Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Έστω φυσικός . Να δειχθεί ότι αν είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε
,
τότε ισχύει
.
Φιλικά,
Αχιλλέας
,
τότε ισχύει
.
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Για το κάτω φράγμα:
Eίναι:
Άρα:
Eίναι:
Άρα:
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Πέμ Ιουν 10, 2010 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Το 1ο σωστο, το 2ο λαθος. Πρωτου ποσταρεις μια λυση, σκεψου πρωτα μηπως αυτα που γραφεις δεν εχουν νοημα.kwstas12345 έγραψε:Για το κάτω φράγμα:
Eίναι:
Άρα:
Το άνω φράγμα:
Δειχνεις το ενα φραγμα εφαρμοζοντας καπου μια αυξουσα συναρτηση της μορφης , και μετα για να δειξεις το αλλο αντιστρεφεις την ανισοτητα και εφαρμοζεις την , οποτε στην ουσια κανεις οτι ακριβως εκανες και στο κατω φραγμα για να δειξεις το ανω, πραγμα που δεν εχει νοημα, και φτανεις εσφαλμενα στο ζητουμενο ανω φραγμα αγνοοντας το οτι η θα ειναι προφανως φθινουσα!!!
Για να καταλαβεις δηλαδη: εχεις δειξει οτι ο αριθμιτικος μεσος Α, ειναι μικροτερος η ισος και ταυτοχρονα μεγαλυτερος η ισος απο , οποτε για οποιαδηποτε επιλογη των n μεταβλητων (οχι απαραιτητα φυσικων, διοτι δεν χρησημοποιεις πουθενα οτι οι αριθμοι ειναι φυσικοι) που ικανοποιουν την συνθηκη!!!
Επισης οπως σου ειπα και χτες στο προβλημα με την ελλειψη, οταν βλεπεις οτι φτανεις σε λυση χωρις να χρησημοποιεις βασικα δεδομενα (χτες την περιγεγραψημοτητα του τετραπλευρου και σημερα την ακεραιοτητα των θετικων αριθμων), πρεπει να υποψιαζεσαι οτι κατι δεν παει καλα με τη λυση
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Ευχαριστώ για τις ως τώρα απαντήσεις.
Απλά να επισημάνω ότι το ενδιαφέρον (και πιο δύσκολο) είναι το άνω φράγμα.
Το κάτω είναι πολύ απλό, σχεδόν τετριμμένο: στο νου μου έχω το επιχείρημα του GMANS, όπου εννοείται ότι με φυσικούς εννούμε μεγαλύτερους ή ίσους από το 1. Να με συγχωρείτε εαν αυτό σας μπέρδεψε.
Δηλαδή,
με την ισότητα να μην ισχύει αφού .
Το κάτω φράγμα έχει άλλο ενδιαφέρον, υπό την έννοια ότι είναι το *βέλτιστο* κάτω φράγμα, αλλά κάτι τέτοιο δε ζητείται.
Το πρόβλημα παραμένει ανοικτό...
Φιλικά,
Αχιλλέας
Απλά να επισημάνω ότι το ενδιαφέρον (και πιο δύσκολο) είναι το άνω φράγμα.
Το κάτω είναι πολύ απλό, σχεδόν τετριμμένο: στο νου μου έχω το επιχείρημα του GMANS, όπου εννοείται ότι με φυσικούς εννούμε μεγαλύτερους ή ίσους από το 1. Να με συγχωρείτε εαν αυτό σας μπέρδεψε.
Δηλαδή,
με την ισότητα να μην ισχύει αφού .
Το κάτω φράγμα έχει άλλο ενδιαφέρον, υπό την έννοια ότι είναι το *βέλτιστο* κάτω φράγμα, αλλά κάτι τέτοιο δε ζητείται.
Το πρόβλημα παραμένει ανοικτό...
Φιλικά,
Αχιλλέας
-
- Δημοσιεύσεις: 1055
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Παρ Ιουν 11, 2010 4:07 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Όχι, μόνο.kwstas12345 έγραψε:Μία λύση που σκέφτηκα (δεν ξέρω αν είναι σωστή):
H ισότητα ισχύει όταν όλοι οι αριθμοί ισούνται με 2.
Aπό την ανισότητα των δυνάμεων:
Όμοια:
Aρκεί ν.δ.ο:
που ισχύει...
Δες και την -άδα .
Κάπου, λοιπόν, "χάνει" η παραπάνω προσπάθεια...
Αν , και , τότε
, έτσι δεν είναι;
Νομίζω, μόλις είδα και που βρίσκεται το λάθος....η διακρίνουσα δε χρειάζεται να είναι αρνητική.
Γιατί να είναι;
Με πρόλαβε ο Νίκος για τη διακρίνουσα...
Φιλικά,
Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Παρ Ιουν 11, 2010 3:20 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Το να παρεις διακρινουσα σε τριωνυμο που ο συντελεστης του x ειναι 0 δεν εχει νοημα, και αυτα που γραφεις παραπανω δεν ισχυουν διοτι για να ειναι ενα αθροισμα θετικο δεν ειναι αναγκη και οι δυο προσθετετοι να ειναι θετικοι, και η διακρινουσα που παιρνεις δεν ειναι αναγκη να ειναι αρνητικη διοτι ενα τριωνυμο με θετικο συντελεστη μπορει να εχει θετικη διακρινουσα και να ειναι θετικο αν ο x βρησκεται παντα εξω απο το διαστημα που οριζουν οι ριζες.......kwstas12345 έγραψε:
Επισης παλι δεν χρησημοποιεις πουθενα το οτι οι αριθμοι ειναι φυσικοι.
Στο εχουμε πει πολλες φορες νομιζω, πρωτου γραψεις μια λυση να σκευτεσε πρωτα μηπως αυτα που θες να γραψεις δεν εχουν νοημα.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Παρ Ιουν 11, 2010 3:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...
Φιλικά,
Αχιλλέας
Φιλικά,
Αχιλλέας
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Let's do it !! Λοιπόν ας υποθέσουμε λόγω συμμετρίας ότι .achilleas έγραψε:Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...
Προφανώς δε γίνεται n-1 από αυτούς να είναι μονάδες. Υποθέτουμε ότι από αυτούς είναι >1 , έστω οι
Επομένως η συνθήκη γράφεται
και μας μένει να αποδείξουμε ότι
. Θέτουμε κτλ. Τότε
η συνθήκη γράφεται και μας μένει νδο
Ανοίγοντας το δεξί μέλος και χρησιμοποιώντας ότι παίρνουμε το ζητούμενο για
(νομίζω!! δεν είμαι πολύ σίγουρος για τις πράξεις, αλλά αυτό είναι το γενικό concept!)
Αν τώρα k=2 νομίζω ότι είναι πολύ εύκολο.
Όπου από εκεί θα μας βγει και η ισότητα έχω την εντύπωση δηλαδή η ν-άδα
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Πολύ σωστά! Αυτή είναι η ιδέα!smar έγραψε:Let's do it !! Λοιπόν ας υποθέσουμε λόγω συμμετρίας ότι .achilleas έγραψε:Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...
Προφανώς δε γίνεται n-1 από αυτούς να είναι μονάδες. Υποθέτουμε ότι από αυτούς είναι >1 , έστω οι
Επομένως η συνθήκη γράφεται
και μας μένει να αποδείξουμε ότι
. Θέτουμε κτλ. Τότε
η συνθήκη γράφεται και μας μένει νδο
Ανοίγοντας το δεξί μέλος και χρησιμοποιώντας ότι παίρνουμε το ζητούμενο για
(νομίζω!! δεν είμαι πολύ σίγουρος για τις πράξεις, αλλά αυτό είναι το γενικό concept!)
Αν τώρα k=2 νομίζω ότι είναι πολύ εύκολο.
Όπου από εκεί θα μας βγει και η ισότητα έχω την εντύπωση δηλαδή η ν-άδα
Την λύση του προβλήματος την είχα διαβάσει παλαιότερα σε ένα όμορφο άρθρο το οποίο θα ανεβάσω αφού απαντηθεί και το παρακάτω (πιο εύκολο) ερώτημα
Αν άρτιος και φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση
,
δείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με 4.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Αν όλοι ήταν περιττοί τότε το δεξί μέλος είναι περιττός ενώ το αριστερό άρτιος (αφού είναι άθροισμα άρτιου πλήθους περιττών προσθετέων), άτοπο.nkatsipis έγραψε: Την λύση του προβλήματος την είχα διαβάσει παλαιότερα σε ένα όμορφο άρθρο το οποίο θα ανεβάσω αφού απαντηθεί και το παρακάτω (πιο εύκολο) ερώτημα
Αν άρτιος και φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση
,
δείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με 4.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
Αν μόνο ένας ήταν άρτιος τότε το δεξί μέλος είναι αρτιος ενώ το αριστερό μέλος περιττός (αφού το άθροισμα άρτιου πλήθους αριθμών εκ των οποίων όλοι πλην ενός αρτίου είναι περιττοί είναι περιττός), άτοπο.
Άρα τουλάχιστον δύο είναι άρτιοι οπότε το γινόμενο διαιρείται από το συνεπώς και το διαιρείται από το .
Θέλουμε το άρθρο!! (ετοίμαζε και τα μπαγκάζια σου...)
Αλέξανδρος
Αλέξανδρος Συγκελάκης
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Κομψό !! Λοιπόν αν όλοι οι αριθμοί ήταν περιττοί τότε το πρώτο μέλος θα ήταν άρτιος, ενώ το δεύτερο περιττός. Αν τώρα υπάρχει ακριβώς ένας άρτιος τότε το πρώτο μέλος είναι περιττός και το δεύτερο άρτιος. Άρα υπάρχουν δύο άρτιοι και πάνω άρα . Νομίζω ότι παρόμοια αποτελέσματα μπορούμε να βρούμε και ότανnkatsipis έγραψε: Αν άρτιος και φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση
,
δείξτε ότι ο αριθμός διαιρείται με 4.
Edit: Αλέξανδρε ή πληκτρολογείς πιο γρήγορα ή έχω προσβαση στο μυαλό και τον υπολογιστή σου
Σιλουανός Μπραζιτίκος
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Σιλουανέ εγώ έχω πρόσβαση στον υπολογιστή του Νίκου!
Το χειρότερο θα ήταν να είχαμε λύση πριν το πρόβλημα!!
Αλέξανδρος
Υ.Γ. Περιμένω το άρθρο!
Το χειρότερο θα ήταν να είχαμε λύση πριν το πρόβλημα!!
Αλέξανδρος
Υ.Γ. Περιμένω το άρθρο!
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- nkatsipis
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 778
- Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
- Τοποθεσία: Σαντορίνη
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Ταχύτατοι...
Λοιπόν, εδώ και το άρθρο, το οποίο περιέχει και άλλα όμορφα πράγματα σχετικά με το αρχικό πρόβλημα.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
Λοιπόν, εδώ και το άρθρο, το οποίο περιέχει και άλλα όμορφα πράγματα σχετικά με το αρχικό πρόβλημα.
Φιλικά,
Νίκος Κατσίπης
- Συνημμένα
-
- Άθροισμα φυσικών=Γινόμενο.pdf
- (92.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 119 φορές
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν , , και το πληθος των με, . Νδο
Αν , , και το πληθος των με, . Νδο
Κολλιοπουλος Νικος.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Μεταδιδακτορικός ερευνητής.
Ερευνητικά ενδιαφέροντα: Στοχαστικές ΜΔΕ, ασυμπτωτική ανάλυση στοχαστικών συστημάτων, εφαρμογές αυτών στα χρηματοοικονομικά και στη διαχείριση ρίσκων.
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Η παραπάνω άσκηση του Νίκου έχει ξεχαστεί οπότε την επαναφέρω.Nick1990 έγραψε:Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν , , και το πληθος των με, . Νδο
Φιλικά,
Αχιλλέας
- cretanman
- Διαχειριστής
- Δημοσιεύσεις: 4097
- Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
- Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
άλλη μία επαναφορά μετά από 8 και πλέον χρόνια!achilleas έγραψε: ↑Κυρ Ιούλ 18, 2010 8:25 pmΗ παραπάνω άσκηση του Νίκου έχει ξεχαστεί οπότε την επαναφέρω.Nick1990 έγραψε:Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν , , και το πληθος των με, . Νδο
Φιλικά,
Αχιλλέας
Αλέξανδρος Συγκελάκης
- Demetres
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 8989
- Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
- Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
- Επικοινωνία:
Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών
Θα δείξω ότι το οποίο (για ) είναι καλύτερο φράγμα.
Έστω και έστω επίσης ότι για . Τότε
Στην τελευταία ανισότητα παρατηρήσαμε ότι στο ανάπτυγμα του υπάρχουν όροι, όλοι μεγαλύτεροι ή ίσου του . Κρατήσαμε τους και για τους άλλους τους βάλαμε ίσους με .
Άρα
και παίρνοντας λογαρίθμους προκύπτει ο ισχυρισμός.
Έστω και έστω επίσης ότι για . Τότε
Στην τελευταία ανισότητα παρατηρήσαμε ότι στο ανάπτυγμα του υπάρχουν όροι, όλοι μεγαλύτεροι ή ίσου του . Κρατήσαμε τους και για τους άλλους τους βάλαμε ίσους με .
Άρα
και παίρνοντας λογαρίθμους προκύπτει ο ισχυρισμός.
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: MSN [Bot] και 1 επισκέπτης