Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιουν 10, 2010 4:23 pm

Έστω φυσικός n\geq 2. Να δειχθεί ότι αν x_1,x_2,\cdots,x_n είναι φυσικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε

x_1+x_2+\cdots+x_n=x_1x_2\cdots x_n,

τότε ισχύει

\displaystyle{1<\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\leq 2}.

Φιλικά,

Αχιλλέας


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Πέμ Ιουν 10, 2010 5:07 pm

Για το κάτω φράγμα:
Eίναι:\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}...x_{n}\geq n\left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow \left(x_{1}x_{2}...x_{n} \right)^{\frac{n-1}{n}}\geq n\Leftrightarrow \left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\geq n^{\frac{1}{n-1}}.

Άρα:\frac{\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}}{n}\geq n\frac{\left(x_{1} x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}}{n}\geq n^{\frac{1}{n-1}}>n^{0}=1,n\geq 2
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Πέμ Ιουν 10, 2010 6:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 644
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Πέμ Ιουν 10, 2010 6:47 pm

kwstas12345 έγραψε:Για το κάτω φράγμα:
Eίναι:\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}\geq n\sqrt[n]{x_{1}x_{2}...x_{n}}\Leftrightarrow x_{1}x_{2}...x_{n}\geq n\left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow \left(x_{1}x_{2}...x_{n} \right)^{\frac{n-1}{n}}\geq n\Leftrightarrow \left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\geq n^{\frac{1}{n-1}}.

Άρα:\frac{\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}}{n}\geq n\frac{\left(x_{1} x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}}{n}\geq n^{\frac{1}{n-1}}>n^{0}=1,n\geq 2

Το άνω φράγμα:x_{1}x_{2}...x_{n}\geq n\left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1}{n}}\Leftrightarrow 1\geq n\left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1-n}{n}}\Leftrightarrow n^{-1}\geq \left( x_{1}x_{2}...x_{n}\right)^{\frac{1-n}{n}}\Leftrightarrow \left( n^{-1}\right)^{\frac{n}{1-n}}\geq \prod_{j=1}^{n}{x_{j}}\Leftrightarrow n^{\frac{n}{n-1}}\geq \prod_{j=1}^{n}{x_{j}}

\frac{\sum_{j=1}^{n}{x_{j}}}{n} =\frac{\prod_{j=1}^{n}{x_{j}}}{n}\leq \frac{n^{\frac{n}{n-1}}}{n}=n^{\frac{n}{n-1}-\frac{n-1}{n-1}}=n^{\frac{1}{n-1}}<2
Το 1ο σωστο, το 2ο λαθος. Πρωτου ποσταρεις μια λυση, σκεψου πρωτα μηπως αυτα που γραφεις δεν εχουν νοημα.
Δειχνεις το ενα φραγμα εφαρμοζοντας καπου μια αυξουσα συναρτηση της μορφης f = x^a, και μετα για να δειξεις το αλλο αντιστρεφεις την ανισοτητα και εφαρμοζεις την f = x^{-a}, οποτε στην ουσια κανεις οτι ακριβως εκανες και στο κατω φραγμα για να δειξεις το ανω, πραγμα που δεν εχει νοημα, και φτανεις εσφαλμενα στο ζητουμενο ανω φραγμα αγνοοντας το οτι η f = x^{-a} θα ειναι προφανως φθινουσα!!!

Για να καταλαβεις δηλαδη: εχεις δειξει οτι ο αριθμιτικος μεσος Α, ειναι μικροτερος η ισος και ταυτοχρονα μεγαλυτερος η ισος απο n^{\frac{1}{n-1}}, οποτε A = n^{\frac{1}{n-1}} για οποιαδηποτε επιλογη των n μεταβλητων (οχι απαραιτητα φυσικων, διοτι δεν χρησημοποιεις πουθενα οτι οι αριθμοι ειναι φυσικοι) που ικανοποιουν την συνθηκη!!!

Επισης οπως σου ειπα και χτες στο προβλημα με την ελλειψη, οταν βλεπεις οτι φτανεις σε λυση χωρις να χρησημοποιεις βασικα δεδομενα (χτες την περιγεγραψημοτητα του τετραπλευρου και σημερα την ακεραιοτητα των θετικων αριθμων), πρεπει να υποψιαζεσαι οτι κατι δεν παει καλα με τη λυση


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
GMANS
Δημοσιεύσεις: 502
Εγγραφή: Τετ Απρ 07, 2010 6:03 pm
Τοποθεσία: Αιγάλεω

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από GMANS » Πέμ Ιουν 10, 2010 11:30 pm

ΔΗΜΟΣΙΕΥΣΗ 7.pdf
(21.46 KiB) Μεταφορτώθηκε 43 φορές


Γ. Μανεάδης
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Πέμ Ιουν 10, 2010 11:46 pm

Ευχαριστώ για τις ως τώρα απαντήσεις.

Απλά να επισημάνω ότι το ενδιαφέρον (και πιο δύσκολο) είναι το άνω φράγμα.

Το κάτω είναι πολύ απλό, σχεδόν τετριμμένο: στο νου μου έχω το επιχείρημα του GMANS, όπου εννοείται ότι με φυσικούς εννούμε μεγαλύτερους ή ίσους από το 1. Να με συγχωρείτε εαν αυτό σας μπέρδεψε.

Δηλαδή,

x_1x_2\cdots x_n=x_1+x_2+\cdots +x_n\geq 1+1+\cdots +1=n με την ισότητα να μην ισχύει αφού n>1.

Το κάτω φράγμα έχει άλλο ενδιαφέρον, υπό την έννοια ότι είναι το *βέλτιστο* κάτω φράγμα, αλλά κάτι τέτοιο δε ζητείται.

Το πρόβλημα παραμένει ανοικτό...

Φιλικά,

Αχιλλέας


kwstas12345
Δημοσιεύσεις: 1055
Εγγραφή: Δευ Ιαν 11, 2010 2:12 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#6

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από kwstas12345 » Παρ Ιουν 11, 2010 2:05 pm

:wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash: :wallbash:
τελευταία επεξεργασία από kwstas12345 σε Παρ Ιουν 11, 2010 4:07 pm, έχει επεξεργασθεί 4 φορές συνολικά.


achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#7

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιουν 11, 2010 2:16 pm

kwstas12345 έγραψε:Μία λύση που σκέφτηκα (δεν ξέρω αν είναι σωστή):
H ισότητα ισχύει όταν όλοι οι αριθμοί ισούνται με 2.
Aπό την ανισότητα των δυνάμεων:x_{1}\neq x_{2}\neq... \neq x_{n}, 
\frac{x_{1}+x_{2}+...+x_{n}}{n}>\sqrt{\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2}}{n}}\Leftrightarrow \sqrt{n\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2} \right)}>x_{1}+x_{2}+...+x_{n}=x_{1}x_{2}...x_{n}\Leftrightarrow nx_{1}^{2}+n\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2} \right)-x_{1}^{2}\left( x_{2}...x_{n}\right)^{2}> 0\Leftrightarrow x_{1}^{2}\left(n-\left( x_{2}...x_{n}\right)^{2} \right)+n(x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})>0\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow -4\left(n-\left( x_{2}...x_{n}\right)^{2})n\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2} \right)<0\Leftrightarrow \x_{2}.x_{3}...x_{n}<\sqrt{n}.

Όμοια:x_{2}.x_{3}...x_{n}<\sqrt{n}, x_{1}.x_{3}...x_{n}<\sqrt{n}...., x_{1}.x_{2}...x_{n-1}<\sqrt{n}\Leftrightarrow \left(x_{1}x_{2} ...x_{n}\right)^{n-1}<n^{\frac{n}{2}}\Leftrightarrow x_{1}x_{2} ...x_{n}<n^{\frac{n}{2\left(n-1 \right)}}

Aρκεί ν.δ.ο:n^{\frac{n}{2\left(n-1 \right)}}<2n\Leftrightarrow \frac{n}{2\left(n-1 \right)}lnn<ln2+lnn\Leftrightarrow ln2+lnn\left(1-  \frac{n}{2\left(n-1 \right)}\right)>0\Leftrightarrow ln2+lnn\left(\frac{n-2}{2\left(n-1 \right)} \right)>0,n\geq 2
που ισχύει...
Όχι, μόνο.

Δες και την k-άδα (k,2,1,1,1,\dots,1).

Κάπου, λοιπόν, "χάνει" η παραπάνω προσπάθεια...

Αν x_1=n, x_2=2 και x_3=x_4=...=x_n=1, τότε

x_1x_3x_4\cdots x_n=n>\sqrt{n}, έτσι δεν είναι;

Νομίζω, μόλις είδα και που βρίσκεται το λάθος....η διακρίνουσα δε χρειάζεται να είναι αρνητική.

Γιατί να είναι;

Με πρόλαβε ο Νίκος για τη διακρίνουσα...


