Γεωμετρία απο τα παλιά

[Nick Rapanos]

Δίνονται ορθογώνιο και ισοσκελές τρίγωνο (), η ευθεία που είναι η από το παράλληλη προς την και κύκλος στο εξωτερικό του τριγώνου. Ένα σημείο κινείται πάνω στην πλευρά . Έστω
, το μέσο του τμήματος και τα σημεία τομής της ευθείας με τον κύκλο .
Να αποδείξετε ότι το περίκεντρο του τριγώνου κινείται πάνω σε μια σταθερή υπερβολή.

Νίκος Ράπανος - 2007

Υ.Γ. Συνθετικές λύσεις είναι προτιμητέες.


Σημείωση. Η άσκηση είναι αρκετά δύσκολη, οπότε θα την αφήσω για λίγες μέρες να γράψετε τις σκέψεις σας (έστω κι αν είναι ημιτελείς) και έπειτα θα ανεβάσω τη λύση.
Η ιδέα για αυτή τη σημείωση είναι ενός πολύ καλού φίλου και δυνατού λύτη που γνωρίζει την άσκηση και με συμβούλευσε να τη χαρακτηρίσω ως δύσκολη για να μην "καταστρέψω κανέναν"...Εννοούσε προφανώς ότι όσοι από εσάς προετοιμάζεστε για διαγωνισμούς κλπ σίγουρα δεν είναι και ό,τι καλύτερο να αφιερώσετε πολύ χρόνο από την προετοιμασία σας ασχολούμενοι με τη συγκεκριμένη άσκηση - για τους υπόλοιπους δε βλέπω τίποτα το καταστροφικό σε μια ωραία άσκηση γεωμετρίας.

[Κώστας Παππέλης]

Nick πρέπει να είναι δύσκολη γιατί χωρίς σχήμα δεν μπορώ να τη λύσω... (ξέρεις εσύ χαχαχαχαχα)

[Nick Rapanos]

Nick πρέπει να είναι δύσκολη γιατί χωρίς σχήμα δεν μπορώ να τη λύσω... (ξέρεις εσύ χαχαχαχαχα)

Όπως καταλάβατε αγαπητά μέλη όταν μια άσκηση έχει κατασκευαστεί το 2007 και τώρα έχουμε 2011, είναι αναμενόμενο να την έχεις μοιραστεί με καλούς φίλους και problem solvers όπως ο Κώστας, ο Δημήτρης, ο Σιλουανός κλπ. Πέρα από αυτό η άσκηση έχει και μια μικρή ιστορία στην οποία και αναφέρεται το παραπάνω σχόλιο του Κώστα.
Το συγκεκριμένο σχόλιο έχει λεχθεί στην πραγματικότητα από τον επι σειρά ετών χρυσό ολυμπιονίκη Jurie Boreico που τελικά πήρε χαρτί και έλυσε την άσκηση μου με έναν πολύ όμορφο τρόπο μέσα σε 15 λεπτά (τώρα για τον ακριβή χρόνο διατηρώ ακόμη μια επιφύλαξη γιατί δεν ήμουν παρών με χρονόμετρο στο χέρι). Επίσης ένα κομμάτι της άσκησης το είχα δώσει και στον κ. Λουρίδα που ως μεγάλος γεωμέτρης έδωσε μια επίσης καταπληκτική λύση (κατά το προσωπικό μου γούστο καλύτερη από του Jurie...). Ο λόγος λοιπόν που την ξαναφέρνω στο προσκήνιο είναι μια "γεωμετρική" συνομιλία που είχα με τον κ. Λουρίδα και μ' έκανε να θυμηθώ τη συγκεκριμένη άσκηση.

Απολαύστε τη και μη φοβηθείτε να ασχοληθείτε μαζί της. Περιμένω τις σκέψεις σας.

[S.E.Louridas]

Ένα μυστικό (που δυστυχώς δεν έχουμε το θάρρος να το λέμε) για κάποιους από εμάς που πήραμε χαμπάρι ότι είχαμε το δώρο από την τύχη να συνεργαστούμε με αυτά τα Mεγάλα Μαθηματικά Ταλέντα Κορυφής όπως ο Νίκος Ράπανος είναι ότι τελικά πρώτα εμείς διδαχτήκαμε - πολλαπλά.

Σωτήρης Ε. Λουρίδας

[Nick Rapanos]

κ. Λουρίδα σας ευχαριστώ πολύ για τα καλά σας λόγια, αλλά όταν ανεβάσω τη λύση που είχατε κάνει σε αυτή την άσκηση πριν απο μερικά χρόνια νομίζω πως θα είναι σαφές το ποιός διδάσκει και ποιός διδάσκεται...

[Nick Rapanos]

Επειδή έχει μέινει κάμποσο καιρό αναπάντητη και ξέρω πως κάποιοι ασχοληθήκατε με την άσκηση, νομίζω πως είναι ώρα να αναρτήσω τη λύση. Επισυνάπτω το αρθράκι που είχα γράψει τότε. Δεν άλλαξα τίποτα για ιστορικούς λόγους.

[MAnTH05]

Μία εναλλακτική απόδειξη ότι η εφάπτεται σε σταθερό κύκλο που βασίζεται στις 2 προηγούμενες.

Θεωρούμε έλλειψη με εστίες τα , που διέρχεται από το . Έστω .
Ισχύει και άρα από ανακλαστική ιδιότητα η εφάπτεται στην έλλειψη. Αν η τέμνει τον περίκυκλο του στα , τότε από την 1η λύση άρα το τετράπλευρο είναι ισοσκελές τραπέζιο άρα . Παρόμοια το είναι ισοσκελές τραπέζιο αφού . Άρα . Άρα . Από τη 2η λύση ισχύει . Έτσι άρα το ανήκει στην έλλειψη. Παρατηρούμε ότι άρα η η διχοτομεί την . Οι εφαπτομένες της έλλειψης στα ,
και οι διχοτόμοι των και συντρέχουν (από την ανακλαστική ιδιότητα). Άρα η εφάπτεται στην έλλειψη, άρα είναι εξωτερική διχοτόμος της . Έτσι το είναι το -παράκεντρο του και το -παράκεντρο του και το ζητούμενο έπεται.

Γεωμετρία.png (252.65 KiB) Προβλήθηκε 1195 φορές

[gbaloglou]

Μια άσκηση με ιστορία ... αφού, όπως φανερώνει το συνημμένο του Νίκου Ράπανου (#6), κατασκευάστηκε το 2007 ... σε συνεργασία με τον τότε άγνωστο στους πολλούς εικοσάχρονο Στέφανο Αρετάκη!

[Nick Rapanos]

Σας ευχαριστώ πολύ για την όμορφη λύση. Θα τη στείλω και στον Στέφανο να χαρεί.

[MAnTH05]

Εγώ σας ευχαριστώ και χαίρομαι που τη βρήκατε ενδιαφέρουσα! Είμαι μαθητής και η γνώμη σας με τιμά! Να είστε καλά.