Άλλη μια γεωμετρία!

[nickthegreek]

Ο εγγεγραμμένος κύκλος ενός τριγώνου εφάπτεται των πλευρών στα σημεία αντίστοιχα. Συμβολίζουμε με
τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων αντίστοιχα.
Οι κύκλοι τέμνονται στα σημεία και , οι κύκλοι στα
και οι κύκλοι στα

Να δείξετε ότι οι κύκλοι τέμνονται σε ένα κοίνο σημείο.
Να δείξετε ότι οι ευθείες συντρέχουν.

Φιλικά,
Νίκος

[Alex1994]

Το ερώτημα α) προκύπτει άμεσα από θεώρημα Miquel,συντρέχουν στο έκκεντρο .
Για το ερώτημα β) κάνουμε αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμένο κύκλο. Έστω ότι κάθε σημείο απεκονίζεται στο .
Οι κύκλοι απεκονίζονται στις ευθείες , τα σημεία στα μέσα των και ο κύκλος στο κύκλο Euler του .
Άρα το απεκονίζεται στο προβολή του στην ,αντίστοιχα για τα . Αρκεί να δείξω ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ,, συντρέχουν σε σημείο διάφορο του .
Tο ορθόκεντρο του ,έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους 3 κύκλους άρα οι κύκλοι είναι ομοαξονικοί (έχουν κοινό ριζικό άξονα) και συντρέχουν σε σημείο διάφορο του

[AΝΔΡΕΑΣ ΒΑΡΒΕΡΑΚΗΣ]

Η συγκεκριμένη σειρά γραμμάτων αναγνωρίζεται ως κάτι άλλο, εντολή ίσως, την έχω πατήσει και εγώ και φαντάζομαι πολλοί άλλοι.

Το ερώτημα α) προκύπτει άμεσα από θεώρημα Miquel,συντρέχουν στο έκκεντρο
Για το ερώτημα β) κάνουμε αντιστροφή ως προς τον εγγεγραμένο κύκλο. Έστω ότι κάθε σημείο απεκονίζεται στο .
Οι κύκλοι απεκονίζονται στις ευθείες , τα σημεία στα μέσα των και ο κύκλος στο κύκλο Euler του DEF(για κάποιο λόγo δεν μπορεί να μου το διαβάσει σε ...)
Άρα το απεκονίζεται στο προβολή του στην ,αντίστοιχα για τα . Αρκεί να δείξω ότι οι περιγεγραμμένοι κύκλοι των ,, συντρέχουν σε σημείο διάφορο του .
Tο ορθόκεντρο του DEF,έχει ίσες δυνάμεις ως προς τους 3 κύκλους άρα οι κύκλοι είναι ομοαξονικοί(έχουν κοινό ριζικό άξονα) και συντρέχουν σε σημείο διάφορο του

[Σεραφείμ]

Επειδή η λύση του εξαιρετικού Αλέξανδρου είναι αρκετά τηλεγραφική, επειδή η άσκηση είναι καταπληκτική, καθώς και επειδή είχα κάνει την σχετική προεργασία πριν κάποιες ώρες, θεωρώ σκόπιμο να δοθεί το σχήμα και επεξηγήσεις επί των πεπραγμένων.[attachment=0]Nickthegreek.jpg[/attachment]Λήμμα : Γενικώς σε τρίγωνο τα ίχνη των υψών είναι αντίστοιχα και είναι το περίκεντρο. Τότε οι κύκλοι οι περιγεγραμμένοι των τριγώνων συντρέχουν σε σημείο (Μένει ως άσκηση).

Λόγω των εγγράψιμμων τετραπλεύρων οι κύκλοι συντρέχουν στο έκκεντρο .
Αντιστρέφουμε τα πάντα με πόλο το έκκεντρο και λόγο , τότε οι κύκλοι αντιστρέφονται στις ευθείες αντίστοιχα διότι διέρχονται απ τον πόλο και τα σημεία μένουν αμετάβλητα.
Επίσης τα σημεία αντιστρέφονται στα που είναι μέσα των . Τα σημεία αντιστρέφονται στα . Ο κύκλος αντιστρέφεται σε κύκλο που διέρχεται από τα μέσα , επομένως στον κύκλο Euler του τριγώνου και επειδή αυτός διέρχεται κι από τα , έπεται ότι τα είναι τα ίχνη των υψών του τριγώνου . Οι ευθείες αντιστρέφονται στους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων .
Το σημείο είναι το περίκεντρο του τριγώνου και σύμφωνα με το λήμμα οι παραπάνω κύκλοι συντρέχουν σε σημείο που το «αντιστρόφως» αντίστροφό του είναι το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι .

[nickthegreek]

Αφού ευχαριστήσω τον κύριο Σεραφείμ, τον κύριο Ανδρέα καθώς και τον φίλο μου Αλέξανδρο για τις υπέροχες παρεμβάσεις τους επί του θέματος, ας δώσω για λόγους πλουραλισμού και μια δική μου σκέψη για το 2ο ερώτημα:

Θα δείξουμε αρχικά ότι το εγγράψιμο. Πράγματι, ισχύει
Λόγω των εγγραψίμων έχουμε
Άρα αρκεί να δείξουμε ότι ,που είναι προφανές.
Όμοια προκύπτουν τα εγγράψιμα .
Tώρα παρατηρούμε ότι οι ευθείες αποτελούν τους ριζικούς άξονες των περιγεγραμμένων κύκλων των τριών αυτών εγγραψίμων τετραπλεύρων. Άρα συντρέχουν στο ριζικό κέντρο των κύκλων, και το ζητούμενο έπεται.
Φιλικά,
Νίκος

[Μπάμπης Στεργίου]

Για το ερώτημα (α) μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι

Επομένως οι γωνίες και του τετραπλεύρου μεταφέρονται στις απέναντι γωνίες του εγγεγραμμένου και έτσι είναι παραπληρωματικές.