Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Με αφορμή το Θέμα αυτό
Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι:
i) Το ισοτομικό του έγκεντρου του τριγώνου το σημείο (Gergone), το σημείο (Nagel) και το ισοτομικό σημείο του ορθοκέντρου του είναι συνεθευθειακά.
ii) Το (βαρύκεντρο του ) είναι σημείο της ευθείας που συνδέει το και το και χωρίζει το τμήμα σε λόγο
iii) Η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο του και το ισοτομικό του σημείο περιέχει το ισοτομικό σημείο του κέντρου του κύκλου Euler του .
Στάθης
i) Το ισοτομικό του έγκεντρου του τριγώνου το σημείο (Gergone), το σημείο (Nagel) και το ισοτομικό σημείο του ορθοκέντρου του είναι συνεθευθειακά.
ii) Το (βαρύκεντρο του ) είναι σημείο της ευθείας που συνδέει το και το και χωρίζει το τμήμα σε λόγο
iii) Η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο του και το ισοτομικό του σημείο περιέχει το ισοτομικό σημείο του κέντρου του κύκλου Euler του .
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Επαναφορά
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Καλησπέρα και Καλές Γιορτές σε όλουςΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Νοέμ 04, 2013 10:39 pmΜε αφορμή το Θέμα αυτό
Αξιοσημείωτες συνευθειακότητες..png
Σε κάθε τρίγωνο να δειχθεί ότι:
i) Το ισοτομικό του έγκεντρου του τριγώνου το σημείο (Gergone), το σημείο (Nagel) και το ισοτομικό σημείο του ορθοκέντρου του είναι συνεθευθειακά.
ii) Το (βαρύκεντρο του ) είναι σημείο της ευθείας που συνδέει το και το και χωρίζει το τμήμα σε λόγο
iii) Η ευθεία που συνδέει το περίκεντρο του και το ισοτομικό του σημείο περιέχει το ισοτομικό σημείο του κέντρου του κύκλου Euler του .
Στάθης
Κάνω μία αρχή αποδεικνείοντας το α) και θα δω αργότερα τί μπορώ να κάνω με τα υπόλοιπα:
Αρχικά η συνευθειακότητα των έχει αποδειχθεί εδώ οπότε αρκεί να δείξω ότι συνευθειακά.
Έστω τα σημεία επαφής του έγκυκλου με τις αντίστοιχα και διχοτόμοι των .
Έστω οι προβολές των στις και οι τομές των με τις αντίστοιχα.Έστω οι τομές των με τις αντίστοιχα.
Είναι
Έτσι ο διπλός λόγος
Όμοια θα είναι
Επειδή οι δέσμες έχουν ίσους διπλούς λόγους και κοινή ακίνα την ,έτσο πρέπει συνευθειακά ως τομές των ομόλογων ακτίνων τους.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Κάνω το iii μια και που το ii υπάρχει εδώ.
Έστω οι προβολές των στις αντίστοιχα.
Έστω και
Από το λήμμα εδώ έχουμε ότι .Αν η ακτίνα του περίκυκλου του ισχύει ότι ,από νόμο ημιτόνων στο έχουμε ότι
Είναι
Επειδή η σχέση Steiner δίνει
Άρα
Οπότε ο διπλός λόγος είναι συμμετρικός ως προς τα άρα λόγω συμμετρίας θα ισούται με τον και όπως στο προηγούμενο ερώτημα αυτό αποδεικνύει το ζητούμενο.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Απέδειξα μια ακόμη ενδιαφέρουσα συνευθειακότητα :
Δείξτε ότι σε τρίγωνο το σημείο ,το βαρύκεντρο και το ισοτομικό του ορθόκεντρου είναι σημεία συνευθειακά και μάλιστα .
Δείξτε ότι σε τρίγωνο το σημείο ,το βαρύκεντρο και το ισοτομικό του ορθόκεντρου είναι σημεία συνευθειακά και μάλιστα .
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Επίσης !......:Δείξτε ότι σε κάθε τρίγωνο το ισοτομικό του σημείου ανήκει στην ευθεία που ενώνει το ορθόκεντρο με το ισοτομικό του ορθόκεντρου (σε αυτήν την ευθεία ανήκει και το ισοτομικό του περίκεντρου!).
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Δύο ακόμη:
Σε τρίγωνο να δειχθεί ότι :
Σε τρίγωνο να δειχθεί ότι :
- Το σημείο ,το ισογώνιο του ισοτομικού του και το περίκεντρο είναι σημεία συνευθειακά.
- Το έκκεντρο ,το ισογώνιο του και το περίκεντρο είναι συνευθειακά .
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Πρόδρομε,
Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα
Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά"
Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου
Μπράβο σου !!!!
Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα
Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά"
Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου
Μπράβο σου !!!!
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Αξιωσημείωτες συνευθειακότητες
Σας ευχαριστώ κύριε Στάθη! Έχω ξεκινήσει να τις συγκεντρώνω σε ένα ,συνεχίζω με άλλη μία ενδιαφέρουσα (ίσως να είναι γνωστή πρόταση ,εώς τώρα δεν έχω βρει κάτι): Έστω τρίγωνο , το σημείο επαφής του έγκυκλου με τον κύκλο , το ορθόκεντρο , το βαρύκεντρο, το σημείο και το σημείο .ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑Δευ Δεκ 30, 2019 6:04 pmΠρόδρομε,
Σε βλέπω για διατριβή !!!! στα συγκεκριμένα θέματα
Ολοκλήρωσε τις παρατηρήσεις - ανακαλύψεις σου και θα δούμε που θα πάει η " δουλειά"
Προτείνω να γράψεις ένα άρθρο για τις συγκεκριμένες (σπουδαίες νομίζω και δεν γνωρίζω αν είναι γνωστές) ανακαλύψεις σου
Μπράβο σου !!!!
- α) Να δείξετε ότι τα είναι συνευθειακά, όπου το ισογώνιο σημείο του .
- β) Να δείξετε ότι τα είναι συνευθειακά όπου το ισογώνιο σημείο του
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 3 επισκέπτες