Ακέραιες λύσεις!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ακέραιες λύσεις!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Σάβ Μάιος 31, 2014 2:48 pm

Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

\displaystyle{x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ακέραιες λύσεις!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Κυρ Ιουν 15, 2014 11:44 am

matha έγραψε:Να βρεθούν οι ακέραιες λύσεις της εξίσωσης

\displaystyle{x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1).}
Καλημέρα στο :logo: και σε όλους τους αναγνώστες του έπειτα από πολύ καιρό.
Ας ξεκινήσουμε...:
Για x=y παρατηρούμε ότι δεν υπάρχει ακέραια λύση (καταλήγουμε στη σχέση: x-6=\dfrac {2} {x^2},~x\neq 0 η οποία προφανώς δεν έχει λύση στους ακεραίους), οπότε x\neq y ~(\star).
x^3+x^2y+xy^2+y^3=8(x^2+xy+y^2+1) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)=4(x^2+2xy+y^2+x^2+y^2+2) \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y)=4(x^2+y^2)+4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow (x^2+y^2)(x+y-4)=4\left [(x+y)^2+2 \right]~(1).
Από την (1), με σχετική διερεύνηση, καταλαβαίνουμε ότι οι άγνωστοι πρέπει να έχουν το ίδιο parity (να είναι και οι δύο είτε άρτιοι είτε περιττοί).
Έπειτα, έχουμε:
2(x^2+y^2)\dfrac {x+y-4} {2}=4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow \left [(x+y)^2+(x-y)^2 \right]\dfrac {x+y-4} {2}=4\left [(x+y)^2+2 \right] \Leftrightarrow \boxed {\dfrac {x+y-4} {2}=4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=A}.
Επιπλέον, γνωρίζουμε ότι (x-y)^2\geq 4, αφού οι περιπτώσεις x-y=\pm 1 (λόγω parity) και x-y=0 (από (\star)) απορρίπτονται.
Συνεπώς: 0 <4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2} < 4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+2}=4 \Leftrightarrow \boxed {0<A<4}
ΛΑΘΟΣ-Edit:6/07/2014 Επιπροσθέτως, λόγω και πάλι του parity, ισχύει x+y-4=4k \Leftrightarrow 2A=4k \Leftrightarrow A=2k \Leftrightarrow A=2 (αν x,y άρτιοι είναι προφανές, αλλιώς δουλεύοντας με mod8 στη σχέση (1) τα ζεύγη (x,y)=(4k\pm 1,4l\pm 1) δε γίνονται αποδεκτά, δηλαδή (x,y)=(4k \pm 1,4l \mp 1) και καταλήγουμε στο προαναφερθέν συμπέρασμα).-ΛΑΘΟΣ
Για A=1 βρίσκουμε:
\dfrac {x+y-4} {2}=1 \Leftrightarrow x+y=6 \Leftrightarrow \boxed {x=6-y}
4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=1 \Leftrightarrow (x+y)^2+(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 3(x+y)^2-(x-y)^2+8=0 \Leftrightarrow x^2+4xy+y^2+4=0 \Leftrightarrow (x+y)^2+4+2xy=0 \Leftrightarrow 2xy+40=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=-20} \Leftrightarrow (6-y)y=-20 \Leftrightarrow 6y-y^2=-20 \Leftrightarrow y^2-6y-20=0 \Leftrightarrow \Delta=116
, άτοπο (έπρεπε η διακρίνουσα να ήταν τέλειο τετράγωνο)
Για A=2 βρίσκουμε:
\dfrac {x+y-4} {2}=2 \Leftrightarrow x+y=8 \Leftrightarrow \boxed {x=8-y}
4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=2 \Leftrightarrow 2(x+y)^2+2(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 2(x+y)^2-2(x-y)^2+8=0 \Leftrightarrow 8xy+8=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=-1} \Leftrightarrow x=\pm 1, y=\mp 1
, άτοπο.
Για A=3 βρίσκουμε:
\dfrac {x+y-4} {2}=3 \Leftrightarrow x+y=10 \Leftrightarrow \boxed {x=10-y}
4\dfrac {(x+y^2)+2} {(x+y)^2+(x-y)^2}=3 \Leftrightarrow 3(x+y)^2+3(x-y)^2=4(x+y)^2+8 \Leftrightarrow 3(x-y)^2-(x+y)^2-8=0 \Leftrightarrow x^2-4xy+y^2-4=0 \Leftrightarrow (x+y)^2-6xy-4=0 \Leftrightarrow -6xy+96=0 \Leftrightarrow \boxed {xy=16} \Leftrightarrow (10-y)y=16 \Leftrightarrow y^2-10y+16=(y-8)(y-2)=0 \Leftrightarrow y=2, x=8~or~y=8,x=2
Οπότε η εξίσωση έχει μοναδικές λύσεις (x,y)=(2,8)=(8,2) στο \mathbb {Z}
τελευταία επεξεργασία από Ch.Chortis σε Κυρ Ιούλ 06, 2014 1:37 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Παύλος Μαραγκουδάκης
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 1484
Εγγραφή: Παρ Ιαν 30, 2009 1:45 pm
Τοποθεσία: Πειραιάς

Re: Ακέραιες λύσεις!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Παύλος Μαραγκουδάκης » Δευ Ιουν 16, 2014 10:03 pm

Η εξίσωση γράφεται \left(x+y \right)\left(x^2+y^2 \right)=8\left(x^2+xy+y^2+1 \right).

Θέτοντας S=x+y και P=xy βρίσκουμε

S\left(S^2-2P \right)=8\left(S^2-P+1 \right)

S^3-8S^2-8=P\left(2S-8 \right)

Αποκλείεται να είναι S=4. Το δεύτερο μέλος είναι άρτιος οπότε και ο S είναι άρτιος. Ας είναι S=2T. Τότε

P=\dfrac{S^3-8S^2-8}{2S-8}=\dfrac{2T^3-8T^2-2}{T-2}=2T^2-4T-8-\dfrac{18}{T-2}

Παρατηρούμε ότι αν ο T-2 είναι άρτιος τότε ο P είναι περιττός οπότε οι x,y είναι περιττοί οπότε ο S είναι περιττός, άτοπο.

Άρα T-2\in\left\{1,-1,3,-3,9,-9 \right\}

Η περίπτωση T-2=3 είναι η μόνη που οδηγεί σε ακέραιες λύσεις: \left(x,y \right)=\left(2,8 \right) ή \left(8,2 \right).


Στάλα τη στάλα το νερό το μάρμαρο τρυπά το,
εκείνο που μισεί κανείς γυρίζει κι αγαπά το.
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης