Διοφαντική εξίσωση

#1

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης 2^n = 3^m + 23.

Δεν έχω λύση!

#2

Για $m\leq 2$ βρίσκουμε με δοκιμές μοναδική λύση την (m,n)=(2,5)

αφού

.

Μάλιστα το ότι το

γράφεται ως 2^5-3^2

χρειάστηκε αμέσως παρακάτω αφού για m>2

η εξίσωση γράφεται $2^5\left(2^{n-5}-1\right)=3^2\left(3^{m-2}-1\right) \ \ (1)$

Είναι φανερό ότι η μέγιστη δύναμη του

που διαιρεί το αριστερό μέλος (άρα και το δεξί) είναι το 2^5

και η μεγαλύτερη δύναμη του

που διαιρεί το δεξί μέλος (άρα και το αριστερό) είναι το 3^2

.

Θα δείξουμε ότι δεν υπάρχει λύση της (1)

δείχνοντας ότι το αριστερό μέλος διαιρείται από το 3^3

που είναι άτοπο.

Θα χρησιμοποιήσω δύο γνωστές απλές προτάσεις που η απόδειξή τους αφήνεται ως άσκηση:

1) Αν τότε

2) Αν $a^r\equiv 1 \pmod{n}$ με και τότε (Με συμβολίζουμε τον ελάχιστο αριθμό για τον οποίο ισχύει $a^k\equiv 1 \pmod{n}$ και το ονομάζουμε τάξη του $a \mod{n}$ ).

Επιστροφή στην άσκηση:

Φανερά $9|2^{n-5}-1$ δηλαδή $2^{n-5}\equiv 1 \pmod{9}$ και επειδή ord_9(2)=6

άρα $6|n-5 \ \ (2)$ .

Όμοια $32|3^{m-2}-1$ δηλαδή $3^{m-2}\equiv 1 \pmod{32}$ και επειδή $ord_{32}(3)=8$ άρα $8|m-2 \ \ (3)$ .

Συνεχίζοντας από τη (2)

και εφαρμόζοντας την 1η πρόταση παίρνουμε $2^6-1|2^{n-5}-1$ άρα $7|2^{n-5}-1$ δηλαδή $7|3^{m-2}-1$ οπότε $3^{m-2}\equiv 1\pmod{7}$ και αφού ord_7(3)=6

άρα $6|m-2 \ \ (4)$ .

Από τις (3)

και

παίρνουμε ότι 24|m-2

άρα $3^{24}-1|3^{m-2}-1$ δηλαδή $(\star) \ \ 73|3^{m-2}-1$ οπότε $73|2^{n-5}-1$ άρα $2^{n-5}\equiv 1\pmod{73}$ και αφού $ord_{73}(2)=9$ άρα $9|n-5 \ \ (5)$ .

Από τις (2)

και

παίρνουμε ότι 18|n-5

συνεπώς $2^{18}-1|2^{n-5}-1$ δηλαδή $(\clubsuit) \ \ 3^3|2^{n-5}-1$ που είναι άτοπο.

Συνεπώς η αρχική εξίσωση έχει μοναδική λύση την (m,n)=(2,5)

.

$(\star) \ \ 3^{24}-1=(3^{12}+1)(3^{12}-1)=(3^{12}+1)\underbrace{(3^6+1)}_{\textnormal{\gr πολλαπλάσιο \ του 73\en}}(3^6-1)= 73k$

$(\clubsuit) \ \ 2^{18}-1=(2^9-1)\underbrace{(2^9+1)}_{\textnormal{\gr πολλαπλάσιο \ του 27\en}} = 27r$

Αλέξανδρος

#3

Αλέξανδρε, εξαιρετικά! Ευχαριστώ για τη λύση!

(Ψάχνοντας, υπάρχει και εδώ: http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=600848)

Αρχιμήδης 6 · #4

socrates έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης
Δεν έχω λύση!

Ας δούμε...

Προφανής λύση (5,2)

.

αφαιρώ

$2^5(2^{n-5}-1)=3^2(3^{m-2}-1)$

Θέτω $2^{n-5}-1=x$ , $3^{m-2}-1=y$ οπότε 2^5x-3^2y=0

(1) παρατηρώ ότι για x=y=o

έχει λύση.

Άρα

$(2^{10}+3^4)(x^2+y^2)=(2^5x-3^2y)^2+(2^5y+3^2x)^2$

Από την (1) θα γίνει,

1105(x^2+y^2)=(32x+9y)^2

Αν

μη μηδενικοί ..

Κάνοντας πράξεις θα καταλήξουμε στην

81x^2+1024y^2=576xy

και από 1) 32x=9y

τις πολλαπλασιάζω και θα έχω x=y

αδύνατον.

Ελπίζω να μην έχω κάποιο σοβαρό λάθος...

Τραγικό λάθος και πάντα όταν την παρουσιάζω το βλέπω...Το αφήνω για παραδειγματισμό.

2nisic · #5

Για $n\geq 6$
Με mod64

έχω: $3^{m}\equiv -23(mod64)\Leftrightarrow m\equiv 10(mod16)$

Με mod17

έχω: $2^{x}\equiv 3^{10}+23\equiv -9+23\equiv 14(mod17) contradiction$

Για $n\leq 5$ έχω μοναδική λύση την: (n,m):(5,2)

Διοφαντική εξίσωση

Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Re: Διοφαντική εξίσωση

Μέλη σε σύνδεση