Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 1.

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2068
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία 1.

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Σάβ Σεπ 15, 2012 3:22 pm

Δίνεται τρίγωνο \vartriangle ABC εγγεγραμμένο σε κύκλο (O) και έστω H,\ O, δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του. Η ευθεία AO τέμνει το κύκλο (O) στο σημείο έστω A' και έστω τα σημεία A_{1}\equiv (O)\cap A'H και A_{2}\equiv (O)\cap AH. Με παρόμοιο τρόπο ορίζουμε τα σημεία B',\ B_{1},\ B_{2} και C',\ C_{1},\ C_{2}, με αφετηρία τα B,\ C, αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες A_{1}A_{2},\ B_{1}B_{2},\ C_{1}C_{2} τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω S, κείμενο επί της ευθείας OH.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=112_t=31145.PNG
Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία.
f=112_t=31145.PNG (43.67 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Τρί Μαρ 19, 2019 11:41 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.



Λέξεις Κλειδιά:
Σακης
Δημοσιεύσεις: 122
Εγγραφή: Κυρ Οκτ 11, 2009 9:06 pm

Re: Συντρέχουσες ευθείες και συνευθειακά σημεία.

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Σακης » Σάβ Σεπ 15, 2012 5:59 pm

Από θεώρημα Pascal στο εξάγωνο AA'A_1BB'B_1 έχουμε ότι τα ζεύγη (AA' , BB'),(A'A_1 , B'B_1) και (AB_1 , A_1B) τέμνονται σε συνευθειακά σημεία.
Οπότε, αν Q είναι το σημείο τομής των A_1B και AB_1, τα Q,O,H είναι συνευθειακά.

Τώρα πάλι από θεώρημα Pascal στο εξάγωνο B_1AA_2A_1BB_2 πέρνουμε ότι τα ζεύγη (B_1A ,A_1B ),(AA_2 , BB_2) και (A_1A_2 , B_1B_2) τέμνονται και αυτά σε συνευθειακά σημεία.
Άρα ,αν ονομάσουμε S_1 το σημείο τομής των A_1A_2 και B_1B_2, τα Q,S_1,H,O είναι συνευθειακά.

Δουλεύοντας ομοίως καταλήγουμε ότι τα S_1,S_2,S_3,H,O είναι συνευθειακά και καθώς το σημείο τομής της A_1A_2 με την OH είναι μοναδικό,
έχουμε ότι S_1 \equiv {S_2} και πέρνουμε ομοίως διαδοχικά ότι S_1 \equiv S_2 \equiv S_3 \equiv S.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης