mathematica.gr • βρείτε τα τελευταία ψηφία!

Σελίδα 1 από 1

βρείτε τα τελευταία ψηφία!

Δημοσιεύτηκε: Πέμ Απρ 04, 2013 12:23 am

από algal

Να βρείτε τα τελευταία έξι ψηφία του αριθμου

, γνωρίζοντας ότι ο κύβος του λήγει σε 777.777

777.777

.

Re: βρείτε τα τελευταία ψηφία!

Δημοσιεύτηκε: Σάβ Απρ 06, 2013 6:49 am

από gbaloglou

Για τα τρία τελευταία ψηφία χρειαζόμαστε διαδοχικά -- παρατηρώντας ότι το τελευταίο ψηφίο είναι το

-- τις

$((10x+y)\cdot 10+3)^3=......777,$

$3\cdot 3\cdot 3\cdot (10x+y)^2\cdot 10^2+3\cdot 3^2\cdot (10x+y)\cdot 10+27=......777,$

90(100x^2+20xy+y^2)+27(10x+y)=......75,

90(100x^2+20xy+y^2)+27(10x+y)=......75,

90y^2+270x+27y=......75.

Η τελευταία σχέση μετασχηματίζεται, λόγω της προκύπτουσας y=5

y=5

, στην

2385+270x=......75,

άρα

x=7

.

Πράγματι, βρίσκουμε (με το χέρι) ότι 753^2=567009

753^2=567009

και

753^3=426957777.

Αναζητούμε τώρα τα επόμενα τρία ψηφία μέσω των

$((100p+10q+r)\cdot 10^3+753)^3=......777777,$

$3\cdot (100p+10q+r)\cdot 10^3\cdot 753^2+753^3=......777777,$

1701027(10^5p+10^4q+10^3r)+426957777=......777777.

1701027(10^5p+10^4q+10^3r)+426957777=......777777.

Λόγω του 'τέταρτου'

στο αριστερό σκέλος γίνεται φανερό ότι r=0

r=0

, οπότε η παραπάνω σχέση γίνεται

1701027(10^5p+10^4q)+426957777=......777777,

1701027(10^5p+10^4q)+426957777=......777777,

από την οποία προκύπτει αρχικά η q=6

q=6

(καθώς οφείλει να ισχύει η 7q+5=10q'+7

7q+5=10q'+7

), και ακολούθως, λόγω της προκύπτουσας

170102700000p+102488577777=......777777,

170102700000p+102488577777=......777777,

η

p=6

(καθώς οφείλει να ισχύει η 7p+5=10p'+7

7p+5=10p'+7

).

Είναι λοιπόν τα τελευταία έξι ψηφία τα 660753

660753

.

Γιώργος Μπαλόγλου