Και οι τρεις είναι υπέροχοι!!!

#1

: Και οι τρείς είναι υπέροχοι!!!.png (46.45 KiB) Προβλήθηκε 1601 φορές

Θεωρούμε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$ οι κύκλοι διαμέτρων αντίστοιχα και το δεύτερο (εκτός του ) κοινό τους σημείο. Μεταβλητή ευθεία $\left( \varepsilon \right)$

διέρχεται από το και ας είναι $B' \equiv \left( \varepsilon \right) \cap \left( {{O_2}} \right)$ και $C' \equiv \left( \varepsilon \right) \cap \left( {{O_1}} \right)$ (όταν υπάρχουν). Να βρεθούν, για τις διάφορες θέσεις της ευθείας $\left( \varepsilon \right)$ οι γεωμετρικοί τόποι:

1) Του έγκεντρου ${I_1}$ του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

2) Του παρακέντρου ${I'_1}$ του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

3) Του περικέντρου του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

Στάθης

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #2

ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ έγραψε: ↑
Σάβ Μαρ 02, 2013 5:34 pm
Και οι τρείς είναι υπέροχοι!!!.pngΘεωρούμε τρίγωνο $\vartriangle ABC$ και ας είναι $\left( {{O_1}} \right),\left( {{O_2}} \right)$ οι κύκλοι διαμέτρων αντίστοιχα και το δεύτερο (εκτός του ) κοινό τους σημείο. Μεταβλητή ευθεία $\left( \varepsilon \right)$

διέρχεται από το και ας είναι $B' \equiv \left( \varepsilon \right) \cap \left( {{O_2}} \right)$ και $C' \equiv \left( \varepsilon \right) \cap \left( {{O_1}} \right)$ (όταν υπάρχουν). Να βρεθούν, για τις διάφορες θέσεις της ευθείας $\left( \varepsilon \right)$ οι γεωμετρικοί τόποι:

1) Του έγκεντρου ${I_1}$ του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

2) Του παρακέντρου ${I'_1}$ του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

3) Του περικέντρου του τριγώνου $\vartriangle A'B'C'$

Στάθης

: 309.PNG (62.59 KiB) Προβλήθηκε 1262 φορές

Είναι $\rm A' \in BC$
1) Οι ευθεία $\rm B'I_1$ θα διέρχεται από το μέσο του τόξου $\rm AA'$ ως προς τον κύκλο διαμέτρου $\rm AC$ ,έστω $\rm K$ και η $\rm C'I_1$ από το μέσο του τόξου $\rm AA'$ ως προς τον κύκλο διαμέτρου $\rm AB$ έστω $\rm M$ .
Είναι $\rm \angle A'B'C'=\angle ACA'=\angle C$ και $\rm \angle A'C'B'=\angle ABA'=\angle B$ άρα $\rm \angle B'A'C'=\angle BAC=\angle A$ .
Είναι $\rm \angle B'I_1C'=90^{\circ}+\dfrac{\angle B'A'C'}{2}=90^{\circ}+\dfrac{\angle A}{2}$ και
$\rm \angle KA'M=\angle AA'K+\angle AA'M=\dfrac{C}{2}+\dfrac{B}{2}=90-\dfrac{A}{2}$
Οπότε $\rm \angle KA'M+\angle KI_1M=180^{\circ}$ δηλαδή το $\rm I_1$ κινείται στον περίκυκλο του $\rm A'KM$ (σταθερά σημεία).
2) Επειδή τα $\rm A'B'C',ABC$ είναι όμοια το $\rm I'_1$ προκύπτει από ομοιοθεσία κέντρου $\rm A'$ και λόγου $\rm \dfrac{AI'}{AI}$ όπου $\rm I,I'$ το έκκεντρο και το $\rm A-$ παράκεντρο του $\rm ABC$ αντίστοιχα.
Έτσι το $\rm I'_1$ κινείται στον ομοιόθετο κύκλο του $\rm (K,M,A')$ ως προς την παραπάνω ομοιοθεσία (στο σχήμα $\rm K\rightarrow K',M\rightarrow M'$ ).
3) Έστω $\rm P,Q$ τα ίχνη των υψών του $\rm ABC$ ως προς τις κορυφές $\rm C,B$ αντίστοιχα.Προφανώς αυτά θα ανήκουν στους αντίστοιχους κύκλους διαμέτρων $\rm AC,AB$ .
Είναι $\rm \angle AB'O=90^{\circ}-\angle C'A'B'=90^{\circ}-\angle A=\angle ACP=\angle AA'P=\angle AB'P$ άρα $\rm B',O,P$ συνευθειακά ,ομοίως και τα $\rm C',O,Q$ .Είναι $\rm \angle POQ=\angle C'OB'=2\angle B'A'C'=2\angle A$
και $\rm \angle QA'P=2(90^{\circ}-\angle A)=180^{\circ}-2\angle A$ άρα το $\rm O$ κινείται στον κύκλο $\rm (P,Q,A')$ ,δηλαδή τον κύκλο $\rm Euler$ του $\rm ABC$ !

Και οι τρεις είναι υπέροχοι!!!

Και οι τρεις είναι υπέροχοι!!!

Re: Και οι τρεις είναι υπέροχοι!!!

Μέλη σε σύνδεση