτάσεων, του βιβλίου μου Αρμονική Γεωμετρία, οπότε. όπως είναι φυσικό, αυτό θα αναρτηθεί και εδώ:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=600

Αν θέλουμε να μάθουμε να αποδεικνύουμε ή να λύνουμε εύκολα Προτάσεις ή Προβλήματα σχετικού τύπου, θα πρέπει να μάθουμε Αρμονική Γεωμετρία:
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 318.doc

(46 KiB) Μεταφορτώθηκε 64 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 319.doc

(19 KiB) Μεταφορτώθηκε 69 φορές

[Mihalis_Lambrou]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Ουσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο αφού ισχύει (ίσον ας πούμε ), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου και ακτίνας .

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 11(97).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 319, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις του και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Ουσιαστικά είναι ήδη λυμένο στο ποστ #56 αλλά με την προσθήκη ενός τετριμμένου βήματος. Πράγματι, φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Επίσης φέρνουμε τον γεωμετρικό τόπο (είναι ευθεία κατά το #56) των σημείων με με και . Εκεί που τέμνονται οι δύο τόποι είναι το ζητούμενο σημείο αφού ισχύει (ίσον ας πούμε ), και μπορούμε να γράψουμε τον κύκλο κέντρου και ακτίνας .

Αυτή πραγματικά είναι η λύση του παραπάνω προβλήματος 11(97), πολύ εύκολη, οταν γνωρίζουμε τον παραπάνω γεωμετρικό τόπο (#56) ή ακόμη πιο ευκολη (απλή εφαρμογή), οταν γνωρίζουμε την παραπάνω κατασκευή 7ι(190) (ποστ 61) συνημμένο 315,πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε άλλοτε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 319, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 319.doc

(32.5 KiB) Μεταφορτώθηκε 62 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Πρόβλημα Γεωμετρικής κατασκευής 1α(23)).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
με το παρακάτω συνημμένο μου, με αριθμό 320, αναρτώ μία άλλη νέα μου Κατασκευή.
Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις της και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 320..doc

(17 KiB) Μεταφορτώθηκε 64 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Λυση του Προβλήματος 1α (23).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 320..doc

(792 KiB) Μεταφορτώθηκε 74 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Λυση του Προβλήματος 1α (23).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,

Με το παρακάτω συνημμένο μου 320, το οποίο και επαναφέρω συμπληρωμένο, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή λύση του Προβλήματος αυτού (όπου φαίνεται και το σχετικό σκεπτικό).

βασιζόμενοι στο παραπάνω Πρόβλημα, θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Ακόμη μία άλλη νέα δική μου σχετική απόδειξη, θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα.

Παρακαλώ για τις δικές σας λύσεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/
Συνημμένο 320..doc

Λήμμα 1α(110)).

Αγαπητοί φίλοι, φίλοι της Γεωμετρίας,
παρακάτω αναρτώ μια άλλη νέα μου βοηθητική Πρόταση (Λήμμα) 1α(110), αντί να αναρτήσω τη δεύτερη λύση της Κατασκευής 1α(23), όπως παραπάνω σας είχα υποσχεθεί. Τούτο έκρινα σκόπιμο γιατί στο Λήμμα αυτό θα βασισθεί η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».


Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις του λήμματος 1α(110) και τα σχετικά σχόλιά σας.

Βασιζόμενοι στο παραπάνω Λήμμα 1α(110), θα μας είναι εύκολη και η απόδειξη-λύση σχετικών Προτάσεων και Προβλημάτων, τα οποία θα μας δίνονται μελλοντικά.

Δική μου σχετική απόδειξη του λήμματος 1α(110), θα αναρτήσω σε εύλογο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια θα ακολουθήσει και η δεύτερη λύση μου της Κατασκευής 1α(23).


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

[Mihalis_Lambrou]

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».

Είναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι και . Συνεπώς , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα , όπως θέλαμε.

Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών δείχνει ότι το είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα είναι ίσα). Και λοιπά.

ises hordes.png (27.78 KiB) Προβλήθηκε 5554 φορές

[ΝΙΚΟΣ]

Αμέσως παρακάτω αναρτώ το Λήμμα 1α(110):

1α(110). «Δύο κοινές τέμνουσες, ζεύγους τεμνόμενων κύκλων, οι οποίες περνούν από το ένα σημείο τομής των κύκλων, είναι ίσες, αν και μόνο αν η γωνία τους διχοτομείται από την κοινή χορδή των δύο κύκλων».

Είναι άμεσο: Έστω ότι οι χορδές είναι ίσες. Τότε τα τρίγωνα είναι ίσα διότι και . Συνεπώς , δηλαδή το τρίγωνο είναι ισοσκελές. Άρα , όπως θέλαμε.

Το αντίστροφο όμοια με άμεση αντιστροφή των βημάτων (η ισότητα των γωνιών δείχνει ότι το είναι ισοσκελές από όπου εύκολα τα τρίγωνα είναι ίσα). Και λοιπά. ises hordes.png

Αυτή πραγματικά είναι η απόδειξη της παραπάνω βοηθητικής πρότασης 1α(110), πολύ εύκολη, πλην όμως πολύ χρήσιμη στην απόδειξη-λύση Προτάσεων-Προβλημάτων, όπως θα δούμε. Αυτός άλλωστε είναι και ο λόγος που τον επινόησα.

Με το παρακάτω συνημμένο μου 322, αναρτώ, όπως έχω υποσχεθεί, τη δική μου λεπτομερή απόδειξη αυτής.

Θα ακολουθήσει σε εύλογο χρονικό διάστημα και η δέυτερη λύση του προβλήματος 1α(23), που βασίζεται στην παραπάνω πρόταση 1α(110), όπως έχω υποσχεθεί (ποστ 78).

Παρακαλώ για τις δικές σας αποδείξεις και για τα σχετικά σχόλιά σας.


Με Γεωμετρική Αγάπη
Νίκος Κυριαζής.
https://www.mathematica.gr/forum/viewto ... &start=560
https://www.amazon.co.uk/Nikos-D.-Kyria ... 07HDDXTGF/

Συνημμένο 322.pdf

(354.48 KiB) Μεταφορτώθηκε 81 φορές