Φιλικά,

Αχιλλέας
τελευταία επεξεργασία από achilleas σε Παρ Ιουν 11, 2010 3:20 pm, έχει επεξεργασθεί 3 φορές συνολικά.


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 644
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#8

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Παρ Ιουν 11, 2010 3:19 pm

kwstas12345 έγραψε:x_{1}^{2}\left(n-\left( x_{2}...x_{n}\right)^{2} \right)+n(x_{2}^{2}+...+x_{n}^{2})>0\Leftrightarrow \Delta <0\Leftrightarrow -4\left(n-\left( x_{2}...x_{n}\right)^{2})n\left(x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+...+x_{n}^{2} \right)<0\Leftrightarrow \x_{2}.x_{3}...x_{n}<\sqrt{n}.
προκύπτουν όμοια με παραπάνω τα παρακάτω γινόμενα...θεωρώντας τριώνυμο ώς προς χ2,χ3,...χν
Το να παρεις διακρινουσα σε τριωνυμο που ο συντελεστης του x ειναι 0 δεν εχει νοημα, και αυτα που γραφεις παραπανω δεν ισχυουν διοτι για να ειναι ενα αθροισμα θετικο δεν ειναι αναγκη και οι δυο προσθετετοι να ειναι θετικοι, και η διακρινουσα που παιρνεις δεν ειναι αναγκη να ειναι αρνητικη διοτι ενα τριωνυμο με θετικο συντελεστη μπορει να εχει θετικη διακρινουσα και να ειναι θετικο αν ο x βρησκεται παντα εξω απο το διαστημα που οριζουν οι ριζες.......
Επισης παλι δεν χρησημοποιεις πουθενα το οτι οι αριθμοι ειναι φυσικοι.
Στο εχουμε πει πολλες φορες νομιζω, πρωτου γραψεις μια λυση να σκευτεσε πρωτα μηπως αυτα που θες να γραψεις δεν εχουν νοημα.
τελευταία επεξεργασία από Nick1990 σε Παρ Ιουν 11, 2010 3:30 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#9

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Παρ Ιουν 11, 2010 3:22 pm

Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...

Φιλικά,

Αχιλλέας


silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1184
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#10

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιουν 11, 2010 4:28 pm

achilleas έγραψε:Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...
Let's do it !! Λοιπόν ας υποθέσουμε λόγω συμμετρίας ότι x_1\leq x_2\leq...\leq x_n.
Προφανώς δε γίνεται n-1 από αυτούς να είναι μονάδες. Υποθέτουμε ότι k από αυτούς είναι >1 , έστω οι
x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1} Επομένως η συνθήκη γράφεται

n-k+x_{n-k+1}+...+x_n=x_{n-k+1}+...+x_n και μας μένει να αποδείξουμε ότι

x_{n-k+1}+...+x_n-k\leq n. Θέτουμε x_{n-k+1}=a_{n-k+1}+1 κτλ. Τότε

η συνθήκη γράφεται n+a_{n-k+1}+...+a_n=(a_{n-k+1}+1)...(a_n+1) και μας μένει νδο

a_{n-k+1}+...+a_n\leq n=(a_{n-k+1}+1)...(a_n+1)-(a_{n-k+1}+...+a_n)

Ανοίγοντας το δεξί μέλος και χρησιμοποιώντας ότι a_j\geq 1 παίρνουμε το ζητούμενο για k\geq 3
(νομίζω!! δεν είμαι πολύ σίγουρος για τις πράξεις, αλλά αυτό είναι το γενικό concept!)
Αν τώρα k=2 νομίζω ότι είναι πολύ εύκολο.
Όπου από εκεί θα μας βγει και η ισότητα έχω την εντύπωση δηλαδή η ν-άδα (1,1,,,1,2,n)


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 754
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#11

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Παρ Ιουν 11, 2010 8:41 pm

smar έγραψε:
achilleas έγραψε:Πάντως έχουν γραφτεί πολλά, κι ακόμα δεν έχει αποδειχθεί σχεδόν τίποτα...
Let's do it !! Λοιπόν ας υποθέσουμε λόγω συμμετρίας ότι x_1\leq x_2\leq...\leq x_n.
Προφανώς δε γίνεται n-1 από αυτούς να είναι μονάδες. Υποθέτουμε ότι k από αυτούς είναι >1 , έστω οι
x_n,x_{n-1},...,x_{n-k+1} Επομένως η συνθήκη γράφεται

n-k+x_{n-k+1}+...+x_n=x_{n-k+1}+...+x_n και μας μένει να αποδείξουμε ότι

x_{n-k+1}+...+x_n-k\leq n. Θέτουμε x_{n-k+1}=a_{n-k+1}+1 κτλ. Τότε

η συνθήκη γράφεται n+a_{n-k+1}+...+a_n=(a_{n-k+1}+1)...(a_n+1) και μας μένει νδο

a_{n-k+1}+...+a_n\leq n=(a_{n-k+1}+1)...(a_n+1)-(a_{n-k+1}+...+a_n)

Ανοίγοντας το δεξί μέλος και χρησιμοποιώντας ότι a_j\geq 1 παίρνουμε το ζητούμενο για k\geq 3
(νομίζω!! δεν είμαι πολύ σίγουρος για τις πράξεις, αλλά αυτό είναι το γενικό concept!)
Αν τώρα k=2 νομίζω ότι είναι πολύ εύκολο.
Όπου από εκεί θα μας βγει και η ισότητα έχω την εντύπωση δηλαδή η ν-άδα (1,1,,,1,2,n)
Πολύ σωστά! Αυτή είναι η ιδέα!
Την λύση του προβλήματος την είχα διαβάσει παλαιότερα σε ένα όμορφο άρθρο το οποίο θα ανεβάσω αφού απαντηθεί και το παρακάτω (πιο εύκολο) ερώτημα

Αν n άρτιος και (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n},

δείξτε ότι ο αριθμός x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} διαιρείται με 4.


Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#12

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιουν 11, 2010 9:15 pm

nkatsipis έγραψε: Την λύση του προβλήματος την είχα διαβάσει παλαιότερα σε ένα όμορφο άρθρο το οποίο θα ανεβάσω αφού απαντηθεί και το παρακάτω (πιο εύκολο) ερώτημα

Αν n άρτιος και (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n},

δείξτε ότι ο αριθμός x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} διαιρείται με 4.


Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης
Αν όλοι ήταν περιττοί τότε το δεξί μέλος είναι περιττός ενώ το αριστερό άρτιος (αφού είναι άθροισμα άρτιου πλήθους περιττών προσθετέων), άτοπο.

Αν μόνο ένας ήταν άρτιος τότε το δεξί μέλος είναι αρτιος ενώ το αριστερό μέλος περιττός (αφού το άθροισμα άρτιου πλήθους αριθμών εκ των οποίων όλοι πλην ενός αρτίου είναι περιττοί είναι περιττός), άτοπο.

Άρα τουλάχιστον δύο είναι άρτιοι οπότε το γινόμενο x_1x_2\cdots x_n διαιρείται από το 4 συνεπώς και το x_1+x_2+\cdots +x_n διαιρείται από το 4.

Θέλουμε το άρθρο!! :D (ετοίμαζε και τα μπαγκάζια σου...)

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
silouan
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1184
Εγγραφή: Τρί Ιαν 27, 2009 10:52 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#13

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από silouan » Παρ Ιουν 11, 2010 9:19 pm

nkatsipis έγραψε: Αν n άρτιος και (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}) φυσικοί αριθμοί οι οποίοι ικανοποιούν την σχέση

x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}=x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n},

δείξτε ότι ο αριθμός x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n} διαιρείται με 4.
Κομψό !! Λοιπόν αν όλοι οι αριθμοί ήταν περιττοί τότε το πρώτο μέλος θα ήταν άρτιος, ενώ το δεύτερο περιττός. Αν τώρα υπάρχει ακριβώς ένας άρτιος τότε το πρώτο μέλος είναι περιττός και το δεύτερο άρτιος. Άρα υπάρχουν δύο άρτιοι και πάνω άρα 4|x_1...x_n=x_1+...+x_n. Νομίζω ότι παρόμοια αποτελέσματα μπορούμε να βρούμε και όταν n=2^k

Edit: Αλέξανδρε ή πληκτρολογείς πιο γρήγορα ή έχω προσβαση στο μυαλό και τον υπολογιστή σου :P


Σιλουανός Μπραζιτίκος
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#14

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Παρ Ιουν 11, 2010 9:36 pm

Σιλουανέ εγώ έχω πρόσβαση στον υπολογιστή του Νίκου!

Το χειρότερο θα ήταν να είχαμε λύση πριν το πρόβλημα!! :D

Αλέξανδρος

Υ.Γ. Περιμένω το άρθρο!


