Γεωμετρικό Θέμα.

S.E.Louridas · #1

Δίνεται κύκλος C και εσωτερικό του σημείο Δ. Έστω τυχούσα ευθεία διερχόμενη από το Δ που τέμνει τον κύκλο στα σημεία Β, Γ. Ονομάζουμε Ε, Ζ τις προβολές του Δ στις εφαπτόμενες του κύκλου στα σημεία Γ, Β αντίστοιχα.

Α) Να αποδειχθεί ότι το άθροισμα
$\frac{1} {{\Delta {\rm E}}} + \frac{1} {{\Delta {\rm Z}}},$ είναι σταθερό,

Β) Να βρεθούν οι γ. τόποι α) του μέσου της χορδής ΒΓ, β) του σημείου τομής των εφαπτόμενων του κύκλου στα σημεία Β και Γ.

S.E.Louridas

#2

1. Είναι: τρίγ(ΔΒΖ) όμοιο με τριγ(ΟΜΒ) και τριγ(ΔΕΓ) όμοιο με τριγ(ΟΜΓ) (συνημμένο αρχείο). Άρα:
$\frac{\Delta B}{\Delta Z}=\frac{OB}{BM}$ και $\frac{\Delta \Gamma }{\Delta E}=\frac{O\Gamma }{\Gamma M}$
Συνεπώς: $\frac{1}{\left(\Delta Z \right)}=\frac{OB}{\left(\Delta B \right)\left(M\Gamma \right)}$ και $\frac{1}{\Delta E}=\frac{O\Gamma }{\left(\Delta \Gamma \right)\left(M\Gamma \right)}$
Αθροίζοντας τις δύο τελευταίες έχουμε: $\frac{1}{\Delta Z}+\frac{1}{\Delta E}=\frac{R}{M\Gamma }\frac{\Delta B+\Delta \Gamma }{\left(\Delta B \right)\left(\Delta \Gamma \right)}=\frac{2R}{R^2-d^2}=ct$
2. Ο γ.τ. του σημείου Μ είναι κύκλος με διάμετρο το σταθερό τμήμα ΟΔ. Για το γ.τ του σημείου Κ αν φέρουμε την ΚΛ κάθετη στην προέκταση της ΟΔ τότε τα ορθογώνια τρίγωνα ΟΚΛ και ΟΔΜ είναι όμοια και συνεπώς:
$\frac{O\Lambda }{OK}=\frac{OM}{O\Delta }$ που σημαίνει: $O\Lambda =\frac{\left(OK \right)\left(OM \right)}{O\Delta }=\frac{\left(O\Gamma \right)^2}{O\Delta }=\frac{R^2}{d}=ct$ .
Άρα ο γ.τ. του σημείου Κ είνα η ευθεία η κάθετη στην ΟΔ στο σταθερό σημείο της Λ.

γ.τόποι.fig: (4.65 KiB) Μεταφορτώθηκε 38 φορές

S.E.Louridas · #3

Οταν ο Κώστας λύνει, είναι σαν να ακούς Μουσική.
Ετσι απολαμβάνω την λιτή όμορφη λύση χωρίς να χρειάζεται να προσθέσω τίποτα.

S.E.Louridas

#4

Σωτήρη γειά σου. Να είσαι καλά. Κάνεις πολύ όμορφη δουλειά και με παιδαγωγικό τρόπο. Τα λέμε....

#5

KDORTSI έγραψε:2. Ο γ.τ. του σημείου είναι κύκλος με διάμετρο το σταθερό τμήμα . Για το γ.τ του σημείου αν φέρουμε την κάθετη στην προέκταση της τότε τα ορθογώνια τρίγωνα $\triangle LKO$ και $\triangle MDO$ είναι όμοια και συνεπώς:
$\displaystyle\frac{OL}{OK}=\frac{OM}{OD}$ που σημαίνει: $\displaystyle OL =\frac{(OK)\cdot (OM)}{OD}=\frac{(OC)^{2}}{OD}=\frac{R^{2}}{OD} = ct$ .
Άρα ο γ.τ. του σημείου είνα η ευθεία η κάθετη στην στο σταθερό σημείο της .