mathematica.gr

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2011 5:36 am**

Έστω τρίγωνο ABC

με γωνίες

.
Αν

σημείο επί της

τέτοιο ώστε οι γωνίες BCD,DCE

να έχουν μέτρο a,b

αντίστοιχα η κάθε μια και

σημείο της

τέτοιο ώστε BD=CE

, βρείτε το μέτρο της γωνίας CDE=x

.

: ΓΕΩΜΕΤΡΕΙΝ 31.PNG (24.31 KiB) Προβλήθηκε 706 φορές

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2011 11:56 am**

Ανεβάζω τα σχήματα και την λύση αργότερα
χ=30
Εδώ είναι η λύση
Αφού $\alpha +\beta =60^o\Leftrightarrow \alpha =60^o- \beta$ οπότε
Α ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος με κέντρο Δ και ακτίνα ΔΒ τέμνει την ΒΓ εξωτερικά προς το Β έχουμε:
γωνίες ΒΔΓ = 3β , ΔΒΓ = 120 - 2β , ΒΓΔ = 60 - β
ΖΒΔ = ΒΖΔ = 2β + 60 και ΒΔΖ = 60 - 4β
ΑΡΑ ΖΔΓ = 60 - β δηλαδή το τρίγωνο ΔΖΓ ισοσκελές με ΔΖ = ΖΓ
Τότε ΕΓΖ ισοσκελές με Γ = 60 άρα ισόπλευρο δηλαδή ΔΖΕ ισοσκελές με ΔΖ = ΖΕ
τότε $2(60^o- \beta + x) + 2 \beta= 180^o \Leftrightarrow x = 30^o$
Β ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος εφάπτεται στην ΒΓ στο Β τότε προκύπτει ότι $\alpha = 45^o$ και $\beta = 15^o$
το τρίγωνο ΑΒΓ ορθογώνιο στο Β και $\Gamma = 60^o$ και A = 30^o

οπότε ΔΒ = ΒΓ = ΓΕ = ΕΑ
δηλαδή αν φέρουμε την ΕΚ κάθετη στη ΒΓ έχουμε ότι η υποτείνουσα είναι ίση με την κάθετη πλευρά. ΑΤΟΠΟ
Γ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος περάσει από το Γ τότε το ΔΒΓ ισοσκελές δηλαδή οι γωνίες ΔΒΓ = ΔΓΒ οπότε 2α = α ΑΤΟΠΟ
Δ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Εάν ο κύκλος τέμνει την ΒΓ εξωτερικά προς το Γ στο σημείο Ζ τότε ΒΔ = ΔΖ δηλαδή στο τρίγωνο ΔΖΓ η εξωτερική γωνία ΔΓΖ = α > ΔΖΓ = 2α ΑΤΟΠΟ

Η συνέχεια στο επόμενο επεισόδιο

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2011 12:00 pm**

ΣΥΝΕΧΙΖΟΥΜΕ ........
Ε ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ
Έχει μείνει η περίπτωση , ο κύκλος να τέμνει την ΒΓ εσωτερικά στο Ζ. Τότε έχουμε
γωνίες ΔΒΖ = ΔΖΒ = 2α άρα το τρίγωνο ΔΖΓ ισοσκελές γιατί η γωνία ΖΔΓ = α = ΔΓΖ με Γ = 60 άρα ισόπλευρο
Έτσι ΔΖ = ΖΕ δηλαδή η γωνία ΔΖΕ = 2β γιατί ΕΖΓ = 60 και α + β = 60
Έτσι έχουμε $2(\alpha + x) + 2 \beta= 180^o \Leftrightarrow x = 30^o$

Ουφ ... τέλος

Δημοσιεύτηκε: **Πέμ Σεπ 08, 2011 12:20 pm**

Δημήτρη μία διαπραγμάτευση στην όμορφη Άσκηση σου, στην περίπτωση που ανέφερε ο Χρίστος $\angle B < 90^ \circ .$

$a + b = 60^ \circ .$
Αν θεωρήσουμε τον κύκλο (D,DB)

θα τμήσει την

στο σημείο

${}{'}{\rm A}\rho \alpha ,DB = DS = SC = CE \Rightarrow \angle ESC = \angle ECS = 60^ \circ .$
Οπως είδαμε το τρίγωνο SCE

είναι ισόπλευρο.
Έστω τώρα, ότι ο περιγεγραμμένος κύκλος (DSE)

τέμνει την

στο σημείο

Εύκολα παίρνουμε:
$a = \angle SEF \Rightarrow \angle FEC = b = \angle FCE \Rightarrow SF \bot EC \Rightarrow x = \angle ESF = 30^ \circ .$

(*) ΟΜΩΣ, Μένει η υποχρεωτική διαδικασία της διερεύνησης, που όπως την βλέπω, οδηγεί με την ίδια μέθοδο επίλυσης πού προανέφερα στην ιδια συμπερασματολογία γιά την

και στην περίπτωση της αμβλείας γωνίας