Συναρτησιακή από Τουρκία

#1

Να προσδιορίσετε όλες τις μη φθίνουσες συναρτήσεις $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ τέτοιες ώστε f(f(x^2)+y+f(y))=x^2+2f(y) ,

για κάθε $x,y \in \mathbb{R}.$

edit
Διευκρίνηση (μετά από μήνυμα του Σπύρου):

Στα παραπάνω ως μη φθίνουσα(non-decreasing) εννοούμε: $x>y\implies f(x)\geq f(y).$

Lymperis Karras · #2

Επαναφορά

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #3

Ενδιαφέρουσα

Συμβολίζω με P(x,y)

την δοσμένη σχέση.
P(0,0): f(2f(0))=2f(0)

Περίπτωση 1: f(0)<0

.
Τότε

για

Έστω

.

, θέτω

. Πρέπει

.
$P(\sqrt{k},k): f(k)=k\Rightarrow k=0$ άτοπο.
Περίπτωση 2: $f(0)\geq 0$ .
$P(\sqrt{2f(0)},0): f(3f(0))=4f(0)$ .
$P(\sqrt{3f(0)},0): f(5f(0))=5f(0)$ .
$P(0,2f(0)): f(f(0)+2f(0)+f(2f(0)))=2f(2f(0))\Leftrightarrow f(5f(0))=4f(0)$ .
Άρα $5f(0)=4f(0)\Leftrightarrow f(0)=0$ .
P(x,0): f(f(x^2))=x^2

άρα

για

.

.
Για

θα είναι

άρα

.
Η αρχική γίνεται Q(x,y): f(x+y+f(y))=x+2f(y)

για $x\in R_{\geq 0},y\in R$ .
Παίρνω y<0

. Τότε $f(y)\leq 0$ . Αν f(y)=0

τότε

δηλ

άτοπο
Άρα f(y)<0

για

.

. Η μόνη περίπτωση να συμβαίνει αυτό είναι y-f(y)=0

. (αν

τότε

ενώ αν

τότε

).

Έτσι f(x)=x

για κάθε

η οποία επαληθεύει και τις συνθήκες.

Συναρτησιακή από Τουρκία

Συναρτησιακή από Τουρκία

Re: Συναρτησιακή από Τουρκία

Re: Συναρτησιακή από Τουρκία

Μέλη σε σύνδεση