Από την Ουκρανία
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Από την Ουκρανία
α) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
β) Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Από την Ουκρανία
Έστω , για κάθε . Τότε, η δοσμένη σχέση γράφεται
Σαφώς η μηδενική επαληθεύει την πιο πάνω, οπότε ας υποθέσουμε από εδώ και πέρα ότι η δεν είναι η μηδενική. Αρχίζουμε με κάποιους Ισχυρισμούς:
Ισχυρισμός 1: .
Απόδειξη: Για και διαδοχικά στην αρχική έχουμε
και
Επομένως, είναι και . Τώρα, έχουμε ότι
και
συνεπώς προκύπτει ότι
που δίνει ότι , όπως θέλαμε
Οι σχέση
με τη βοήθεια του Ισχυρισμού 1 γράφεται
.
Ισχυρισμός 2: .
Απόδειξη: Είναι,
και
συνεπώς είναι
που δίνει το ζητούμενο
Πόρισμα Ισχυρισμού 2: Είναι, , για κάθε .
Απόδειξη: Πράγματι, η αρχική με και δίνει το ζητούμενο, χρησιμοποιώντας τον Ισχυρισμό 2
Ισχυρισμός 3: .
Απόδειξη: Οι σχέσεις,
και
δίνουν,
συνεπώς αντικαθιστώντας , προκύπτει
όπως θέλαμε
Ισχυρισμός 4: , για κάθε .
Απόδειξη: Το αποδεικνύουμε επαγωγικά. Για είναι προφανές. Αν ισχύει για κάποιο , τότε με στο αποτέλεσμα του Ισχυρισμού 3 και χρησιμοποιώντας το Πόρισμα του Ισχυρισμού 2 προκύπτει
όπως θέλαμε
Στο πρόβλημα, είναι , και άρα έχουμε τον επόμενο Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 5: , για κάθε .
Απόδειξη: Άμεσο επαγωγικά από την σχέση
Τώρα, με και η αρχική δίνει
ενώ με και δίνει
συνεπώς είναι
Επιλέγουμε . Είναι
και από τον Ισχυρισμούς 4 και 5,
και
Αντικαθιστώντας λοιπόν αυτές τις σχέσεις, προκύπτει εύκολα ότι πρέπει αναγκαστικά .
Συνεπώς, είναι , και άρα η αρχική με και διαδοχικά δίνει,
δηλαδή για κάθε , άτοπο αφού υποθέσαμε ότι η δεν είναι η μηδενική.
Συνοψίζοντας, πρέπει , και άρα , συνάρτηση η οποία προφανώς επαληθεύει.
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 2 επισκέπτες