Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Θεωρούμε τρίγωνο με Ο εγγεγραμμένος κύκλος του τριγώνου εφάπτεται στις πλευρές στα σημεία
Η ευθεία τέμνει τον κύκλο για δεύτερη φορά στο Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη στην στο
Έστω, τέλος, τα σημεία τομής της με την και την αντίστοιχα.
Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος
Η ευθεία τέμνει τον κύκλο για δεύτερη φορά στο Έστω το σημείο τομής της με την κάθετη στην στο
Έστω, τέλος, τα σημεία τομής της με την και την αντίστοιχα.
Δείξτε ότι το είναι το μέσο του τμήματος
Θανάσης Κοντογεώργης
-
- Δημοσιεύσεις: 927
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 27, 2011 8:12 pm
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Έστω το αντιδιαμετρικό του στον και .
Κατά τα γνωστά η είναι η πολική του άρα αφού τότε από το Θ. La Hire το θα ανήκει στην πολική του δηλαδή .
Από το Θ. Desargues για τα προοπτικά και ως προς το κέντρο προκύπτει ότι οι συντρέχουν άρα .
Στο το είναι προφανώς το ορθόκεντρο άρα . Επίσης οι συντρέχουν στο σημείο Gergonne .
Επομένως από το πλήρες προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική άρα η δέσμη είναι επίσης αρμονική.
Συνεπώς αφού η διχοτομεί το τμήμα .
Υ.Γ. Θα ενδιαφερόμουν να δω μία πιο απλή απόδειξη.
Κατά τα γνωστά η είναι η πολική του άρα αφού τότε από το Θ. La Hire το θα ανήκει στην πολική του δηλαδή .
Από το Θ. Desargues για τα προοπτικά και ως προς το κέντρο προκύπτει ότι οι συντρέχουν άρα .
Στο το είναι προφανώς το ορθόκεντρο άρα . Επίσης οι συντρέχουν στο σημείο Gergonne .
Επομένως από το πλήρες προκύπτει ότι η δέσμη είναι αρμονική άρα η δέσμη είναι επίσης αρμονική.
Συνεπώς αφού η διχοτομεί το τμήμα .
Υ.Γ. Θα ενδιαφερόμουν να δω μία πιο απλή απόδειξη.
- Μιχάλης Νάννος
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 3539
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 05, 2009 4:09 pm
- Τοποθεσία: Σαλαμίνα
- Επικοινωνία:
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Καλησπέρα Γρηγόρη...ό,τι και να πει κανείς για το ταλέντο σου είναι λίγο! Έστω το έγκεντρο του και . Εφόσον χαρταετός θα είναι και το τετράπλευρο εγγράψιμο.Grigoris K. έγραψε:
Υ.Γ. Θα ενδιαφερόμουν να δω μία πιο απλή απόδειξη.
Από τέμνουσα και εφαπτομένη ισχύει και απ’ την ομοιότητα των . Έτσι, και το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο (Υπάρχει και εδώ απ' το φίλο μου Νίκο).
Είναι , που σημαίνει . Έτσι απ’ τα ισοσκελή (λόγω εφαπτόμενων τμημάτων) προκύπτουν τα αντίστοιχα όμοια ισοσκελή και εφόσον , έπεται .
«Δε θα αντικαταστήσει ο υπολογιστής τον καθηγητή...θα αντικατασταθεί ο καθηγητής που δεν ξέρει υπολογιστή...» - Arthur Clarke
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Μια λίγο διαφορετική λύση.
Έστω το σημείο τομής της με την και το σημείο τομής της με την .
Είναι γνωστό πως η δέσμη είναι αρμονική.Τώρα αν την τμήσουμε με την προκύπτει πως και η δέσμη είναι αρμονική άρα και η σημειοσειρά θα είναι αρμονική. Κατά συνέπεια η δέσμη είναι αρμονική.Τεμνοντάς την με την και δεδομένου ότι θέλουμε το να είναι το μέσο το προκύπτει πως αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Διαφορετικά αρκεί να αποδείξουμε ότι η παράλληλη στη από το , η και η συντρέχουν, όπου το σημείο τομής της με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
Αφού , έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Έστω ότι η ευθεία που περνά από τα τέμνει την στο , όπου η παράλληλη από το στη .
Έτσι , άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Επιπλέον , επομένως το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ( έκκεντρο ). Όμως είναι γνωστό πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, με αποτέλεσμα τα σημεία να είναι ομοκυκλικά.
Τώρα το ζητούμενο έπεται άμεσα καθώς η ευθείες συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των και του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
Έστω το σημείο τομής της με την και το σημείο τομής της με την .
Είναι γνωστό πως η δέσμη είναι αρμονική.Τώρα αν την τμήσουμε με την προκύπτει πως και η δέσμη είναι αρμονική άρα και η σημειοσειρά θα είναι αρμονική. Κατά συνέπεια η δέσμη είναι αρμονική.Τεμνοντάς την με την και δεδομένου ότι θέλουμε το να είναι το μέσο το προκύπτει πως αρκεί να αποδείξουμε ότι .
Διαφορετικά αρκεί να αποδείξουμε ότι η παράλληλη στη από το , η και η συντρέχουν, όπου το σημείο τομής της με τον εγγεγραμμένο κύκλο.
Αφού , έχουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά. Έστω ότι η ευθεία που περνά από τα τέμνει την στο , όπου η παράλληλη από το στη .
Έτσι , άρα το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο.
Επιπλέον , επομένως το ανήκει στον περιγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου ( έκκεντρο ). Όμως είναι γνωστό πως το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο, με αποτέλεσμα τα σημεία να είναι ομοκυκλικά.
Τώρα το ζητούμενο έπεται άμεσα καθώς η ευθείες συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των και του εγγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου.
- Συνημμένα
-
- sxima.png (20.09 KiB) Προβλήθηκε 2095 φορές
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Μπορεί κάποιος να ανεβάσει κάποια απόδειξη που δείχνει την παραλληλία με πολικές μόνο?(αν υπάρχει)
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Καλησπέρα,δεν ξέρω αν σε καλύπτω:
Είναι συμμετροδιάμεσος στο οπότε αρμονικό.Έτσι αν (όπου ) θα είναι επειδή .
Αυτό σημαίνει ότι το είναι στην πολική του και επειδή είναι και στην πολική του έπεται ότι ο πόλος της είναι το που ανήκει στην ευθεία οπότε αφού πόλος της θα είναι .
Λόγω του αρμονικού τετραπλεύρου θα είναι ( η εφαπτομένη στο ) οπότε λόγω της παραλληλίας το ζητούμενο έπεται.
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Δεν καταλαβαίνω γιατί το είναι στην πολική του ,όλα τα άλλα τα καταλαβαίνω.Αν μπορείτε να το εξηγήσετε λίγο πιο αναλυτικά αυτό το κομμάτι θα το εκτιμούσα.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Με εγγεγραμμένο κύκλο!
Είναι γνωστή και πολύ χρήσιμη πρόταση για τις πολικές η παρακάτω πρόταση:
Αν από σημείο φέρεις τυχαία τέμνουσα σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του στο τότε τα σχηματίζουν αρμονική τετράδα.
Πολλές πληροφορίες για πολικές στο μπορείς να βρεις εδώ όπου υπάρχει και η απόδειξη της πρότασης που ανέφερα.Στην λύση μου χρησιμοποίησα το αντίστροφο της πρόταση.
Αν από σημείο φέρεις τυχαία τέμνουσα σε κύκλο η οποία τέμνει την πολική του στο τότε τα σχηματίζουν αρμονική τετράδα.
Πολλές πληροφορίες για πολικές στο μπορείς να βρεις εδώ όπου υπάρχει και η απόδειξη της πρότασης που ανέφερα.Στην λύση μου χρησιμοποίησα το αντίστροφο της πρόταση.
Μαθητής είμαι
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 15 επισκέπτες