Μέγιστο πλήθος στοιχείων συνόλου

#1

Έστω

σύνολο θετικών ακεραίων τέτοιο ώστε για κάθε $\displaystyle{ x, y \in A}$ με x > y

να ισχύει $\displaystyle{x - y \geq \frac{xy}{16}.}$
Πόσα το πολύ στοιχεία έχει το

#2

Η συνθήκη είναι ισοδύναμη με $(x+16)(16-y) \geqslant 256$ (για x > y

). Έστω

το μέγιστο στοιχείο του

και έστω

το μέγιστο στοιχείο του $A \varsetminus \{a_1\}$ . Αν $a_2 \geqslant 16$ τότε $(a_1+16)(16-a_2) \leqslant 0$ , άτοπο. Άρα $a_2 \leqslant 15$ .

Έστω a_3

το μέγιστο στοιχείο του $A \varsetminus \{a_1,a_2\}$ . Τότε $256 \leqslant (a_2+16)(16-a_3) \leqslant 31(16-a_3)$ το οποίο δίνει $a_3 \leqslant 7$ . (Για $a_3 \geqslant 8$ έχουμε άτοπο.)

Έστω a_4

το μέγιστο στοιχείο του $A \varsetminus \{a_1,a_2,a_3\}$ . Τότε $256 \leqslant (a_3+16)(16-a_4) \leqslant 23(16-a_3)$ το οποίο δίνει $a_4 \leqslant 4$ . (Για $a_4 \geqslant 5$ έχουμε άτοπο.)

Έστω a_4

το μέγιστο στοιχείο του $A \varsetminus \{a_1,a_2,a_3\}$ . Τότε $256 \leqslant (a_3+16)(16-a_4) \leqslant 23(16-a_3)$ το οποίο δίνει $a_4 \leqslant 4$ . (Για $a_4 \geqslant 5$ έχουμε άτοπο.)

Επομένως $|A| \leqslant 7$ . Παρατηρούμε επίσης ότι το $A = \{1,2,3,4,7,15,240\}$ ικανοποιεί την συνθήκη και άρα αυτός είναι και ο μέγιστος δυνατός αριθμός στοιχείων.

Μέγιστο πλήθος στοιχείων συνόλου

Μέγιστο πλήθος στοιχείων συνόλου

Re: Μέγιστο πλήθος στοιχείων συνόλου

Μέλη σε σύνδεση