Διοφαντική εξίσωση
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
Διοφαντική εξίσωση
Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι τέτοιοι ώστε:
Σιλουανός Μπραζιτίκος
Re: Διοφαντική εξίσωση
Καλησπέρα σε όλους! Μία προσπάθεια:smar έγραψε:Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι τέτοιοι ώστε:
Με προκύπτει άρτιος. Γράφω και θέτω . Τότε η εξίσωση γίνεται:
.
Πρόκειται για εξίσωση Pell με θεμελιώδη λύση .
Γνωρίζουμε ότι οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:
Θα δούμε πότε ο γίνεται δύναμη του .
Έστω αρχικά άρτιος. Τότε από το διωνυμικό θέωρημα προκύπτει:
Αν τότε και άρα το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του ενώ το δεξί όχι, άτοπο.
Έστω τώρα περιττός. Πάλι από το διωνυμικό θεώρημα προκύπτει:
Αν τότε όμοια με την προηγούμενη περίπτωση προκύπτει άτοπο. Άρα πρέπει .
Εύκολα τώρα προκύπτει η λύση που είναι και μοναδική.
Πάντα κατ' αριθμόν γίγνονται... ~ Πυθαγόρας
Ψυρούκης Ραφαήλ
Ψυρούκης Ραφαήλ
- Αρχιμήδης 6
- Δημοσιεύσεις: 1205
- Εγγραφή: Παρ Αύγ 27, 2010 11:27 pm
- Τοποθεσία: ΚΑΛΑΜΑΤΑ
Re: Διοφαντική εξίσωση
οπότε άρα άρτιος και έστω , , θετικός ακέραιος.
και επειδή , , , και δεν διαιρεί τον επομένως άρα
--(τα 2 κλάσματα είναι ακέραιοι και πρώτοι μεταξύ τους ) συνεπώς υπάρχει θετικός ακέραιος ώστε
, συνεπώς από mihailescu θα έχει μοναδική λύση την οπότε μοναδική λύση το ζεύγος
*** Το θεώρημα που ανέφερα λέει ότι η εξίσωση για έχει μοναδική λύση την
Στην βιασύνη μου δεν εξήγησα γιατί
Αν τότε άρα για θετικό αλλά με αντίφαση.
Λάθε βιώσας-Επίκουρος
Κανακάρης Δημήτριος.
Κανακάρης Δημήτριος.
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Διοφαντική εξίσωση
Ψάχνοντας για Pell έπεσα πάνω σε αυτή, νομίζω πως η παραπάνω λύση έχει πρόβλημα στην περίπτωση που περιττός.raf616 έγραψε: ↑Σάβ Μαρ 28, 2015 6:56 pmΚαλησπέρα σε όλους! Μία προσπάθεια:smar έγραψε:Να βρεθούν όλα τα ζεύγη θετικών ακεραίων που είναι τέτοιοι ώστε:
Με προκύπτει άρτιος. Γράφω και θέτω . Τότε η εξίσωση γίνεται:
.
Πρόκειται για εξίσωση Pell με θεμελιώδη λύση .
Γνωρίζουμε ότι οι λύσεις δίνονται από τους τύπους:
Θα δούμε πότε ο γίνεται δύναμη του .
Έστω αρχικά άρτιος. Τότε από το διωνυμικό θέωρημα προκύπτει:
Αν τότε και άρα το αριστερό μέλος είναι πολλαπλάσιο του ενώ το δεξί όχι, άτοπο.
Έστω τώρα περιττός. Πάλι από το διωνυμικό θεώρημα προκύπτει:
Αν τότε όμοια με την προηγούμενη περίπτωση προκύπτει άτοπο. Άρα πρέπει .
Εύκολα τώρα προκύπτει η λύση που είναι και μοναδική.
Ουσιαστικά δείχνει ότι το δεξί μέλος δεν μπορεί να είναι πολλαπλάσιο του το οποίο δεν ισχύει π.χ για και αυτό γιατί κρύβεται ένα στον .
Μπορεί κάποιος πιο έμπειρος να παρουσιάσει πως θα μπορούσαμε να τελειώσουμε χρησιμοποιώντας την Pell;
- ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
- Δημοσιεύσεις: 921
- Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm
Re: Διοφαντική εξίσωση
Νομίζω πως το έβγαλα τελικά.
Αφού βγάλουμε ότι θέτουμε και και για ευκολία οπότε έχουμε την Pell με η θεμελιώδης λύση.
Είναι γνωστό ότι θα ισχύει και
οπότε άρα
Κοιτάμε την ακολουθία αυτή : και μετά επαναλαμβάνεται.
Την κοιτάμε και (όχι τυχαίο, είναι ) :
και μετά επαναλαμβάνεται.
Παρατηρούμε ότι τα δύο επαναλαμβανόμενα μέρη έχουν ίδιο πλήθος όρων και
μάλιστα τα μηδενικά βρίσκονται στις ίδιες θέσεις.
'Ετσι
Αφού όμως θελουμε να είναι δύναμη του θα πρέπει και έτσι προκύπτει η μοναδική λύση
Αφού βγάλουμε ότι θέτουμε και και για ευκολία οπότε έχουμε την Pell με η θεμελιώδης λύση.
Είναι γνωστό ότι θα ισχύει και
οπότε άρα
Κοιτάμε την ακολουθία αυτή : και μετά επαναλαμβάνεται.
Την κοιτάμε και (όχι τυχαίο, είναι ) :
και μετά επαναλαμβάνεται.
Παρατηρούμε ότι τα δύο επαναλαμβανόμενα μέρη έχουν ίδιο πλήθος όρων και
μάλιστα τα μηδενικά βρίσκονται στις ίδιες θέσεις.
'Ετσι
Αφού όμως θελουμε να είναι δύναμη του θα πρέπει και έτσι προκύπτει η μοναδική λύση
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες