Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

#2

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε

$\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y),(1) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

$x=0\quad (1)\Rightarrow f(f(x))=a+x^2f(x),(\bullet)\quad a=f(0)$

$y=0\quad (1)\Rightarrow f(x+f(1))=f(x)+2x+f(1),\quad (2)$

$x:=f(x)\quad (2)\stackrel{(\bullet)}\Longrightarrow f(f(x)+f(1))=a+x^2f(x)+2f(x)+f(1),\quad (\star)$

$x=f(1)\quad (1)\stackrel{(\star)}\Longrightarrow f(y)=f(1)y^2\quad \color{blue}(\star)$

Αντικαθιστώντας την $\color{blue}(\star)$ στην αρχική και κάνοντας πράξεις βρίσκουμε $f(1)=1 \quad \eta \quad f(1)=-1$

άρα οι συναρτήσεις (που ικανοποιούν την αρχική )είναι $f(x)=x^2,x\in \mathbb R$ , $f(x)=-x^2,x\in \mathbb R$

#3

http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=399024

#4

socrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

Ας γράψω και τη λύση μου. Η παραπάνω είναι σαφώς συντομότερη.

Για y=0

έχουμε

και για

βρίσκουμε

Επίσης, αν f(a)=0

για κάποιο

τότε για

βρίσκουμε

Επομένως, $f(x)=0 \iff x=0.$

Για x=0

έχουμε

απ' όπου προκύπτει $f(a)=f(b)\implies a=\pm b.$
Οπότε, αφού f(f(1))=f(1)

, είναι

ή

Αν

τότε

οπότε

και

Από τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε f(x)=x^2,

για κάθε

που είναι λύση.

Αν f(1)=-1

τότε

οπότε

και

Από τις δύο τελευταίες σχέσεις έχουμε $f(x)=-x^2+\frac{1+f(-1)}{2}=-x^2,$ αφού f(0)=0

, για κάθε

που είναι λύση.

#5

Ας δούμε και το:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

#6

socrates έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 05, 2021 5:47 pm
Ας δούμε και το:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

ΕΜΦΑΝΙΣΗ ΚΕΙΜΕΝΟΥ

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #7

socrates έγραψε: ↑
Τρί Ιαν 05, 2021 5:47 pm
Ας δούμε και το:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{R}_{>0} \rightarrow \mathbb{R}_{>0}$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{ f(x+f(y))=f(x)+2xy^2+y^2 f(y) , }$ για κάθε $x,y \in \mathbb{R}_{>0}.$

Συμβολίζω με P(x,y)

την δοσμένη σχέση.
P(1+f(x),y): f(1+f(x)+f(y))=f(1+f(x))+2(1+f(x))y^2+y^2f(y)

.

.
Αυτές μαζί δίνουν
f(1+f(y))+2(1+f(y))x^2+x^2f(x)=f(1+f(x))+2(1+f(x))y^2+y^2f(y)

.
Επίσης

και όμοια για το

, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται
$f(1)+2y^2+y^2f(y)+2x^2+2x^2f(y)+x^2f(x)=f(1)+2x^2+x^2f(x)+2y^2+2y^2f(x)+y^2f(y)\Leftrightarrow$
$\Leftrightarrow x^2f(y)=y^2f(x)\Leftrightarrow \dfrac{f(x)}{x^2}=\dfrac{f(y)}{y^2}$ δηλαδή f(x)=Cx^2

για κάποιο C>0

.
Αντικαθιστώντας στην αρχική βρίσκουμε C=1

και έτσι $f(x)=x^2,\forall x \in \mathbb{R_+}$ (η οποία επαληθεύει).

Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Re: Συναρτησιακή εξίσωση (κζ)

Μέλη σε σύνδεση