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
nkatsipis
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 754
Εγγραφή: Κυρ Δεκ 21, 2008 10:26 am
Τοποθεσία: Σαντορίνη
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#15

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από nkatsipis » Παρ Ιουν 11, 2010 10:03 pm

Ταχύτατοι... :coolspeak:

Λοιπόν, εδώ και το άρθρο, το οποίο περιέχει και άλλα όμορφα πράγματα σχετικά με το αρχικό πρόβλημα.

Φιλικά,

Νίκος Κατσίπης
Συνημμένα
Άθροισμα φυσικών=Γινόμενο.pdf
(92.54 KiB) Μεταφορτώθηκε 53 φορές


Άβαταρ μέλους
Nick1990
Δημοσιεύσεις: 644
Εγγραφή: Παρ Ιαν 23, 2009 3:15 pm
Τοποθεσία: Oxford, United Kingdom

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#16

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Nick1990 » Σάβ Ιουν 12, 2010 12:58 am

Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν x_1, x_2, ...., x_n \in N, n > 2, x_1 + x_2 + ... + x_n = x_1x_2...x_n, και k το πληθος των x_i με, x_i = 1. Νδο k \geq \frac{n}{2} - 1


Κολλιοπουλος Νικος -- Απόφοιτος ΣΕΜΦΕ - ΕΜΠ, Υποψήφιος διδάκτωρ στο πανεπιστήμιο της Οξφόρδης

https://www.maths.ox.ac.uk/people/nikolaos.kolliopoulos
achilleas
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2572
Εγγραφή: Τρί Σεπ 15, 2009 3:32 pm

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#17

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από achilleas » Κυρ Ιούλ 18, 2010 8:25 pm

Nick1990 έγραψε:Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν x_1, x_2, ...., x_n \in N, n > 2, x_1 + x_2 + ... + x_n = x_1x_2...x_n, και k το πληθος των x_i με, x_i = 1. Νδο k \geq \frac{n}{2} - 1
Η παραπάνω άσκηση του Νίκου έχει ξεχαστεί οπότε την επαναφέρω.

Φιλικά,

Αχιλλέας


Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3840
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#18

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Πέμ Δεκ 06, 2018 12:33 pm

achilleas έγραψε:
Κυρ Ιούλ 18, 2010 8:25 pm
Nick1990 έγραψε:Επισης ενω προσπαθουσα να βρω λυση στο αρχικο, βρηκα ενα αλλο πιο χαλαρο αποτελεσμα (αν φυσικα δεν εχω χασει κατι στις πραξεις):
Αν x_1, x_2, ...., x_n \in N, n > 2, x_1 + x_2 + ... + x_n = x_1x_2...x_n, και k το πληθος των x_i με, x_i = 1. Νδο k \geq \frac{n}{2} - 1
Η παραπάνω άσκηση του Νίκου έχει ξεχαστεί οπότε την επαναφέρω.

Φιλικά,

Αχιλλέας
άλλη μία επαναφορά μετά από 8 και πλέον χρόνια! :)


Αλέξανδρος Συγκελάκης
Άβαταρ μέλους
Demetres
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 7947
Εγγραφή: Δευ Ιαν 19, 2009 5:16 pm
Τοποθεσία: Λεμεσός/Πύλα
Επικοινωνία:

Re: Φράγματα για Ακολουθία Φυσικών Αριθμών

#19

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Demetres » Πέμ Δεκ 06, 2018 2:43 pm

Θα δείξω ότι k \geqslant n-1 - \log_2 n το οποίο (για n \geqslant 4) είναι καλύτερο φράγμα.

Έστω x_{n-k+1} = \cdots = x_n = 1 και έστω επίσης ότι x_i = y_i+1 για 1 \leqslant i \leqslant n-k. Τότε

\displaystyle  n + y_1 + \cdots + y+{n-k} = (y_1+1) \cdots (y_{n-k}+1) \geqslant (y_1+\cdots + y_k) + 2^{n-k} - (n-k)

Στην τελευταία ανισότητα παρατηρήσαμε ότι στο ανάπτυγμα του (y_1+1) \cdots (y_{n-k}+1) υπάρχουν 2^{n-k} όροι, όλοι μεγαλύτεροι ή ίσου του 1. Κρατήσαμε τους y_1,\ldots,y_k και για τους άλλους τους βάλαμε ίσους με 1.

Άρα

\displaystyle  2^{n-k} \leqslant 2n - k \leqslant 2n

και παίρνοντας λογαρίθμους προκύπτει ο ισχυρισμός.


Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης