Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (3).

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2

Άβαταρ μέλους
vittasko
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2030
Εγγραφή: Πέμ Ιαν 08, 2009 8:46 am
Τοποθεσία: Μαρούσι - Αθήνα.

Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (3).

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από vittasko » Πέμ Ιουν 18, 2009 8:44 pm

Με βάσεις τις πλευρές AC,\ AB τριγώνου \bigtriangleup ABC και προς το εξωτερικό μέρος αυτού, κατασκευάζουμε τα όμοια ισοσκελή τρίγωνα \bigtriangleup B^{\prime}AC,\ \bigtriangleup C^{\prime}AB, αντιστοίχως. Από το περίκεντρο O του \bigtriangleup ABC φέρνουμε τις κάθετες ευθείες επί των AB^{\prime},\ AC^{\prime}, οι οποίες τέμνουν αντιστοίχως τις ευθείες CB^{\prime},\ BC^{\prime}, στα σημεία έστω P,\ Q. Αποδείξτε ότι PQ\parallel BC.

Κώστας Βήττας.
Συνημμένα
f=50_t=1758.pdf
Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (3).
(6.77 KiB) Μεταφορτώθηκε 43 φορές


Ilias_Zad
Δημοσιεύσεις: 418
Εγγραφή: Δευ Ιαν 26, 2009 11:44 pm

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (3).

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ilias_Zad » Παρ Ιουν 19, 2009 12:17 am

Βαζω μια λυση με μιγαδικους.
θεωρω μιγαδικο επιπεδο με αρχη το περικεντρο του τριγωνου ABC και οτι το τριγωνο ειναι εγγεγραμενο στον μοναδιαιο κυκλο.τα γραμματα του σχηματος παριστανονται με τα αντιστοιχα μικρα γραμματα σε μιγαδικους με μονη διαφορα
B' -> b1 , C'-> c1
θεωρω την στροφη r=e^{\pi - 2w}
τοτε
b_1-a=r(b_1-c)(1)
αρα και
b_1= \frac{a-rc}{1-r}, b_1 = \frac{c-ra}{ac(1-r)}(2)
ομως αφου PO καθετη στην Β'Α
\frac{p-o}{p-o~}=-\frac{b_1-a}{\bar{b_1 } - \bar{a}}(3)
και αφου Ρ ανηκει στην Β'Γ,
\frac{p-c}{\bar{p}-\bar{c}}=\frac{b_1-c}{\bar{b_1 } - \bar{c}}(4)
τωρα απο (1),(3),(4) δεδομενου οτι o=0,
\frac{p}{\bar{p }}=-\frac{p-c}{\bar{p}-\bar{c}} \leftrightarrow \bar{p}=\frac{p}{2pc-c^2}(5)
επισης απο (2),(3) \frac{p}{\bar{p}}= \frac{-ac}{r}
,που λογω της (5) δινει, p=\frac{rc-a}{2r}
ομοια προκυπτει q= \frac{rb-a}{2r}
οποτε για το ζητουμενο αρκει,
\frac{ p-q}{\bar{p}-\bar{q}}= \frac{ b-c}{\bar{b}-\bar{c}}
\leftrightarrow \frac{ \frac{c-b}{2}}{\frac{b-c}{2bc}}= -bc , που ισχυει :)


hsiodos
Διευθύνον Μέλος
Δημοσιεύσεις: 1235
Εγγραφή: Σάβ Απρ 18, 2009 1:12 am

Re: Γεωμετρία - Παράλληλες ευθείες (3).

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hsiodos » Παρ Ιουν 19, 2009 1:18 am

\bullet Καταρχήν παρατηρούμε ότι ΟΒ' μεσοκάθετος του ΑC (G μέσο του ΑC) και ΟC' μεσοκάθετος του ΑB (F μέσο του ΑB) . Προκύπτει FG // BC .

\bullet Τώρα προκύπτει ότι τα σημεία A , E , G, O , F , D είναι ομοκυκλικά.(έχουμε τρείς τετράδες σημείων με απέναντι γωνίες ορθές.) Άρα FG // DE (εντός εναλλάξ ίσες με ω)

\bullet Από τα προηγούμενα προκύπτει DE //BC οπότε αρκεί να δείξουμε DE //QP .
Έχουμε δύο ζεύγη όμοιων ορθ. τριγώνων, των ODC', OEB' και QDC' , PEB' , άρα διαδοχικά έχουμε: \frac{OD}{OE}=\frac{DC^{\prime}}{EB^{\prime}}=\frac{DQ}{EP} και συνεπώς DE //QP .

Γιώργος


geom(3).png
geom(3).png (89.36 KiB) Προβλήθηκε 334 φορές


Γιώργος Ροδόπουλος
Απάντηση

Επιστροφή σε “Γεωμετρία (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης