Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Δημοσιεύσεις: 246
- Εγγραφή: Σάβ Ιαν 18, 2014 5:07 pm
Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε
Σημαντήρης Γιάννης
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Θα γράψω μέχρι ένα σημείο και θα ξαναπροσπαθήσω αύριο. Η μέρα μου ήταν πολύ κουραστική.
(1)
Η (1) για :
Η (1) για και :
Η (1) για : (2)
Η ( 1 ) για : (3)
Από (2)-(3) είναι :
Η επαληθεύει την (1) οπότε είναι δεκτή ως λύση.
Αν η δεν είναι η μηδενική τότε θα έχουμε ή ή
Αν τότε το οπότε η
(1) για και δίνει : οπότε
και για και : Άτοπο
Αν τότε το και οπότε η
(1) για : Άτοπο
Άρα
..to be continued..
Συνεχίζοντας, δουλεύουμε στην περίπτωση όπου η δεν είναι η μηδενική.
Έστω κάποιο για το οποίο
Η (1) για : Από την παραπάνω σχέση εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι στο καθώς και στο .
Η (1) για : (4)
Η (4) για :
και καθώς τα και ανήκουν στο
θα έχουμε : .
Ας συνεχίσει κάποιος αν θέλει. Πρέπει να φύγω.
(1)
Η (1) για :
Η (1) για και :
Η (1) για : (2)
Η ( 1 ) για : (3)
Από (2)-(3) είναι :
Η επαληθεύει την (1) οπότε είναι δεκτή ως λύση.
Αν η δεν είναι η μηδενική τότε θα έχουμε ή ή
Αν τότε το οπότε η
(1) για και δίνει : οπότε
και για και : Άτοπο
Αν τότε το και οπότε η
(1) για : Άτοπο
Άρα
..to be continued..
Συνεχίζοντας, δουλεύουμε στην περίπτωση όπου η δεν είναι η μηδενική.
Έστω κάποιο για το οποίο
Η (1) για : Από την παραπάνω σχέση εύκολα αποδεικνύεται ότι η είναι στο καθώς και στο .
Η (1) για : (4)
Η (4) για :
και καθώς τα και ανήκουν στο
θα έχουμε : .
Ας συνεχίσει κάποιος αν θέλει. Πρέπει να φύγω.
τελευταία επεξεργασία από Λάμπρος Μπαλός σε Τρί Μαρ 31, 2015 11:06 am, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Λοιπόν οι λύσεις είναι οι που επαληθεύει,
η που επίσης επαληθεύει καθώς και όλες οι κλαδικές που φτιάχνονται από αυτούς τους τύπους και αλλάζουν σε κάποιο πραγματικό .
Τώρα, αν έχω κάνει κάπου λάθος (συχνά συμβαίνει με τις συναρτησιακές) ας επισημανθεί.
Διόρθωση. . Έσβησα μια λανθασμένη πρόταση που είχα γράψει.
η που επίσης επαληθεύει καθώς και όλες οι κλαδικές που φτιάχνονται από αυτούς τους τύπους και αλλάζουν σε κάποιο πραγματικό .
Τώρα, αν έχω κάνει κάπου λάθος (συχνά συμβαίνει με τις συναρτησιακές) ας επισημανθεί.
Διόρθωση. . Έσβησα μια λανθασμένη πρόταση που είχα γράψει.
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Λάμπρος Μπαλός
- Δημοσιεύσεις: 984
- Εγγραφή: Τρί Αύγ 13, 2013 12:21 pm
- Τοποθεσία: Τρίκαλα
Re: Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Έφυγα για τσιγάρα και δραπέτευσα στη Βραζιλία.
Πώς πέρασαν 7 χρόνια!
Θα συνέχιζα, αλλά δεν έχω κουράγιο..
Πώς πέρασαν 7 χρόνια!
Θα συνέχιζα, αλλά δεν έχω κουράγιο..
Λάμπρος Μπαλός
lamprosbalos81@gmail.com
lamprosbalos81@gmail.com
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Δυσκολούτσικη συναρτησιακή
Δύσκολη!simantiris j. έγραψε: ↑Κυρ Μαρ 29, 2015 2:26 pmΝα βρείτε όλες τις συναρτήσεις για τις οποίες ισχύει για κάθε
Αρχικά παρατηρούμε ότι η μηδενική ικανοποιεί την δοσμένη σχέση. Από εδώ και πέρα υποθέτουμε ότι η δεν είναι η μηδενική.
Αρχίζουμε με κάποιους Ισχυρισμούς:
Ισχυρισμός 1: Αν για κάποια τότε ή .
Απόδειξη: Πράγματι, έστω ένα για το οποίο , τότε η αρχική με και και διαδοχικά δίνει ότι
και άρα , συνεπώς αφού έχουμε το ζητούμενο
Ισχυρισμός 2:
Απόδειξη: Η αρχική με δίνει , και με δίνει .
Επιπλέον, θέτοντας και παίρνοντας και διαδοχικά στην αρχική προκύπτει ότι
και
συνεπώς, αφού , είναι
που δίνει το ζητούμενο
Τώρα, διακρίνουμε τρεις περιπτώσεις.
Περίπτωση 1: . Τότε, είναι . Με και η αρχική δίνει
και άρα
οπότε από τον Ισχυρισμό 1 έχουμε ότι
για κάθε .
Ορίζουμε τώρα και .
Από τα παραπάνω, είναι και (πράγματι, αν τότε , άρα , άτοπο).
Έχουμε τον επόμενο Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 3: Το σύνολο είναι πεπερασμένο.
Απόδειξη: Υποθέτουμε αρχικά ότι το είναι μη κενό. Μπορούμε να υποθέσουμε ότι . Έστω . Τότε, με στην αρχική έχουμε ότι
και άρα υπάρχουν τέτοια, ώστε
Τώρα, διακρίνουμε περιπτώσεις:
Υποπερίπτωση 1: , οπότε προκύπτει , άρα , οπότε ή . Όμως, η αρχική με και δίνει , οπότε έχουμε άτοπο.
Υποπερίπτωση 2: , οπότε προκύπτει , άτοπο.
Υποπερίπτωση 3: , οπότε προκύπτει , άτοπο αφού .
Υποπερίπτωση 4: , οπότε προκύπτει , άτοπο αφού .
Υποπερίπτωση 5: , οπότε προκύπτει , δηλαδή .
Υποπερίπτωση 6: , οπότε προκύπτει , άρα , άτοπο.
Υποπερίπτωση 7: , οπότε προκύπτει , άτοπο.
Υποπερίπτωση 8: , οπότε προκύπτει , άρα , που δίνει , άρα .
Απο τα παραπάνω είναι σαφές, ότι αν σταθεροποιήσουμε το τότε το τυχόν μπορεί να πάρει το πολύ διαφορετικές τιμές, οπότε έχουμε ότι , άρα το είναι πεπερασμένο
Στο πρόβλημα, αφού έχουμε ότι το είναι πεπερασμένο, ο επόμενος στόχος είναι να δείξουμε ότι . Έστω προς άτοπο ότι , και έστω . Αφού το είναι πεπερασμένο και , το είναι άπειρο. Έστω ένα , το οποίο θα επιλέξουμε κατάλληλα αργότερα.
Η αρχική για και δίνει ότι
και άρα επιλέγοντας το ώστε
έχουμε ότι
και άρα , άτοπο για κατάλληλη επιλογή του .
Συνεπώς, είναι πράγματι , και άρα για κάθε , η οποία και επαληθεύει.
Περίπτωση 2: . Χειριζόμαστε ανάλογα αυτήν την περίπτωση, οπότε και προκύπτει η λύση .
Περίπτωση 3: . Τότε, με η αρχική δίνει , και άρα από τον Ισχυρισμό 1 είναι , για κάθε .
Ορίζουμε και .
Αν κάποιο από τα είναι κενό, τότε προκύπτουν οι λύσεις και . Ας υποθέσουμε τώρα ότι . Σαφώς ισχύει και .
Ισχυρισμός 4: Αν , τότε .
Απόδειξη: Έστω ένα , και ένα . Τότε η αρχική με και δίνει
και άρα υπάρχουν τέτοια, ώστε
Αφού είναι άμεσο να δούμε ότι πρέπει , και άρα , δηλαδή , όπως θέλαμε. Επίσης προκύπτει ότι .
Ισχυρισμός 5: Το σύνολο είναι το κενό.
Απόδειξη: Έστω πως υπάρχει , τότε με η αρχική δίνει
και άρα από τον Ισχυρισμό 4,
δηλαδή , άτοπο αφού .
Συνεπώς, το είναι πράγματι το κενό
Από το αποτέλεσμα του Ισχυρισμού 5 έχουμε το ζητούμενο άτοπο.
Ολοκληρώνοντας, λύσεις είναι οι συναρτήσεις , , , και .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 10 επισκέπτες