Βαρύκεντρο του ενός, ορθόκεντρο του άλλου.

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Βαρύκεντρο του ενός, ορθόκεντρο του άλλου.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Φεβ 13, 2014 3:50 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC και έστω G το βαρύκεντρό του. Εάν είναι A',\ B',\ C', τα ορθόκεντρα των τριγώνων \vartriangle BGC,\ \vartriangle CGA,\ \vartriangle AGB, αποδείξτε ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου \vartriangle A'B'C', ταυτίζεται με το ορθόκεντρο του \vartriangle ABC.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=112_t=42866.PNG
Βαρύκεντρο του ενός, ορθόκεντρο του άλλου.
f=112_t=42866.PNG (42.81 KiB) Προβλήθηκε 549 φορές



Λέξεις Κλειδιά:
Antonis_Z
Δημοσιεύσεις: 524
Εγγραφή: Δευ Σεπ 05, 2011 12:07 am

Re: Βαρύκεντρο του ενός, ορθόκεντρο του άλλου.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Antonis_Z » Πέμ Φεβ 13, 2014 5:44 pm

Καλησπέρα κύριε Βήττα. Μια λύση με μιγαδικούς.

Λήμμα: Αν O_A,O_B,O_C τα περίκεντρα των τριγώνων GBC,GAC,GAB,τότε το περίκεντρο O του τριγώνου ABC είναι το βαρύκεντρο του τριγώνου O_AO_BO_C.
Αυτό προκύπτει ως ειδική περίπτωση της πρότασης :viewtopic.php?f=112&t=42867&p=200614#p200614,αλλά και αλλιώς(είχε πέσει στον προκριματικό της ΕΜΕ το 2009).

Θεωρώ το περίκεντρο του ABC ως την αρχή των αξόνων.
Από το λήμμα,λοιπόν,θα ισχύει o_A+o_B+o_C=0.
Τώρα γνωρίζουμε ότι σε ένα τρίγωνο ABC με H,O ορθόκεντρο και περίκεντρο,αντίστοιχα,ισχύει η σχέση h=a+b+c-2o.
Απ'αυτό,στα τρίγωνα GBC,GAC,GAB προκύπτει:
a'=b+c+\frac{a+b+c}{3}-2o_A.
b'=a+c+\frac{a+b+c}{3}-2o_B.
c'=a+b+\frac{a+b+c}{3}-2o_C.
Προσθέτοντας λαμβάνουμε a'+b'+c'=3(a+b+c)\Rightarrow το βαρύκεντρο του τριγώνου A'B'C' έχει συντεταγμένες a+b+c,οι οποίες είναι οι συντεταγμένες του ορθοκέντρου του ABC...


Αντώνης Ζητρίδης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες