Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Δίνεται τρίγωνο και έστω μεταβλητό σημείο επί της πλευρά του Επί των πλευρών ορίζουμε τα σημεία αντιστοίχως, ώστε η κάθε μία από τις ευθείες να έχει γνωστή διεύθυνση. Αποδείξτε ότι η ευθεία όπου περνάει από σταθερό σημείο.
Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ειναι η γενίκευση της πρότασης Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (3).
Κώστας Βήττας. ΥΓ. Ειναι η γενίκευση της πρότασης Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (3).
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Δευ Φεβ 03, 2020 7:11 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λέξεις Κλειδιά:
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Ευκαιρία με αυτήν την ξεχασμένη, να μειώσω κατά μία έστω τις παλιές οφειλές μου στο .
Έστω τα σημεία , τα σημεία επί της ευθείας ώστε να είναι και και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Έστω τα σημεία και και και .
Θεωρούμε τα τρίγωνα , για τα οποία παρατηρούμε ότι και άρα τα τρίγωνα αυτά είναι προοπτικά και επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Ομοίως, τα τρίγωνα είναι επίσης προοπτικά, λόγω και επομένως, τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Οι ευθείες τώρα, ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως έχουμε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Στο παραλληλόγραμμο θεωρούμε το σημείο στο εσωτερικό του και από και , σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί στο (*), προκύπτει ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Η μεταβλητή ευθεία δηλαδή, περνάει από το σταθερό σημείο , ως το συμμετρικό σημείο του ως προς το μέσον του τμήματος και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
(*) Δείτε Εδώ .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. (18-02-2020) Δείτε και Εδώ την συζήτηση που έχει γίνει για το ίδιο πρόβλημα και δόθηκε μία εξαιρετική απόδειξη με αρμονικά συζυγή, από τον Δημήτρη Παπαδημητρίου.
Έστω τα σημεία , τα σημεία επί της ευθείας ώστε να είναι και και ας είναι , το σημείο ώστε το να είναι παραλληλόγραμμο.
Έστω τα σημεία και και και .
Θεωρούμε τα τρίγωνα , για τα οποία παρατηρούμε ότι και άρα τα τρίγωνα αυτά είναι προοπτικά και επομένως, σύμφωνα με το Θεώρημα Desarques, έχουμε ότι τα σημεία και και είναι συνευθειακά.
Ομοίως, τα τρίγωνα είναι επίσης προοπτικά, λόγω και επομένως, τα σημεία και και είναι συνευθειακά. Οι ευθείες τώρα, ταυτίζονται γιατί έχουν δύο κοινά σημεία και επομένως έχουμε ότι τα σημεία ανήκουν στην ίδια ευθεία.
Στο παραλληλόγραμμο θεωρούμε το σημείο στο εσωτερικό του και από και , σύμφωνα με γνωστό Λήμμα που έχουμε ξαναδεί στο (*), προκύπτει ότι τα σημεία και είναι συνευθειακά.
Η μεταβλητή ευθεία δηλαδή, περνάει από το σταθερό σημείο , ως το συμμετρικό σημείο του ως προς το μέσον του τμήματος και το ζητούμενο έχει αποδειχθεί.
(*) Δείτε Εδώ .
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. (18-02-2020) Δείτε και Εδώ την συζήτηση που έχει γίνει για το ίδιο πρόβλημα και δόθηκε μία εξαιρετική απόδειξη με αρμονικά συζυγή, από τον Δημήτρη Παπαδημητρίου.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τρί Φεβ 18, 2020 9:39 pm, έχει επεξεργασθεί 5 φορές συνολικά.
Re: Μεταβλητή ευθεία δια σταθερού σημείου (6).
Διαφορετικά:
Καθώς μεταβάλλουμε το ,οι απεικονίσεις και είναι προβολικές.(ίσοι διπλοί λόγοι).
Η τομή ,δηλαδή το , κινείται επομένως σε κωνική που διέρχεται από τα και προβολικά (ίδιοι διπλοί λόγοι-απλώς σε δευτεροβάθμια καμπύλη) ως προς από τις προηγούμενες σχέσεις.
Για τα ταυτίζονται,οπότε η σχέση που συνδέει τα είναι προβολή από σταθερό σημείο της κωνικής.(παρόμοιο επιχείρημα:https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... AE#p311293)
Καθώς μεταβάλλουμε το ,οι απεικονίσεις και είναι προβολικές.(ίσοι διπλοί λόγοι).
Η τομή ,δηλαδή το , κινείται επομένως σε κωνική που διέρχεται από τα και προβολικά (ίδιοι διπλοί λόγοι-απλώς σε δευτεροβάθμια καμπύλη) ως προς από τις προηγούμενες σχέσεις.
Για τα ταυτίζονται,οπότε η σχέση που συνδέει τα είναι προβολή από σταθερό σημείο της κωνικής.(παρόμοιο επιχείρημα:https://mathematica.gr/forum/viewtopic. ... AE#p311293)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες