666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Με την ευκαιρία της 666ης ( ) μου δημοσίευσης, ένα δύσκολο πρόβλημα που μου άρεσε πολύ, από την ( για μένα ) εποχή προ Υπολογιστή.
Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω .
Κώστας Βήττας. ΥΓ. Γνωστή πρόταση, όπως διαπιστώθηκε εκ των υστέρων.
Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω .
Κώστας Βήττας. ΥΓ. Γνωστή πρόταση, όπως διαπιστώθηκε εκ των υστέρων.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Για τις ως άνω ( σατανικές πράγματι ) συντρέχουσες ευθείες, αποδεικνύεται ότι ισχύει το εξής ενδιαφέρον αποτέλεσμα :
Εάν είναι το αντισεβιανό τρίγωνο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο και το σημείο στο οποίο συντρέχουν, σύμφωνα με το Cevian Nests Theorem (*), οι ευθείες , αποδεικνύεται ότι το ως άνω σημείο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος
(*) Δεν γνωρίζω την απόδοσή του στα ελληνικά.
Κώστας Βήττας. ΥΓ.1 - Το τρίγωνο ορίζεται ως το αντισεβιανό του ως προς το τρίγωνο εάν το είναι το σεβιανό τρίγωνο του ως προς το .
ΥΓ.2 - Το σημείο , ονομάζεται -Ceva συζυγές του = -Ceva conjugate of , ως προς το δοσμένο τρίγωνο
ΥΓ.3 - Για το Cevian Nests Theorem δείτε και Εδώ.
Εάν είναι το αντισεβιανό τρίγωνο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο και το σημείο στο οποίο συντρέχουν, σύμφωνα με το Cevian Nests Theorem (*), οι ευθείες , αποδεικνύεται ότι το ως άνω σημείο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος
(*) Δεν γνωρίζω την απόδοσή του στα ελληνικά.
Κώστας Βήττας. ΥΓ.1 - Το τρίγωνο ορίζεται ως το αντισεβιανό του ως προς το τρίγωνο εάν το είναι το σεβιανό τρίγωνο του ως προς το .
ΥΓ.2 - Το σημείο , ονομάζεται -Ceva συζυγές του = -Ceva conjugate of , ως προς το δοσμένο τρίγωνο
ΥΓ.3 - Για το Cevian Nests Theorem δείτε και Εδώ.
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Ποιος παίζει με τις ευθείες μου;;!..vittasko έγραψε:Με την ευκαιρία της 666ης ( ) μου δημοσίευσης, ένα δύσκολο πρόβλημα που μου άρεσε πολύ, από την ( για μένα ) εποχή προ Υπολογιστή.
Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω .
Κώστας Βήττας. ΥΓ. Γνωστή πρόταση, όπως διαπιστώθηκε εκ των υστέρων.
χπστ
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Επαναφορά!!!
Κώστα επειδή ξέρω ότι το "έχεις" αν δεν σου κάνει κόπο και όποτε έχεις την ευκαιρία θα ήθελα πολύ να το απολαύσω
Με εκτίμηση
Στάθης
Κώστα επειδή ξέρω ότι το "έχεις" αν δεν σου κάνει κόπο και όποτε έχεις την ευκαιρία θα ήθελα πολύ να το απολαύσω
Με εκτίμηση
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Καλησπέρα Στάθη.
Λείψαμε εκτάκτως το διήμερο που μας πέρασε και επιστρέψαμε πριν από λίγο. Έχω καλά αρχειοθετημένη αυτή την πρόταση και με χαρά θα δώσω τις δύο αποδείξεις που έχω υπόψη μου.
Δώσε μου λίγο χρόνο σε παρακαλώ για να τα μεταγράψω από τα αγγλικά ( είναι περίεργο, αλλά κάποιες από τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, έχει τύχει να δημοσιευτούν πρώτη φορά αγγλιστί στο φόρουμ Hyacinthos και στο mathlinks.ro, αν και οι γνώσεις μου στα αγγλικά είναι ελάχιστες ).
Κώστας Βήττας.
Λείψαμε εκτάκτως το διήμερο που μας πέρασε και επιστρέψαμε πριν από λίγο. Έχω καλά αρχειοθετημένη αυτή την πρόταση και με χαρά θα δώσω τις δύο αποδείξεις που έχω υπόψη μου.
Δώσε μου λίγο χρόνο σε παρακαλώ για να τα μεταγράψω από τα αγγλικά ( είναι περίεργο, αλλά κάποιες από τις αποδείξεις που έχω υπόψη μου, έχει τύχει να δημοσιευτούν πρώτη φορά αγγλιστί στο φόρουμ Hyacinthos και στο mathlinks.ro, αν και οι γνώσεις μου στα αγγλικά είναι ελάχιστες ).
Κώστας Βήττας.
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Το αρχικό πρόβλημα και το πρόσθετο αποτέλεσμα, συνδέονται σε ενιαία πρόταση ως εξής :
Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω , το οποίο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το
Απόδειξη 1η. - Ορίζουμε τα σημεία τομής των πλευρών του δοσμένου τριγώνου , από τις ευθείες όπως παρακάτω :
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ορίζουμε επίσης τα σημεία και και
Θα αποδείξουμε πρώτα, την παρακάτω Βοηθητική πρόταση :
ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την δια του σημείου η οποία τέμνει τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Έστω επίσης, τα σημεία τομής της από τις παράλληλες ευθείες δια του σημείου προς τις αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Απόδειξη. - Έστω τα σημεία και Από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε
Από γιατί ισχύει και .
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και η Βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
Επιστρέφοντας τώρα στο αρχικό πρόβλημα, σύμφωνα με τα παραπάνω, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Με παρόμοιο τρόπο, για το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση, προκύπτει ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο. Δηλαδή, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Έστω τα σημεία και και και
Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε τις δέσμες όπου και έχουμε :
( οι Διπλοί λόγοι αυτών των δεσμών είναι ίσοι ).
Αλλά, και
Από
Οι ευθείες τέμνουν τη δέσμη και άρα έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έστω το σημείο και αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο αυτό ανήκει στην ευθεία
Θεωρούμε τις δέσμες και αρκεί να αποδειχθεί ότι έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Δηλαδή, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Αλλά, και
Από , αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Η όμως αληθεύει, γιατί οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους και τα συνευθειακά σημεία και και ως σημεία τομής των υπολοίπων ομολόγων ακτίνων τους και άρα έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Ισχύει δηλαδή από όπου προκύπτει η .
Άρα, αληθεύει επίσης η και επομένως, το ζητούμενο του ότι συντρέχουν οι ευθείες έχει αποδειχθεί.
Θα αποδείξουμε τώρα ότι το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος όπου είναι το Η-Ceva συζυγές του ως προς το δοσμένο τρίγωνο
Έστω το σημείο και από το παραλληλόγραμμο έχουμε και άρα, η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή,
Ομοίως, λόγω του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι και η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την στο ίδιο σημείο Δηλαδή, οι παράλληλες ευθείες δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου προς τις πλευρές αντιστοίχως του , ορίζουν το τρίγωνο οι κορυφές του οποίου κείνται επί των ευθειών αντιστοίχως και ισχύει και και
Το δοσμένο τρίγωνο , όπως έχει τώρα διαμορφωθεί το σχήμα μας, είναι το Σεβιανό τρίγωνο του σημείου ως προς το τρίγωνο
Το τρίγωνο , είναι το Αντισεβιανό τρίγωνο του ως προς το σημείο
Θα αποδείξουμε τώρα ότι
Από
Από γιατί ισχύει και
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι και άρα, συμπεραίνεται ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει λόγω
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες περνάνε επίσης από το σημείο
Το σημείο όμως είναι σταθερό, σύμφωνα με το Cevian Nests theorem, αφού ισχύει και
Έτσι, το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι, όπως παραπάνω έχει λεχθεί, το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο και το πρόσθετο αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί.
Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής, στον αγαπητό μου φίλο Μπάμπη Στεργίου. Τότε που του έγινε η αφιέρωση, δεν γνωριζόμασταν προσωπικά με τον Μπάμπη. Είχα όμως σχηματίσει την εντύπωση ότι πρόκειται για έναv αξιόλογο συμπατριώτη, που η παρουσία του στη χώρα μας αλλά και στην αλλοδαπή, μας τιμά ιδιαίτερα.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η ενιαία πρόταση ως άνω, είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως "The paracevian perspector theorem" και θα δώσω αργότερα περισσότερες πληροφορίες και αναφορές.
Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω , το οποίο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το
Απόδειξη 1η. - Ορίζουμε τα σημεία τομής των πλευρών του δοσμένου τριγώνου , από τις ευθείες όπως παρακάτω :
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ορίζουμε επίσης τα σημεία και και
Θα αποδείξουμε πρώτα, την παρακάτω Βοηθητική πρόταση :
ΒΟΗΘΗΤΙΚΗ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την δια του σημείου η οποία τέμνει τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Έστω επίσης, τα σημεία τομής της από τις παράλληλες ευθείες δια του σημείου προς τις αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Απόδειξη. - Έστω τα σημεία και Από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε
Από γιατί ισχύει και .
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και η Βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
Επιστρέφοντας τώρα στο αρχικό πρόβλημα, σύμφωνα με τα παραπάνω, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Με παρόμοιο τρόπο, για το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση, προκύπτει ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο. Δηλαδή, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Έστω τα σημεία και και και
Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε τις δέσμες όπου και έχουμε :
( οι Διπλοί λόγοι αυτών των δεσμών είναι ίσοι ).
Αλλά, και
Από
Οι ευθείες τέμνουν τη δέσμη και άρα έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έστω το σημείο και αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο αυτό ανήκει στην ευθεία
Θεωρούμε τις δέσμες και αρκεί να αποδειχθεί ότι έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Δηλαδή, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Αλλά, και
Από , αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Η όμως αληθεύει, γιατί οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους και τα συνευθειακά σημεία και και ως σημεία τομής των υπολοίπων ομολόγων ακτίνων τους και άρα έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Ισχύει δηλαδή από όπου προκύπτει η .
Άρα, αληθεύει επίσης η και επομένως, το ζητούμενο του ότι συντρέχουν οι ευθείες έχει αποδειχθεί.
Θα αποδείξουμε τώρα ότι το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος όπου είναι το Η-Ceva συζυγές του ως προς το δοσμένο τρίγωνο
Έστω το σημείο και από το παραλληλόγραμμο έχουμε και άρα, η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή,
Ομοίως, λόγω του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι και η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την στο ίδιο σημείο Δηλαδή, οι παράλληλες ευθείες δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου προς τις πλευρές αντιστοίχως του , ορίζουν το τρίγωνο οι κορυφές του οποίου κείνται επί των ευθειών αντιστοίχως και ισχύει και και
Το δοσμένο τρίγωνο , όπως έχει τώρα διαμορφωθεί το σχήμα μας, είναι το Σεβιανό τρίγωνο του σημείου ως προς το τρίγωνο
Το τρίγωνο , είναι το Αντισεβιανό τρίγωνο του ως προς το σημείο
Θα αποδείξουμε τώρα ότι
Από
Από γιατί ισχύει και
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι και άρα, συμπεραίνεται ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει λόγω
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες περνάνε επίσης από το σημείο
Το σημείο όμως είναι σταθερό, σύμφωνα με το Cevian Nests theorem, αφού ισχύει και
Έτσι, το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι, όπως παραπάνω έχει λεχθεί, το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο και το πρόσθετο αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί.
Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής, στον αγαπητό μου φίλο Μπάμπη Στεργίου. Τότε που του έγινε η αφιέρωση, δεν γνωριζόμασταν προσωπικά με τον Μπάμπη. Είχα όμως σχηματίσει την εντύπωση ότι πρόκειται για έναv αξιόλογο συμπατριώτη, που η παρουσία του στη χώρα μας αλλά και στην αλλοδαπή, μας τιμά ιδιαίτερα.
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Η ενιαία πρόταση ως άνω, είναι γνωστή στη βιβλιογραφία ως "The paracevian perspector theorem" και θα δώσω αργότερα περισσότερες πληροφορίες και αναφορές.
τελευταία επεξεργασία από vittasko σε Κυρ Δεκ 03, 2017 10:29 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
- ΣΤΑΘΗΣ ΚΟΥΤΡΑΣ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 4658
- Εγγραφή: Κυρ Μαρ 13, 2011 9:11 pm
- Τοποθεσία: Βρυξέλλες
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
ΑΡΧΟΝΤΑΣ !!!!!...vittasko έγραψε: Ορίζουμε τα σημεία τομής των πλευρών του δοσμένου τριγώνου , από τις ευθείες όπως παρακάτω :
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ως τα σημεία τομής των αντιστοίχως, από την ευθεία
Ορίζουμε επίσης τα σημεία και και
Θα αποδείξουμε πρώτα, την παρακάτω Βοηθητική πρόταση :
ΒΟΗΘΗΤΙΚΉ ΠΡΟΤΑΣΗ. - Δίνεται τρίγωνο και έστω τυχόν σημείο στο εσωτερικό του. Φέρνουμε την παράλληλη ευθεία προς την δια του σημείου η οποία τέμνει τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Έστω επίσης, τα σημεία τομής της από τις παράλληλες ευθείες δια του σημείου προς τις αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο.
Απόδειξη. - Έστω τα σημεία και Από σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε
Από γιατί ισχύει και .
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, συμπεραίνεται ότι τα σημεία είναι συνευθειακά και η Βοηθητική πρόταση έχει αποδειχθεί.
Επιστρέφοντας τώρα στο αρχικό πρόβλημα, σύμφωνα με τα παραπάνω, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Με παρόμοιο τρόπο, για το σημείο στο εσωτερικό του τριγώνου σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση, προκύπτει ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο. Δηλαδή, η ευθεία περνάει από το σημείο και ομοίως, οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.
Έστω τα σημεία και και και
Θα αποδείξουμε ότι τα σημεία είναι συνευθειακά.
Θεωρούμε τις δέσμες όπου και έχουμε :
Αλλά, και
Από
Οι ευθείες τέμνουν τη δέσμη και άρα έχουμε
Από
Από συμπεραίνεται ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο και άρα, τα σημεία είναι συνευθειακά.
Έστω το σημείο και αρκεί να αποδειχθεί ότι το σημείο αυτό ανήκει στην ευθεία
Θεωρούμε τις δέσμες και αρκεί να αποδειχθεί ότι έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Δηλαδή, αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Αλλά, και
Από , αρκεί να αποδειχθεί ότι ισχύει
Η όμως αληθεύει, γιατί οι δέσμες έχουν την ως κοινή ακτίνα τους και τα συνευθειακά σημεία και και ως σημεία τομής των υπολοίπων ομολόγων ακτίνων τους και άρα έχουν ίσους Διπλούς λόγους.
Ισχύει δηλαδή από όπου προκύπτει η .
Άρα, αληθεύει επίσης η και επομένως, το ζητούμενο του ότι συντρέχουν οι ευθείες έχει αποδειχθεί.
Θα αποδείξουμε τώρα το πρόσθετο αποτέλεσμα που έχει αναφερθεί πιο πάνω. Ότι δηλαδή, το σημείο ταυτίζεται με το μέσον του ευθυγράμμου τμήματος όπου είναι το Η-σεβά συζυγές του ως προς το δοσμένο τρίγωνο
Έστω το σημείο και από το παραλληλόγραμμο έχουμε και άρα, η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει, σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή,
Ομοίως, λόγω του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι και η δια του παράλληλη ευθεία προς την τέμνει την στο ίδιο σημείο
Δηλαδή, οι παράλληλες ευθείες δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου προς τις πλευρές αντιστοίχως, του , ορίζουν το τρίγωνο οι κορυφές του οποίου κείνται επί των ευθειών αντιστοίχως και ισχύει και και
Το δοσμένο τρίγωνο , όπως έχει τώρα διαμορφωθεί το σχήμα μας, είναι το Σεβιανό τρίγωνο του σημείου ως προς το τρίγωνο
Το τρίγωνο τώρα, είναι το Αντισεβιανό τρίγωνο του ως προς το σημείο
Θα αποδείξουμε τώρα ότι
Από
Από
Από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, έχουμε ότι και άρα, συμπεράινεται ότι η ευθεία τέμνει την ευθεία στο σημείο έστω και ισχύει λόγω
Με παρόμοιο τρόπο αποδεικνύεται ότι και οι ευθείες περνάνε επίσης από το σημείο
Το σημείο όμως είναι σταθερό, σύμφωνα με το Cevian Nests theorem, ασού ισχύει και
Έτσι, το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι ευθείες ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι, όπως παραπάνω έχει λεχθεί, το Η-σεβα συζυγές σημείο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο και το πρόσθετο αποτέλεσμα έχει αποδειχθεί.
Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής, στον αγαπητό μου φίλο Μπάμπη Στεργίου ( τότε που του έγινε η αφιέρωση, δεν γνωριζόμασταν προσωπικά με τον Μπάμπη. Είχα όμως σχηματίσει την εντύπωση ότι πρόκειται για ένα αξιόλογο συμπατριώτη, που η παρουσία του στη χώρα μας αλλά και στην αλλοδαπή, μας τιμά ιδιαίτερα ).
Κώστας Βήττας.
ΥΓ. Το αρχικό πρόβλημα και το πρόσθετο αποτέλεσμα, συνδέονται σε ενιαία πρόταση γνωστή στη βιβλιογραφία ως "Paracevian perspector theorem" και θα δώσω αργότερα περισσότερες πληροφορίες και αναφορές.
Κώστα σε ευχαριστώ Θερμά
Στάθης
Τι περιμένετε λοιπόν ναρθεί , ποιόν καρτεράτε να σας σώσει.
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
Εσείς οι ίδιοι με τα χέρια σας , με το μυαλό σας με την πράξη αν δεν αλλάξετε τη μοίρα σας ποτέ της δεν θα αλλάξει
- vittasko
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 2230
- Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
- Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.
- Επικοινωνία:
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Στάθη σ' ευχαριστώ πολύ για τα καλά σου λόγια, πάντα από καρδιάς και απλόχερα δοσμένα.
Η 1η Απόδειξη με ταλαιπώρησε αρκετά μέχρι να καταφέρω να συνδυάσω αποτελεσματικά τα όχι και λίγα επιχειρήματα που ήταν απαραίτητα, βασισμένα στη Θεωρία περί Διπλού λόγου.
Από την συζήτηση όμως στο φόρουμ Hyacinthos, προέκυψε η παρακάτω απόδειξη, η οποία είναι απλούστερη γιατί τεκμηριώνεται με στοιχειώδη μέσα.
Επίσης, έχει αποδειχθεί ότι οι δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου παράλληλες ευθείες προς τις αντιστοίχως, ορίζουν το τρίγωνο του οποίου οι κορυφές ανήκουν και αυτές, στις ευθείες αντιστοίχως και ισχύει και και
Το δοσμένο τρίγωνο είναι το Σεβιανό τρίγωνο του σημείου ως προς το τρίγωνο
Ισχύει δηλαδή και ισχύει επίσης από την εκφώνηση.
Έτσι, σύμφωνα με το Cevian Nests theorem, έχουμε το ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω γνωστό ως το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο
Έχει αποδειχθεί στα προηγούμενα ότι ισχύει και έτσι, στο τρίγωνο από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι η ευθεία περνάει από το μέσον έστω , του τμήματος
Ομοίως, οι ευθείες περνάνε επίσης από το σημείο και η πρόταση ( The paracevian perspector theorem ) έχει αποδειχθεί.
Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής στον Vladimir Zajik, έναν Τσέχο Φυσικό που εντυπωσιάζει με τις γνώσεις του στη Γεωμετρία και τις εμπνευσμένες αποδείξεις του στο mathlinks.ro φόρουμ.
