Σύνολα

#1

Προσδιορίστε όλα τα σύνολα

θετικών ακεραίων τέτοια ώστε για οποιαδήποτε δύο, όχι απαραίτητα διαφορετικά, στοιχεία a,b

του

ο αριθμός $\displaystyle{\frac{a+b}{(a,b)}}$ να ανήκει στο

#2

Ας είναι

είναι ένα μη κενό υποσύνολο των ακεραίων με αυτή την ιδιότητα. Θα αποδείξουμε ότι είναι ένα από τα εξής:

$\left\{2 \right\}$ , $\left\{1,2,3,... \right\}$ , $\left\{2,3,4,... \right\}$ .

Καταρχήν $2\in M$ αφού υπάρχει κάποιο $x\in M$ και $\displaystyle{2=\frac{x+x}{\left(x,x \right)}}$

$\bullet$ Αν $1\in M$ τότε $3\in M$ αφού $\displaystyle{3=\frac{1+2}{\left(1,2 \right)}}$ και γενικά αν $x\in M$ τότε $\displaystyle{x+1=\frac{x+1}{\left(x,1 \right)}\in M}$ , δηλαδή $M=\left\{1,2,3,... \right\}.$

$\bullet$ Αν $1\notin M$ τότε υπάρχουν δύο περιπτώσεις:

(1)

Το Μ να μην περιέχει άλλα στοιχεία εκτός από το

. Τότε $M=\left\{2 \right\}.$

(2)

Το Μ να περιέχει και άλλα στοιχεία μεγαλύτερα από το

. Τότε ας είναι

το ελάχιστο στοιχείο του συνόλου $M-\left\{2 \right\}$ .

Ισχυρισμός m=3

Ας υποθέσουμε ότι $m\geq 4$ .

1η περίπτωση

Αν

περιττός τότε $m=2x+1\geq 5$ (οπότε $x\geq 2$ )

$2x+3=\left(2x+1 \right)+2\in M$ και ομοίως $2x+5\in M$

$4x+6=\left(2x+1 \right)+\left(2x+5 \right)\in M$

$\displaystyle{2x+4=\frac{\left(4x+6 \right)+2}{2}\in M}$

$\displaystyle{x+3=\frac{\left(2x+4 \right)+2}{2}\in M}$

Τώρα $2<x+3\leq 2x+1=m$ , οπότε x=2

και

$7=5+2\in M$ και $12=7+5\in M$

$\displaystyle{6=\frac{2+12}{2}\in M}$ και $\displaystyle{4=\frac{2+6}{2}\in M}$ , άτοπο.

2η περίπτωση

Αν

άρτιος τότε $m=2x\geq 4$ (οπότε $x\geq 2$ )

$\displaystyle{x+1=\frac{2x+2}{2}\in M}$

Τώρα 2<x+1<2x=m

, άτοπο.

Επομένως ο ισχυρισμός αποδείχθηκε.

Εφόσον για $2x+1\in M\Rightarrow 2x+3=(2x+1)+2\in M$ , το

θα περιέχει όλους τους περιττούς.

Από τις ισότητες 4r+4=(2r+1)+(2r+3)

και

έπεται ότι το

θα περιέχει όλους τους άρτιους
τους μεγαλύτερους ή ίσους του

.

$\displaystyle{6=\frac{10+2}{2}\in M}$

$\displaystyle{4=\frac{6+2}{2}\in M}$

Τελίκά $M=\left\{2,3,4,... \right\}$

#3

APMO 2004
https://artofproblemsolving.com/communi ... longs_to_s

Σύνολα

Σύνολα

Re: Σύνολα

Re: Σύνολα

Μέλη σε σύνδεση