Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, socrates, silouan, rek2
-
- Δημοσιεύσεις: 412
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 01, 2010 2:07 pm
Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Από IMO Shortlist 2009,μια υπέροχη κατά τη γνώμη μου άσκηση:
'Eστω εγγράψιμο τετράπλευρο,όχι τραπέζιο και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων και .Οι ευθείες
και τέμνονται στο . Tα μέσα των και είναι τα σημεία και αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι η εφάπτεται στο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου του τριγώνου .
Φιλικά,
Νίκος
'Eστω εγγράψιμο τετράπλευρο,όχι τραπέζιο και έστω το σημείο τομής των διαγωνίων και .Οι ευθείες
και τέμνονται στο . Tα μέσα των και είναι τα σημεία και αντίστοιχα.
Να δειχθεί ότι η εφάπτεται στο του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου του τριγώνου .
Φιλικά,
Νίκος
Νίκος Αθανασίου
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
Μεταδιδακτορικός ερευνητής, τμήμα μαθηματικών- Πανεπιστήμιο Κρήτης
- Σεραφείμ
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 1872
- Εγγραφή: Τετ Μάιος 20, 2009 9:14 am
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη - Γιάννενα
Re: Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Καταπληκτικό θέμα
Λήμμα 1 Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι πλευρές τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές τέμνονται στο σημείο και οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο . Τότε το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .
Το λήμμα αυτό κρύβει πολύ μεγάλο πλούτο υφής και το θεωρώ μεγάλης σπουδαιότητας. Υποθέτω πως θα είναι κάποιο θεώρημα. Δεν το βρήκα όμως κάπου (δεν διεκδικώ βέβαια σκορ διερεύνησης). Το αποδεικνύω στο τέλος, επί του παρόντος θα χρησιμοποιηθεί.
Λήμμα 2
Σε τετράπλευρο , εγγεγραμμένο σε κύκλο , οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές στο σημείο , οι πλευρές στο σημείο και έστω τα μέσα των πλευρών . Αν η τέμνει την στο σημείο , τότε .Απόδειξη.
Από λήμμα 1 έχουμε ότι το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου . Αν το σημείο τομής των τότε . Επίσης , επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά σε κύκλο διαμέτρου (λόγω των ορθών γωνιών).
Οπότε θα έχουμε
Στο θέμα μας. Αρκεί να αποδείξουμε ότι . Τότε προκύπτει ότι η είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (λόγω γωνίας χορδής και εφαπτομένης, ίσης με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη).
Από λήμμα 2 έχουμε ότι , τότε , επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια ( ).
Τότε
Τα τρίγωνα είναι όμοια (προφανώς) και οι είναι διάμεσοί τους, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε
Αφαιρώντας τις προκύπτει ότι και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Απόδειξη του αρχικόύ λήμματος
Λήμμα 1
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι πλευρές τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές τέμνονται στο σημείο και οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο . Τότε το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .Απόδειξη.
Φέρουμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων οι οποίοι τέμνονται (εκτός του σημείου ) έστω στο σημείο . Η είναι ριζικός άξονας των , η είναι ριζικός άξονας των και η των , άρα συντρέχουν, επομένως η διέρχεται από το σημείο .
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμμα (από κατασκευή). «Παίζοντας» με τις γωνίες τους έχουμε: εγγράψιμο, εγγράψιμο, διχοτόμος της , εγγράψιμο, διχοτόμος της , εγγράψιμο.
Δηλαδή βρέθηκε ότι τα είναι εγγράψιμμα.
Επίσης ριζικός άξονας των κύκλων των περιγεγραμμένων των τετραπλεύρων , ριζικός άξονας των κύκλων και του περιγεγραμμένου στο τετράπλευρο και ριζικός άξονας των κύκλων και του περιγεγραμμένου στο τετράπλευρο , άρα συντρέχουν, επομένως η διέρχεται από το .
Έστω , η διχοτόμος της . Τότε . Επομένως .
Όμοια βρίσκουμε ότι , επομένως το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .
Εξακολουθώ να πιστεύω πως το λήμμα 1 είναι κάποιο (άγνωστο σε μένα) θεώρημα.
Λήμμα 1 Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι πλευρές τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές τέμνονται στο σημείο και οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο . Τότε το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .
Το λήμμα αυτό κρύβει πολύ μεγάλο πλούτο υφής και το θεωρώ μεγάλης σπουδαιότητας. Υποθέτω πως θα είναι κάποιο θεώρημα. Δεν το βρήκα όμως κάπου (δεν διεκδικώ βέβαια σκορ διερεύνησης). Το αποδεικνύω στο τέλος, επί του παρόντος θα χρησιμοποιηθεί.
Λήμμα 2
Σε τετράπλευρο , εγγεγραμμένο σε κύκλο , οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές στο σημείο , οι πλευρές στο σημείο και έστω τα μέσα των πλευρών . Αν η τέμνει την στο σημείο , τότε .Απόδειξη.
Από λήμμα 1 έχουμε ότι το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου . Αν το σημείο τομής των τότε . Επίσης , επομένως τα σημεία είναι ομοκυκλικά σε κύκλο διαμέτρου (λόγω των ορθών γωνιών).
Οπότε θα έχουμε
Στο θέμα μας. Αρκεί να αποδείξουμε ότι . Τότε προκύπτει ότι η είναι εφαπτομένη του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου (λόγω γωνίας χορδής και εφαπτομένης, ίσης με την αντίστοιχη εγγεγραμμένη).
Από λήμμα 2 έχουμε ότι , τότε , επομένως τα τρίγωνα είναι όμοια ( ).
Τότε
Τα τρίγωνα είναι όμοια (προφανώς) και οι είναι διάμεσοί τους, άρα τα τρίγωνα είναι όμοια, οπότε
Αφαιρώντας τις προκύπτει ότι και η απόδειξη ολοκληρώθηκε.
Απόδειξη του αρχικόύ λήμματος
Λήμμα 1
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι πλευρές τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές τέμνονται στο σημείο και οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο . Τότε το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .Απόδειξη.
Φέρουμε τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων οι οποίοι τέμνονται (εκτός του σημείου ) έστω στο σημείο . Η είναι ριζικός άξονας των , η είναι ριζικός άξονας των και η των , άρα συντρέχουν, επομένως η διέρχεται από το σημείο .
Τα τετράπλευρα είναι εγγράψιμμα (από κατασκευή). «Παίζοντας» με τις γωνίες τους έχουμε: εγγράψιμο, εγγράψιμο, διχοτόμος της , εγγράψιμο, διχοτόμος της , εγγράψιμο.
Δηλαδή βρέθηκε ότι τα είναι εγγράψιμμα.
Επίσης ριζικός άξονας των κύκλων των περιγεγραμμένων των τετραπλεύρων , ριζικός άξονας των κύκλων και του περιγεγραμμένου στο τετράπλευρο και ριζικός άξονας των κύκλων και του περιγεγραμμένου στο τετράπλευρο , άρα συντρέχουν, επομένως η διέρχεται από το .
Έστω , η διχοτόμος της . Τότε . Επομένως .
Όμοια βρίσκουμε ότι , επομένως το σημείο είναι ορθόκεντρο του τριγώνου .
Εξακολουθώ να πιστεύω πως το λήμμα 1 είναι κάποιο (άγνωστο σε μένα) θεώρημα.
Σεραφείμ Τσιπέλης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 5561
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 2:16 pm
- Τοποθεσία: Χαλκίδα - Καρδίτσα
Re: Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Οι πολικές σε αυτό το θέμα είναι μια καλή τακτική, που είναι μια εναλλακτική αντιμετώπιση στην εξαιρετική και αυθεντική δουλειά του Σεραφείμ :Σεραφείμ έγραψε:..............................Απόδειξη του αρχικόύ λήμματος
Λήμμα 1
Τετράπλευρο είναι εγγεγραμμένο σε κύκλο . Οι πλευρές τέμνονται στο σημείο , οι πλευρές τέμνονται στο σημείο και οι διαγώνιοι τέμνονται στο σημείο . Τότε το είναι ορθόκεντρο του τριγώνου
H πολική του Η είναι η ΖΕ και έτσι η ΖΕ είναι κάθετη στην ΗΟ.Ηπολική του Ζ είναι η ΗΕ και έτσι η ΗΕ είναι κάθετη στην ΟΖ.Αυτά προκύπτουν όλα από το θεώρημα του La Hire . Άρα η πολική του Ε είναι η ΖΗ , οπότε από τον ορισμό σχεδόν της πολικής η ΗΖ είναι κάθετη στην ΟΕ.Το τελευταίο βήμα είναι περιττό, αλλά το αναφέρω για να φανεί πώς λειτουργεί η πολική .
Μπάμπης
Re: Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Όντως ωραίο θέμα αλλά κάτι οι πολικές κάτι ο Gauss με την ευθεία του το καθαρίζουν γρήγορα...
Ρίξτε αν θέλετε δύο ματιές
Εδώ και εδώ.Στο δεύτερο link υπάρχουν και όλα τα προβλημα της shortlist 2009 με τις λύσεις τους.
Φιλικά
Ρίξτε αν θέλετε δύο ματιές
Εδώ και εδώ.Στο δεύτερο link υπάρχουν και όλα τα προβλημα της shortlist 2009 με τις λύσεις τους.
Φιλικά
Στραγάλης Χρήστος
Re: Δύσκολη (;) Γεωμετρία
Χρόνια πολλά
Τις παραπομπές δεν τις γνώριζα γιατί τότε δεν ήξερα την ύπαρξη του .
Δίδω μια λύση και θα προσπαθήσω με πιο στοιχειώδη μέσα
Γράφω τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων που τέμνονται ακόμα στο . Ας είναι η τομή των ευθειών .
Επειδή .
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ( σχέση ) ότι τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των .
Συνεπώς η κοινή χορδή διέρχεται από το και προφανώς είναι ο φορέας του τρίτου ύψους του τριγώνου .
Θα είναι έτσι , αλλά και άρα οπότε το είναι ορθόκεντρο και του τριγώνου .
Τις παραπομπές δεν τις γνώριζα γιατί τότε δεν ήξερα την ύπαρξη του .
Δίδω μια λύση και θα προσπαθήσω με πιο στοιχειώδη μέσα
Γράφω τους περιγεγραμμένους κύκλους των τριγώνων που τέμνονται ακόμα στο . Ας είναι η τομή των ευθειών .
Επειδή .
Η τελευταία μας εξασφαλίζει ( σχέση ) ότι τα σημεία είναι αρμονικά συζυγή των .
Συνεπώς η κοινή χορδή διέρχεται από το και προφανώς είναι ο φορέας του τρίτου ύψους του τριγώνου .
Θα είναι έτσι , αλλά και άρα οπότε το είναι ορθόκεντρο και του τριγώνου .
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 4 επισκέπτες