Μια συναρτησιακή

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+y)+f(x+y)=2x+2f(y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

#2

Επαναφορά!

#3

Hint:

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: ↑
Παρ Σεπ 18, 2015 9:23 pm
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{f(f(x)+y)+f(x+y)=2x+2f(y)}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}^+.$

Πολύ καλή!

Συμβολίζω με P(x,y)

την δοσμένη σχέση.
P(y,x): f(f(y)+x)+f(y+x)=2x+2f(y)

, αφαιρώ κατά μέλη με P(x,y)

και παίρνω $f(f(y)+x)-f(f(x)+y)=2y-2x+2f(x)-2f(y)\,\,\,(1)$
P(x,f(y)): f(f(x)+f(y))+f(x+f(y))=2x+2f(f(y))

, τις αφαιρώ κατά μέλη και παίρνω $f(f(y)+x)-f(f(x)+y)=2x-2y+2f(f(y))-2f(f(x))\,\,(2)$ .
Οι (1),(2)

μαζί δίνουν $2y-2x+2f(x)2f(y)=2x-2y+2f(f(y))-2f(f(x))\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow f(f(x))+f(x)-2x=f(f(y))+f(y)-2y$ .

Έτσι λοιπόν f(f(x))+f(x)-2x=C

για κάθε $x\in R_+$ για κάποιο

πραγματικό.
Θέτω x=a_1,f(x)=a_2,f(f(x))=a_3,....

και παίρνω την αναδρομική σχέση $a_{n+2}+a_{n+1}-2a_{n}=C$ .
Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση X^2+X-2=0

που έχει ρίζες 1,-2

και έτσι $a_n=A\cdot 1^n+B(-2)^n$
Αν όμως ήταν $B\neq 0$ τότε σίγουρα αυτή η ποσότητα παίρνει αρνητικές τιμές το οποίο δεν θέλουμε αφού δουλεύουμε στο R_+

.
Έτσι

δηλαδή η ακολουθία είναι σταθερή.
Έτσι $f(x)=x,\forall x\in \mathbb{R_+}$ η οποία επαληθεύει και την αρχική σχέση.

#5

Μια συναρτησιακή

Μια συναρτησιακή

Re: Μια συναρτησιακή

Re: Μια συναρτησιακή

Re: Μια συναρτησιακή

Re: Μια συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση