Μία αλγεβρικο-γεωμετρική προσέγγιση, αποτέλεσμα συνεργασίας με τον εξάδελφο μου Πάνο Παπαδόπουλο (μαθηματικό-προγραμματιστή):
Έστω
σημείο επί της διχοτόμου και εντός του τριγώνου τέτοιο ώστε να είναι ίσες οι σεβιανές
,
. Προεκτείνουμε την
ως το
έτσι ώστε να είναι ισοσκελές το
, και έστω
το σημείο τομής της
με την
. Επειδή η
είναι πλέον και ύψος και διάμεσος του ισοσκελούς
, προκύπτει εύκολα από ισότητες τριγώνων η ισότητα
|. Είναι δηλαδή ίσα τα μήκη των
,
,
, παρά το ότι συντρέχουν στο
(και έχουν και τα τρία τα άκρα τους επί των ημιευθειών
,
): αυτό είναι αδύνατον, σύμφωνα (και) με την παρακάτω αλγεβρική θεώρηση.
Θέτοντας
,
,
,
-- όπου
τυχόν σημείο εντός ή εκτός του τριγώνου
-- αναζητούμε σημεία
και
επί των ευθειών των
,
αντίστοιχα τέτοια ώστε η μεταξύ τους απόσταση να είναι ίση προς 'δοθέντα' αριθμό
και να είναι συνευθειακά με το
. Επειδή το
είναι η τομή των
,
, οι συντεταγμένες
,
μπορούν να εκφρασθούν συναρτήσει των
,
,
,
,
,
,
, και η συνθήκη
να γραφεί ως
Αρκεί τώρα να βρεθεί η τομή της παραπάνω καμπύλης -- γνωστής και ως
κογχοειδής του Νικομήδη, δείτε
εδώ δυναμικό της γράφημα σε απλούστερη (οριζόντια) θέση -- με την
ώστε να προσδιορισθούν οι δυνατές θέσεις του
επί της
. Αντικαθιστώντας γραμμικά το
συναρτήσει του
στην κογχοειδή λαμβάνουμε μία εξίσωση τετάρτου βαθμού ως προς
, που φυσικά δεν μπορεί να έχει περισσότερες από
πραγματικές ρίζες.
Επιστρέφοντας ... στην Γεωμετρία παρατηρούμε το εξής: για κάθε γωνία
, κάθε σημείο
'εντός' της γωνίας, και κάθε
υπάρχουν σημεία
,
επί των προεκτάσεων των ημιευθειών
,
, αντίστοιχα, και οι αντίστοιχες τομές
,
των
,
με τις ημιευθείες
,
, έτσι ώστε
. Υπάρχουν δηλαδή ΠΑΝΤΟΤΕ 2 'προεκτασιακές' λύσεις της
, επιτρέποντας μόνον
'εσωτερικές' λύσεις. Επειδή υποθέσαμε εξ αρχής ότι το επί της διχοτόμου σημείο
(από το οποίο διέρχονται τα
ισομήκη τμήματα
,
,
) βρίσκεται στο εσωτερικό του τριγώνου
, έχουμε καταλήξει σε άτοπο -- εκτός και αν το
είναι όντως ισοσκελές.
Δίνω στο συνημμένο ένα παράδειγμα με σημείο
επί της διχοτόμου αλλά εκτός του τριγώνου
... με δύο 'προεκτασιακές' (μία από τις οποίες διέρχεται από την κορυφή
) και δύο 'έσωτερικές' λύσεις (μία από τις οποίες διέρχεται από την κορυφή
). Το σημείο
είναι τομή της διχοτόμου και της ισοσεβιανής που συζητήθηκε
εδώ. Σίγουρα πρόκειται για ένα 'εξειδικευμένο' παράδειγμα, που επαληθεύει πάντως τους παραπάνω υπολογισμούς. (Εννοείται ότι η ακρίβεια του σχήματος δεν είναι απόλυτη, αλλά είναι χαρακτηριστικό ότι μία από τις προσεγγιστικές λύσεις,
(αντιστοιχούσα στην κορυφή
), πλησιάζει πολύ τον
) ... και οι πιο δύσπιστοι μπορούν να δουν ότι η προσεγγιστική λύση
οδηγεί -- μέσω των τύπων για τα
,
που δεν παρέθεσα αναλυτικά αλλά προκύπτουν εύκολα από εξισώσεις και τομές ευθειών -- πολύ κοντά στην κορυφή
)
- 4s.png (46.21 KiB) Προβλήθηκε 2486 φορές