Συναρτησιακή από IMAC

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις $f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+$ τέτοιες ώστε $\displaystyle{y=\frac{1}{2}\left[f\left(x+\frac{y}{x}\right)-\left(f(x)+\frac{f(y)}{f(x)}\right)\right],}$ για κάθε $x,y \in \mathbb{Q}^+.$

Petros N. · #2

Θέτω διαδοχικά:

$\displaystyle x=1 \Rightarrow f(y+1)=f(1)+2y+\frac{f(y)}{f(1)}$ , (1)

$x=y \Rightarrow f(y+1)=f(y)+2y+1$ , (2)

Από

και προφανώς ισχύει το δεύτερο.(αν ίσχυε το πρώτο θα είχαμε y=-1/2

το οποίο είναι αδύνατο γιατί ο y είναι θετικος.)

Με βάση τη (2)

παίρνω επαγωγικά ότι $f(n)=n^2,n \in N$ , (3)

και
$f(y+n)=f(y)+2yn+n^2, m \in N, y \in Q^+$ , (4)

.

Τέλος θέτοντας στην αρχική x=n,y=m

όπου $m,n \in N$ και με τη βοήθεια των (3),(4)

λαμβάνω ότι $\displaystyle f( \frac{m}{n})= \frac{m^2}{n^2}$ άρα παίρνω την μοναδική λύση
f(z)=z^2

για όλα τα $z \in Q^+$

#3

#4

Μπορούμε να συμπεράνουμε ότι f(x)=x^2,

για κάθε

αν η $f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+;$

Απαντήστε χωρίς χαρτί και μολύβι.

Συναρτησιακή από IMAC

Συναρτησιακή από IMAC

Re: Συναρτησιακή από IMAC

Re: Συναρτησιακή από IMAC

Re: Συναρτησιακή από IMAC

Μέλη σε σύνδεση