Κώστας Βήττας.
Η 1η Απόδειξη με ταλαιπώρησε αρκετά μέχρι να καταφέρω να συνδυάσω αποτελεσματικά τα όχι και λίγα επιχειρήματα που ήταν απαραίτητα, βασισμένα στη Θεωρία περί Διπλού λόγου.
Από την συζήτηση όμως στο φόρουμ Hyacinthos, προέκυψε η παρακάτω απόδειξη, η οποία είναι απλούστερη γιατί τεκμηριώνεται με στοιχειώδη μέσα.
Απόδειξη 2η. - Χρησιμοποιώ το ίδιο σχήμα f=112_t-18446(d) όπως και πιο πάνω. Σύμφωνα με την Βοηθητική πρόταση πιο πάνω, έχουμε το ότι οι ευθείες ορίζουν το τρίγωνο του οποίου οι κορυφές ανήκουν στις ευθείες αντιστοίχως και το ότι οι ευθείες περνάνε από τα σημεία αντιστοίχως.vittasko έγραψε:Δίνεται τρίγωνο και έστω δύο τυχόντα σημεία στο εσωτερικό του και ας είναι το σεβιανό τρίγωνο του Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις πλευρές στα σημεία έστω αντιστοίχως. Οι δια του παράλληλες ευθείες προς τις τέμνουν τις στα σημεία έστω αντιστοίχως. Αποδείξτε ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω , το οποίο ταυτίζεται με το μέσον του τμήματος όπου είναι το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το
Επίσης, έχει αποδειχθεί ότι οι δια των κορυφών του δοσμένου τριγώνου παράλληλες ευθείες προς τις αντιστοίχως, ορίζουν το τρίγωνο του οποίου οι κορυφές ανήκουν και αυτές, στις ευθείες αντιστοίχως και ισχύει και και
Το δοσμένο τρίγωνο είναι το Σεβιανό τρίγωνο του σημείου ως προς το τρίγωνο
Ισχύει δηλαδή και ισχύει επίσης από την εκφώνηση.
Έτσι, σύμφωνα με το Cevian Nests theorem, έχουμε το ότι οι ευθείες τέμνονται στο ίδιο σημείο έστω γνωστό ως το -Ceva συζυγές σημείο του ως προς το δοσμένο τρίγωνο
Έχει αποδειχθεί στα προηγούμενα ότι ισχύει και έτσι, στο τρίγωνο από , σύμφωνα με το Θεώρημα Θαλή, προκύπτει ότι η ευθεία περνάει από το μέσον έστω , του τμήματος
Ομοίως, οι ευθείες περνάνε επίσης από το σημείο και η πρόταση ( The paracevian perspector theorem ) έχει αποδειχθεί.
Η απόδειξη αυτή είναι αφιερωμένη σε ένδειξη τιμής στον Vladimir Zajik, έναν Τσέχο Φυσικό που εντυπωσιάζει με τις γνώσεις του στη Γεωμετρία και τις εμπνευσμένες αποδείξεις του στο mathlinks.ro φόρουμ.
Κώστας Βήττας.
Re: 666 - Σατανικές συντρέχουσες ευθείες.
Άκυρος χρονικά,αλλά τώρα το είδα και μάρεσε .
Μια σύντομη λύση με (3) μετασχηματισμούς: Το πρόβλημα είναι καθαρά αφινικό (στην προκειμένη περίπτωση εμπλέκει μονάχα συντρέχειες/παραλληλίες,ιδιότητες που διατηρούν οι αφινικοί μετασχηματισμοί).
Το κλειδί είναι ότι μπορούμε με παράλληλη προβολή (αφινικό μετασχηματισμό) να στείλουμε το στο ορθόκεντρο του νέου τριγώνου.Αυτό γίνεται ως εξής:Παίρνουμε επίπεδο που τέμνει το επίπεδο που θέλουμε να μετασχηματίσουμε στην .Παίρνουμε κατάλληλη διέυθυνση ευθείας για την παράλληλη προβολή ώστε το νέο σημείο να ανήκει στην κάθετη από το (που παραμένει σταθερό επειδή βρίσκεται στην ) στην .
Έτσι το γίνεται ύψος.Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να φιξάρουμε την και να κουνήσουμε το οπουδήποτε θέλουμε πάνω στο ύψος.Επειδή το "stretch" έχει τη διεύθυνση του , τα κουνιούνται σε κατακόρυφη ευθεία.Έτσι μπορούμε για κατάλληλο να στείλουμε το στην τομή της ευθείας του με τον κύκλο διαμέτρου και άρα να κάνουμε το ύψος,όπως ισχυρηστήκαμε παραπάνω..
Στο νέο σχήμα λοιπόν εξακολουθούν να ισχύουν οι παραλληλίες,που τώρα επειδή πχ. κάθετες κλπ.,έχουμε και τα ορθογώνια .Θέλουμε να δείξουμε πως οι συντρέχουν.Παίρνοντας ομοιοθεσία κέντρου και λόγου 2 αρκεί οι να συντρέχουν,όπου τα συμμετρικά του προς τις αντίστοιχα.
Είναι από τη συμμετρία και όμοια και για τα άλλα,κάτι που επειδή (και όμοια και για τα άλλα) σημαίνει πως οι είναι ζεύγη ισογώνιων προς τις αντίστοιχες γωνίες του ορθικού τριγώνου,από όπου έπεται πως οι ευθείες που θέλουμε συντρέχουν στο ισογώνιο του ως προς το ορθικό...(και άρα οι αρχικές στο μέσον του τμήματος που συνδέει το σημείο αυτό με το .)
Μια σύντομη λύση με (3) μετασχηματισμούς: Το πρόβλημα είναι καθαρά αφινικό (στην προκειμένη περίπτωση εμπλέκει μονάχα συντρέχειες/παραλληλίες,ιδιότητες που διατηρούν οι αφινικοί μετασχηματισμοί).
Το κλειδί είναι ότι μπορούμε με παράλληλη προβολή (αφινικό μετασχηματισμό) να στείλουμε το στο ορθόκεντρο του νέου τριγώνου.Αυτό γίνεται ως εξής:Παίρνουμε επίπεδο που τέμνει το επίπεδο που θέλουμε να μετασχηματίσουμε στην .Παίρνουμε κατάλληλη διέυθυνση ευθείας για την παράλληλη προβολή ώστε το νέο σημείο να ανήκει στην κάθετη από το (που παραμένει σταθερό επειδή βρίσκεται στην ) στην .
Έτσι το γίνεται ύψος.Με ανάλογο τρόπο μπορούμε να φιξάρουμε την και να κουνήσουμε το οπουδήποτε θέλουμε πάνω στο ύψος.Επειδή το "stretch" έχει τη διεύθυνση του , τα κουνιούνται σε κατακόρυφη ευθεία.Έτσι μπορούμε για κατάλληλο να στείλουμε το στην τομή της ευθείας του με τον κύκλο διαμέτρου και άρα να κάνουμε το ύψος,όπως ισχυρηστήκαμε παραπάνω..
Στο νέο σχήμα λοιπόν εξακολουθούν να ισχύουν οι παραλληλίες,που τώρα επειδή πχ. κάθετες κλπ.,έχουμε και τα ορθογώνια .Θέλουμε να δείξουμε πως οι συντρέχουν.Παίρνοντας ομοιοθεσία κέντρου και λόγου 2 αρκεί οι να συντρέχουν,όπου τα συμμετρικά του προς τις αντίστοιχα.
Είναι από τη συμμετρία και όμοια και για τα άλλα,κάτι που επειδή (και όμοια και για τα άλλα) σημαίνει πως οι είναι ζεύγη ισογώνιων προς τις αντίστοιχες γωνίες του ορθικού τριγώνου,από όπου έπεται πως οι ευθείες που θέλουμε συντρέχουν στο ισογώνιο του ως προς το ορθικό...(και άρα οι αρχικές στο μέσον του τμήματος που συνδέει το σημείο αυτό με το .)
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες