Ακολουθία φυσικών αριθμών

AlexandrosG · #1

Έστω

ακολουθία με a_1=2

και $\displaystyle{a_{n+1}=a_n^2-a_n+1}$ .

α) Να δείξετε ότι (a_m,a_n)=1

για κάθε $m\neq n$ .

β) Να δείξετε ότι $\displaystyle{\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{1}{a_n}=1}$ .

Τι συνεπάγεται το α) για τους πρώτους αριθμούς?

#2

Κάνω την αρχή με το πρώτο ερώτημα:

Ισχύει

$\displaystyle{a_n=a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1+1}$ για κάθε $\displaystyle{n\geq 2.}$

Η απόδειξη είναι άμεση επαγωγικά.

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι ο $\displaystyle{a_n}$ είναι πρώτος προς όλους τους προηγούμενους όρους, οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Μάλιστα, αν θεωρήσουμε ένα πρώτο διαιρέτη κάθε όρου της παραπάνω ακολουθίας $\displaystyle{2,3,7,43,...,}$ λόγω του $\displaystyle{(a_n,a_m)=1~\forall n\ne m,}$ προκύπτει μια άπειρη ακολουθία διαφορετικών πρώτων, όπερ σημαίνει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι σε πλήθος. Βρήκαμε δηλαδή ακόμα μια απόδειξη του θεωρήματος, ότι οι πρώτοι είναι άπειροι σε πλήθος.

#3

Για το δεύτερο αποδεικνύουμε επαγωγικά ότι $\displaystyle{ \sum_{k=1}^n \frac{1}{a_k} = 1 - \frac{1}{a_{n+1}-1}}$ και τα υπόλοιπα είναι απλά.

Κάπου σίγουρα το έχουμε ξαναδεί αλλά δεν βρήκα τίποτα.

#4

Για το β) δείτε:
viewtopic.php?f=111&t=13581
viewtopic.php?f=111&t=13600

Αρχιμήδης 6 · #5

Γενικότερα αυτή η μέθοδος για απόδειξη άπειρων πρώτων γενικεύεται.

Υπάρχουν άπειρες ακολουθίες με την ιδιότητα να έχουν άπειρους όρους που όλοι είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Έχει ομοιότητα με την απόδειξη του Ευκλείδη αφού εκείνος αντί να πάρει μια ακολουθία σαν αυτή επέλεξε την ακολουθία των πρώτων και φυσικά είναι η καλύτερη επιλογή.

Αν υπήρχαν πεπερασμένοι πρώτοι p_1,p_2...p_k

τότε κάθε φυσικός μεγαλύτερος του

θα ήταν πολλαπλάσιος τουλάχιστον ενός εκ των πρώτων (πρωτογενής ανάλυση) όμως ο αριθμός p_1p_2...p_k+1

δεν είναι...

AlexandrosG · #6

Αρχιμήδης 6 έγραψε: Υπάρχουν άπειρες ακολουθίες με την ιδιότητα να έχουν άπειρους όρους που όλοι είναι πρώτοι μεταξύ τους.

Ακριβώς Δημήτρη.

Κάθε μία τέτοια δίνει μια καινούργια απόδειξη της απειρίας των πρώτων από το επιχείρημα που γράφει ο Θάνος.

Δύο ακόμα ακολουθίες.

Οι αριθμοί Fermat: $\displaystyle{F_n=2^{2^{n+1}}+1}$ με

φυσικό.

Η ακολουθία (b_n)

που ορίζεται αναδρομικά ως b_1=2

και $b_{n+1}=b_n!+1$ .

#7

matha έγραψε:Κάνω την αρχή με το πρώτο ερώτημα:

Ισχύει

$\displaystyle{a_n=a_{n-1}a_{n-2}\cdots a_2a_1+1}$ για κάθε $\displaystyle{n\geq 2.}$

Η απόδειξη είναι άμεση επαγωγικά.

Από τη σχέση αυτή φαίνεται ότι ο $\displaystyle{a_n}$ είναι πρώτος προς όλους τους προηγούμενους όρους, οπότε προκύπτει το ζητούμενο.

Μάλιστα, αν θεωρήσουμε ένα πρώτο διαιρέτη κάθε όρου της παραπάνω ακολουθίας $\displaystyle{2,3,7,43,...,}$ λόγω του $\displaystyle{(a_n,a_m)=1~\forall n\ne m,}$ προκύπτει μια άπειρη ακολουθία διαφορετικών πρώτων, όπερ σημαίνει ότι οι πρώτοι είναι άπειροι σε πλήθος. Βρήκαμε δηλαδή ακόμα μια απόδειξη του θεωρήματος, ότι οι πρώτοι είναι άπειροι σε πλήθος.

Πολύ ... διπλωματικά ο Θάνος μιλάει για πρώτους διαιρέτες των όρων και όχι απλώς για όρους: πράγματι ο επόμενος όρος της ακολουθίας, 1807, δεν είναι πρώτος! (Μας δίνει βέβαια δύο πρώτους που δεν είναι όροι της ακολουθίας, τον 13 και τον 139, όπως ακριβώς παρατήρησε ο Θάνος.)

Θα μπορούσε να αναρωτηθεί κανείς αν μπορούμε τουλάχιστον να πούμε ότι υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας που είναι πρώτοι: το αντίστοιχο ερώτημα για τους Ευκλείδειους πρώτους, δηλαδή τους πρώτους $\displaystyle{2+1, 2\cdot 3+1, 2\cdot 3\cdot 5+1, ...}$ (που εμφανίζονται στην Ευκλείδεια απόδειξη της απειρίας των πρώτων αριθμών), θεωρείται άλυτο πρόβλημα (κάτι που έμαθα πολύ πρόσφατα, με αφορμή αυτό).

Γιώργος Μπαλόγλου

#8

gbaloglou έγραψε: Θα μπορούσε να αναρωτηθεί κανείς αν μπορούμε τουλάχιστον να πούμε ότι υπάρχουν άπειροι όροι της ακολουθίας που είναι πρώτοι.

Αν υπάρχουν, δεν γνωρίζουμε ακόμη πως να το δείξουμε. Μια ειδική περίπτωση της εικασίας του Bunyakovsky λέει ότι υπάρχουν άπειροι πρώτοι της μορφής n^2 - n + 1

με

φυσικό.

Φυσικά μπορεί να ισχύει η εικασία αλλά η ακολουθία μας να μην έχει άπειρους πρώτους αφού δεν περιέχει όλους τους αριθμούς της μορφής n^2 - n + 1

.

Αρχιμήδης 6 · #9

$a_{n+1}=a_n^2-a_n+1$

Άπειροι πρώτοι a_j

?

Αρκεί για κάθε n>n_0

οι όροι της ακολουθίας να σαρώνουν όλους τους πρώτους στις πρωτογενείς τους αναλύσεις η τουλάχιστον έναν πρώτο a_i

για $i\leq{n_0}$ κάτι που δεν είναι απίθανο.

Αν ισχύει τότε αν υποθέσουμε ότι είναι πεπερασμένοι το πλήθος πρώτοι τότε όλοι οι άλλοι θα ήταν σύνθετοι και θα υπήρχε τουλάχιστον ένας σύνθετος πολλαπλάσιο ενός όρου που είναι πρώτος κάτι που είναι αντιφατικό.

Αρχιμήδης 6 · #10

Να το πω πιο απλά , αρκεί να μην υπάρχει πολυώνυμο με όλους τους όρους σύνθετους και πρώτους μεταξύ τους.(Δεν το έχω εξετάσει ...) Ενδιαφέρον.

Ακολουθία φυσικών αριθμών

Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Re: Ακολουθία φυσικών αριθμών

Μέλη σε σύνδεση