Συναρτησιακές----->Bulletin(1/?)

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#121

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μάιος 03, 2011 4:14 pm

87.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle { f(xf(y))=f(xy)+x ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+.
(viewtopic.php?f=111&t=14888)

88.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(x^{2}+xy+f(y))=\left(f(x)\right)^{2}+xf(y)+y , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=14917)

89.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle f(x+xy+f(y)) =\left(f(x)+\frac{1}{2}\right)\left(f(y)+\frac{1}{2}\right)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=14935)

90.
Θεωρούμε συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} τέτοια ώστε

\displaystyle{ | f(x + y) + \sin x +\sin y| \leq 2 }, για κάθε x, y \in  \mathbb{R}.

α) Να δείξετε ότι |f(x)| \leq 1 + \cos x, για κάθε x \in  \mathbb{R}.
β) Βρείτε παράδειγμα τέτοιας συνάρτησης για την οποία f(x)\ne 0, \ \forall x \in (-\pi,\pi).
(viewtopic.php?f=111&t=14934)

91.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle 2f(x) = f(x + y) + f(x + 2y) , για κάθε x \in \mathbb{R}, \ y \geq 0.
(viewtopic.php?f=111&t=14981)

92.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle  f(x^{3}+y^{3})=xf^{2}(x)+yf^{2}(y)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=14983)

93.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(x+yf(x))=f(f(x))+xf(y)   , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=14984)

94.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσειςf:Q^+ \to Q^+: f(x)+f(y)+2xyf(xy)=\frac{f(xy)}{f(x+y)}
(viewtopic.php?f=111&t=15021)

95.
Δίνεται συνάρτηση f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε \displaystyle   f(x + \sin x) \leq x \leq f(x) + \sin f(x), για κάθε x \in \mathbb{R}.

Να λυθεί η ανίσωση f(x) \geq x.
(viewtopic.php?f=56&t=15025)

96.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle x^2f(x)=f(x^2)   , για κάθε x \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=56&t=15026)

97.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle  (1 + yf(x))(1 - yf(x + y)= 1 , για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+.
(viewtopic.php?f=56&t=15027)

98.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(x) = \max_y (2xy-f(y)) , για κάθε x \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15236)

99.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(1) = 1 και \displaystyle    
f(x + f(y)) = f(x) + f(f(y)) + 3xy^6 + 3x^2f(y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15237)

100.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle    
f(x) f(y) = f(y) f(x f(y))+\frac{1}{xy}, για κάθε x,y>0. \mathbb{R}^+=(0,+\infty)
(viewtopic.php?f=111&t=15238)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#122

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μάιος 03, 2011 4:28 pm

101.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

f(e^x+e^y)=f(x+y), \forall x \ge 0 \wedge \forall y \le 0
(viewtopic.php?f=111&t=15274)

102.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    
f \left((x - y)^2\right) = f(x)^2 -2xf(y) + y^2 , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15276)

103.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    
f(xf(y) + x) = xy + f(x), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15277)

104.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    
f(f(x)+xy) = f(x)\cdot f(y+1), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15278)

105.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} τέτοιες ώστε \displaystyle    
f(f(x) + y) = x + f(y + 2006) , για κάθε x,y \in \mathbb{Z}.
(viewtopic.php?f=111&t=15279)

106.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα p, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε \displaystyle    
xp(x)p(1 - x) + x^3 + 100 \geq 0 , για κάθε x \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15275)

107. (ΕΜΕ, Άσκηση του Μήνα- Μάρτιος,Απρίλιος 2011)
Η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} ικανοποιεί τη σχέση:

\displaystyle{ \displaystyle \frac{\sqrt{5}+1}{2}f(x)=f(x+1)+f(x-1)} για κάθε x \in \mathbb{R} \ \ \ \ \ \ (1).

1) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι περιοδική με περίοδο 10.
2) Να εξηγήσετε γιατί υπάρχουν άπειρες συναρτήσεις που ικανοποιούν τη σχέση (1).
(viewtopic.php?f=111&t=15280)

108.
Έστω a,b \in \mathbb{R}^* και f: \mathbb{R} \to [0,+\infty) συνάρτηση με την ιδιότητα

\displaystyle{f(x+a+b)+f(x)=f(x+a)+f(x+b), \forall x \in \mathbb{R}}

1) Αν \displaystyle{\frac {a}{b} \in \mathbb{Q}}, να αποδείξετε ότι η f είναι περιοδική.

2) Αν \displaystyle{\frac {a}{b} \in \mathbb{R}-\mathbb{Q}}, υπάρχει μη περιοδική συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση;
(viewtopic.php?f=111&t=15178)

109.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα :

\displaystyle{(x-2)f(y)+f(y+2f(x))= f(x+yf(x)), \qquad \forall x,y \in \mathbb R.}
(viewtopic.php?f=111&t=15189)

110.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f\mathbb{R}\leftrightarrow\mathbb{R} ώστε να ισχύει

f(a +b - c) = f(a) + f(b) - f(c) για κάθε a , b , c πραγματικούς.
(viewtopic.php?f=111&t=15281)

111.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f,g: \mathbb{Q}\to \mathbb{Q} για τις οποίες ισχύουν οι σχέσεις:

f\left( g\left(x\right)-g\left(y\right) \right)=f\left(g\left(x\right) \right) \right)-y (1)

g\left( f\left(x\right)-f\left(y\right) \right)=g\left(f\left(x\right) \right) \right)-y (2)

για κάθε x,y \in \mathbb{Q}.
(viewtopic.php?f=58&t=14850)

112.
Αν για κάθε x,y\in \mathbb{R} ισχύει f(x)-f(y)\le {{(x-y)}^{2}} με f(e)=1 να βρείτε την f.
(viewtopic.php?f=53&t=12694)

113.
Δίνεται μια συνάρτηση f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε |f(a)-f(b)|<|a-b|,\forall a,b \in \mathbb{R},a\neq b

Αν ισχύει f(f(f(0)))=0 να δειχθεί οτι: f(0)=0
(viewtopic.php?f=52&t=10634)

114.
Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το IR ικανοποιεί τη σχέση f(2x+f(y))=x+y +f(f(x)) , \forall x ,y \in \mathbb R.
Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1 και να βρεθούν όλες αυτές οι συναρτήσεις με τη δοσμένη ιδιότητα.
(viewtopic.php?f=52&t=7585)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#123

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Μάιος 06, 2011 4:03 pm

115.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} , για τις οποίες ισχύουν τα εξής:

f(2)>1, f(-2)<-1 και f(f(x))=[f(x)]^{2n+1}, \forall x \in \mathbb{R}, όπου n είναι ένας θετικός ακέραιος.
(viewtopic.php?f=111&t=15317)

116.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x^2 + f(y))= (x - y)^2 \cdot f(x + y), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15324)

117.
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle f(xy)f\left(\frac{f(y)}{x}\right)=1, για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+, όπου \mathbb{R}^+=(0,+\infty).
(viewtopic.php?f=111&t=15369)

118.
Να προσδιορίσετε όλες τις αύξουσες συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0 τέτοιες ώστε \displaystyle f(yf(x))=x^2f(xy), για κάθε x,y\geq 0, όπου \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty).

Πιο γενικά:
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+_0 \rightarrow \mathbb{R}^+_0 τέτοιες ώστε \displaystyle f(yf(x))=x^2f(xy), για κάθε x,y\geq 0, όπου \mathbb{R}^+_0=[0,+\infty).
(viewtopic.php?f=111&t=15370)

119.
α) Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} τέτοια ώστε f(1 + xy) = f(x) + 2x(1 + xy - x), για κάθε x,y \in \mathbb{R};

β) Υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R}^* \to \mathbb{R} τέτοια ώστε f(1 + xy) = f(x) + 2x(1 + xy - x), για κάθε x\ne 0,xy+1\ne 0;
(viewtopic.php?f=111&t=15375)

120.
Να βρεθούν όλες οι διαφορίσιμες συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} τέτοιες ώστε

f(f(f(x)))=f(x)\geq 0 για κάθε x\in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=59&t=13862)

121.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} που ικανοποιούν τις σχέσεις :f(xy)=f(x)f(y)-f(x+y)+1,\,\, για κάθε x,y\in\mathbb{Q} και f(1)=2
(viewtopic.php?f=111&t=4277)

122.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{N} \to \mathbb{N} τέτοιες ώστε:f(m^2+f(n))=f(m)^2+n,\forall m,n \in \mathbb{N}
(viewtopic.php?f=111&t=7799)

123.
Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{N}^*\to \mathbb{N}^*, με \displaystyle{f(n)=\left[\frac {an+b}{cn+d}\right]},

όπου a,b,c,d \in \mathbb{N} και c+d \neq 0.

Να αποδειχθεί ότι η f είναι 1-1, αν και μόνον αν c=0 και a \ge d

([.]=ακέραιο μέρος)
(viewtopic.php?f=111&t=13478)

124.
Να βρεθουν ολες οι συναρτησεις f,g: R \rightarrow R για τις οποιες:

f(x - f(y)) = xf(y) - yf(x) + g(x) \forall x,y \in R
(viewtopic.php?p=40371#p40371)

125.
Να βρεθούν οι γνησίως μονότονες και επί συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες αληθεύει η σχέση

\displaystyle{(f \circ f)(x+y)=f^{-1}(x)+f^{-1}(y), \forall x,y \in \mathbb{R}}
(viewtopic.php?f=111&t=12696)

126.
Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών a,b,c έτσι ώστε να αληθεύει η σχέση |ax^2+bx+c| \le |cx^2+bx+a|, \forall x \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=69&t=14577)

127.
Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μία συνάρτηση με την ιδιότητα

2^{1+f(x+1)} \ge 2^{f(x)}+2^{f(x+2)}, \forall x \in \mathbb{R}

Αν υπάρχει το \displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x), να αποδείξετε ότι η f είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=111&t=12452)

128.
Έστω a\in\mathbb{R} και f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέθοια ώστε f(x+y)=f(x)f(a-y)+f(y)f(a-x)\,\,\,\,\,\forall x,y\in\mathbb{R} και f(0)=\frac{1}{2}. Ας δειχθεί ότι η f είναι σταθερή.
(viewtopic.php?f=56&t=1135)

129.
Έστω f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέθοια ώστε f(x)+f(y)=f(x+y)-xy-1\,\,\,\,\,\forall x,y \in\mathbb{R} και f(1)=1. Να βρεθεί ο αριθμός των ακεραίων n για τους οποίους f(n)=n.
(viewtopic.php?f=56&t=1135)

130.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x+y)-2f(x-y)+f(x)-2f(y)=y-2, για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15379)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#124

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 11, 2011 7:08 pm

131.
Αν a \in \mathbb{R} και n θετικός ακέραιος, να βρεθούν οι 1-1 συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες

έχουν την ιδιότητα f^{[n+1]}(x)+f^{[n]}(x)=a, \forall x \in \mathbb{R}

( f^{[1]}=f και f^{[n+1]}=f \circ f^{[n]} )
(viewtopic.php?f=111&t=15467)

132.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις \displaystyle f:\mathbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \mathbb{R}_{\geq 0} τέτοιες ώστε \displaystyle f(1)=\frac{1}{2} και f(y\cdot f(x))\cdot f(x) = f(x + y), για κάθε x,y {\geq 0}.
(viewtopic.php?f=111&t=15477)

133.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f:(0,+\infty) \to \mathbb{R}}, για τις οποίες ισχύει

\displaystyle{f(x)+f(x^2)+f(x^4)=x^8-x+7lnx, \forall x>0}
(viewtopic.php?f=111&t=15398)

134.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα p, με πραγματικούς συντελεστές, βαθμού n \ge 1 για τα οποία αληθεύει η σχέση

\displaystyle{p(nx)=p^{\prime}(x)p^{\prime\prime}(x)p^{(3)}(x)\cdot \cdot \cdot p^{(n)}(x), \forall x \in \mathbb{R}}
(viewtopic.php?f=27&t=15397)

135.
Δίνονται οι συναρτήσεις f, g με τις ιδιότητες:
f\left(g\left(x \right) \right)=g\left(f\left(x \right) \right) για κάθε x\in R (1)
και
2\left[f\left(g\left(x \right) \right) \right]^{4}+2=\left(g\left(x \right) \right)^{4}+g\left(x \right)^{3} για κάθε x\in R (2).
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει c\in R τέτοιο, ώστε f\left(c \right)=c.
(viewtopic.php?f=56&t=12300)

136.
Να βρείτε τις συναρτήσεις f:(0,+\infty) \to \mathybb{R} με την ιδιότητα \displaystyle{1+f(x-y) \leq (\frac {1}{x}-\frac {1}{y})^2(1+f(xy)), \forall x,y \in \(0,+\infty)} με x>y
(viewtopic.php?f=111&t=10741)

137.
Να βρεθεί η συνάρτηση \displaystyle{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}}, η οποία έχει την ιδιότητα \displaystyle{|f(x)|\leq |xf(\{x\})|, \forall x \in \mathbb{R}} (οι αγκύλες σημαίνουν το κλασματικό μέρος του αριθμού)
(viewtopic.php?f=40&t=9987)

138.
Αν n είναι ένας φυσικός \geq2, να βρεθεί η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, για την οποία για κάθε A\subset \mathbb{R} με card(A)=n αληθεύει η σχέση f(A)=A
(viewtopic.php?f=111&t=10359)

139.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες έχουν την ιδιότητα f(x)+y=f(x+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=7919)

140.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb R\to \mathbb R για τις οποίες ισχύει : f\big(f(x+y)\big)=xf(x)+yf(y) για κάθε x,y \in \mathbb R
(viewtopic.php?f=111&t=9602)

141.
Να βρεθούν οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f,g: \mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες
f^{\prime}(x+g(y))=g(x)+y, \forall x,y \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=10406)

142.
Δίνονται οι συναρτήσεις f,g: R \rightarrow R^{*} για τις οποίες για κάθε x_{1},x_{2},x_{3} \in R

με x_{1}<x_{2}<x_{3} ισχύει ότι f(x_{1}).f(x_{2}).f(x_{3})=g(x_{1}).g(x_{2}).g(x_{3})

Να αποδείξετε ότι f=g.
(viewtopic.php?f=52&t=15146)

143.
Έστω f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} μία γνησίως μονότονη συνάρτηση. Αν για τις μονότονες συναρτήσεις h,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} ισχύει g(f(x))=h(f(x))=x, \forall x \in \mathbb{R}, να αποδειχθεί ότι g=h
(viewtopic.php?f=64&t=15097)

144.
Ας είναι f:\Big[0,1\Big] \rightarrow \mathbb{R} συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(0)=f(1) και ας είναι n \in \mathbb{N} \ n \ge 2. Να δειχθεί ότι υπάρχει x \in (0,1) τέτοιο ώστε:

\displaystyle{ f(x)=f\left( x+\frac{1}{n} \right)}
(viewtopic.php?f=111&t=12195)

145.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(x+y)f(x-y)=\left(f(x)+f(y)\right)^{2}-4x^{2}f(y), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15478)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#125

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Μάιος 18, 2011 8:34 pm

146.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f:[0,+\infty) \to [0,+\infty)} με

\displaystyle{f(x^2+x) \le x \le f^2(x)+f(x), \forall x \ge 0}
(viewtopic.php?f=109&t=15508)

147.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:[a,b] \to [a,b] για τις οποίες

\displaystyle{f(f(x))+f(x)=2x, \forall x \in [a,b]}
(viewtopic.php?f=111&t=15509)

148.
Αν a,b θετικοί ακέραιοι, να βρεθούν οι συναρτήσεις f:\mathbb{Z} \to \mathbb{N} με την ιδιότητα

af(x-1)+bf(x)=(a+b)f(x+1), \forall x \in \mathbb{Z}
(viewtopic.php?f=111&t=15549)

149.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:\mathbb{Q} \to \mathbb{Q} που ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{f(x+y)=min\{f(x),f(f(y))\}+max\{f(f(x)),f(y)\}, \forall x,y \in \mathbb{Q}}
(viewtopic.php?f=111&t=15554)

150.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα

\displaystyle{f(x)=\int_0^{sinx}f(t)dt, \forall x \in \mathbb{R}}
(viewtopic.php?f=9&t=15568)

151.
Έστω A ένα σύνολο αριθμών και f:A \to A μία συνάρτηση, για την οποία ισχύει

f(a)-f(b)=a-b, \forall a,b \in A. Να αποδειχθεί ότι το A είναι απειροσύνολο ή η f είναι η ταυτοτική.
(viewtopic.php?f=111&t=15535)

152.
Αν m,n είναι θετικοί ακέραιοι και A το σύνολο των συναρτήσεων f:\{1,2,...,m\}\to \{\pm1,\pm2,...,\pm n\} ώστε \displaystyle \frac {|f(x)|-|f(y)|}{x-y}>0, \forall x,y \in \{1,2,...,m\}, x \neq y.
Να αποδείξετε ότι m \le n και να βρείτε το πλήθος των στοιχείων του A
(viewtopic.php?f=111&t=14155)

153.
Έστω n \in \mathbb{N}, τέτοιο ώστε \sqrt {n} \notin \mathbb{N} και A=\{ a+b \sqrt {n}/ a,b \in \mathbb{N}, a^2-nb^2=1 \}
Να αποδειχθεί ότι η συνάρτηση f:A \to \mathbb{N}, f(x)=[x] είναι 1-1, αλλά όχι επί. (\mathbb{N}=\{1,2,...\})
(viewtopic.php?f=111&t=7438)

154.
Δίνονται οι παραγωγίσιμες στους πραγματικούς συναρτήσεις \displaystyle{ 
f,g 
} (μή σταθερές),για τις οποίες ισχύουν οι παρακάτω σχέσεις:

\displaystyle{ 
\begin{array}{l} 
 f(x + y) = f(x)f(y) - g(x)g(y),\forall x,y \in R \\  
 g(x + y) = f(x)g(y) + f(y)g(x),\forall x,y \in R \\  
 \end{array} 
}

Αν είναι γνωστό πως \displaystyle{ 
f'(0) = 0 
} τότε να αποδείξετε ότι:

\displaystyle{ 
f^2 (x) + g^2 (x) = 1,\forall x \in R 
}
(viewtopic.php?f=61&t=15007)

155.
Να βρεθούν όλες οι πολυωνυμικές συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, με ακέραιους συντελεστές, οι οποίες είναι 1-1 και ικανοποιούν τη σχέση f^2(x)=f(x^2)-2f(x)+a, \forall x \in \mathbb{R}, όπου a \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=111&t=6874)

156.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R οι οποίες για κάθε x,y\epsilon R ικανοποιούν την ισότητα:
\displaystyle f([x]y)=f(x)[f(y)] όπου [x] είναι ο μέγιστος ακέραιος,μικρότερος ή ίσος του x
(viewtopic.php?f=50&t=8234, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 4&t=356075&)

157.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f, με πεδίο ορισμού το σύνολο των θετικών ακεραίων και με τιμές στο σύνολο των θετικών ακεραίων, που είναι τέτοιες ώστε για όλους τους θετικούς ακεραίους a και b να υπάρχει (μη εκφυλισμένο) τρίγωνο (\star) με μήκη πλευρών a, \ \ f(b) και f\left(b+f(a)-1\right).

(\star) Ένα τρίγωνο είναι μη εκφυλισμένο, αν οι κορυφές του δε βρίσκονται σε μία ευθεία.
(viewtopic.php?f=50&t=2094, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 0&t=289055&)

158.
'Εστω N^{*} = \{1,2,3,...\} το σύνολο των θετικών ακεραίων. Βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: N^{*}\to N^{*} που είναι τέτοιες ώστε

f(f^2(m) + 2f^2(n)) = m^2 + 2n^2 για κάθε m,n\in N^{*}.
(viewtopic.php?f=50&t=1253, http://rms.unibuc.ro/gazeta/gmb/2009/7-8-9/articol.pdf, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=274322&)

159.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα p, με πραγματικούς συντελεστές, τέτοια ώστε p(0)=0 και \displaystyle { p \left( (x+1)^3 \right) = (p(x)+1)^3 }.
(viewtopic.php?f=111&t=15622)

160.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle f\left( \frac{x-3}{x+1} \right )+f \left( \frac{x+3}{1-x} \right) = x , για κάθε x \in \mathbb{R}-\{-1,1\}.
(viewtopic.php?f=111&t=15620)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#126

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μάιος 24, 2011 4:37 pm

161.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle  f(x+y)+f(xy)=x+y+xy , για κάθε x,y \in \mathbb{R}^+, όπου \mathbb{R}^+=(0,+\infty).
(viewtopic.php?f=111&t=15654)

162.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle  {x^2y^2 \left( f(x + y) - f(x) - f(y) \right) = 3(x + y)f(x)f(y) }, για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15656)

163.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle  {f\left( f \left(\frac{x+y}{2} \right)\right)=f(x+y) \cdot f(x-y), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15660)

164.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle  f(x+f(y))=y+f(x+1)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15661)

165.
Να δείξετε ότι υπάρχουν άπειρες συνεχείς συναρτήσεις f: [0,+\infty) \to [0,+\infty) τέτοιες ώστε f(1)=1 και f(f(x))=f^2(x), \ \forall x \in [0,+\infty),
ενώ μοναδική μη σταθερή παραγωγίσιμη με αυτές τις ιδιότητες.
(viewtopic.php?f=111&t=15781)

166.
Να προσδιορίσετε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle \frac{f(x)-f(y)}{x-y}\geq \max \{f^{\prime}(x),f^{\prime}(y)\} , για κάθε x,y \in \mathbb{R}, \ x\ne y.
(viewtopic.php?f=56&t=15782)

167.
Να βρεθούν τα πολυώνυμα P(x) (x \in	 \mathbb{R}) που είναι τέτοια ώστε P(x^2) +P(x)P(x+1)=0 .
Αν αντί για πολυώνυμο είχαμε συνάρτηση?
(viewtopic.php?f=111&t=15682)

168.
Έστω f(x) τετραγωνικό πολυώνυμο.
Να δείξετε ότι υπάρχουν τετραγωνικά πολυώνυμα g(x),h(x) τέτοια ώστε f(x)f(x + 1) = g(h(x)).
(viewtopic.php?f=111&t=15783)

169.
Θεωρούμε την ακολουθία \{x_n\}_{n\geq 0} που ορίζεται ως x_0=1,\ x_1=41, \ x_{n+2}=3x_n+\sqrt{8(x_n^2+x^2_{n+1})}, \ n\geq 0.

Να δείξετε ότι η ακολουθία αποτελείται από όρους που είναι φυσικοί αριθμοί και να βρείτε κλειστό τύπο για την x_n.
(viewtopic.php?f=111&t=15780)

170.
Να βρεθούν όλες οι 1-1, συνεχείς και επί συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες

f(x)f(y)+f(x)+f(y)=f(xy)+a, \forall x,y \in \mathbb{R}, όπου a σταθερός πραγματικός αριθμός.
(viewtopic.php?f=59&t=15766)

171.
Δείξτε ότι για κάθε συνάρτηση \varphi : (1,+\infty) \to \mathbb{R} υπάρχει μοναδική συνάρτηση f:(1,+\infty)\to \mathbb{R} τέτοια ώστε \sin f(t) + tf(t) = \varphi(t), \forall t \in (1,+\infty).

Επιπλέον, αν η \varphi είναι συνεχής, τότε και η f είναι συνεχής, ενώ αν η \varphi είναι παραγωγίσιμη το ίδιο ισχύει και για την f.
(viewtopic.php?f=56&t=15657)

172.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με f(x)=ax^2+bx+c, οι οποίες έχουν

την ιδιότητα για κάθε n \in \mathbb{N}^* και για κάθε x \in [n,n+1], αληθεύει η πρόταση

f(x) \in [n^2-2n,n^2-1]
(viewtopic.php?f=111&t=14601)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#127

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Κυρ Μάιος 29, 2011 9:42 pm

173.
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f: (0,+\infty) \to \mathbb{R} για τις οποίες

\displaystyle{f\left(e^{f(x)}\right)=f(x), \forall x>0}
(viewtopic.php?f=59&t=15888)

174.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle  xf(y)+yf(x)=(x+y)f(xy)-xyf(x+y), για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15901)

175.
Υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση f :\mathbb{R} \to  \mathbb{R} τέτοια ώστε f^{\prime}(x) = f(f(x)), για κάθε x; (Putnam 2010)
(viewtopic.php?f=59&t=15902, http://amc.maa.org/a-activities/a7-prob ... /2010s.pdf)

176.
Να προσδιορισθούν όλες οι συνεχείς f:\mathbb R \to \mathbb R ώστε για κάθε x να ισχύει: f(f(f(x)))-3f(x)+2x=0.
(viewtopic.php?f=59&t=15949)

177.
Να προσδιορίσετε όλες τις μονότονες συναρτήσεις f:\mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε
\displaystyle  f(x+y)-f(x)-f(y)=f(xy+1)-f(xy)-f(1), για κάθε x,y \geq 0 και
f(3)+3f(1)=3f(2)+f(0).
(http://www.mathnet.or.kr/mathnet/olympi ... 05(30).pdf, viewtopic.php?f=111&t=15976, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=410339)

178.
Να βρεθούν όλες οι μη μηδενικές συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες είναι συγχρόνως προσθετικές (f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}) και πολλαπλασιαστικές ( f(xy)=f(x)f(y), \forall x,y \in \mathbb{R})
(viewtopic.php?f=111&t=15917, viewtopic.php?f=111&t=12924)

179.
Να προσδιοριστούν όλες οι συναρτήσεις f:R \rightarrow R που είναι τέτοιες ώστε

\displaystyle (f(x)+f(z))(f(y)+f(t))=f(xy-zt)+f(xt+yz)

για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y,z,t.
(viewtopic.php?f=111&t=15827, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=17333&)

180.
Ύπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{ 
f:\left[ {0,2} \right] \to R 
} με \displaystyle{ 
f(0) = 0 
} που να ικανοποιεί τη σχέση: \displaystyle{ 
f'(x) - f^4 (x) = 1,\forall x \in \left[ {0,2} \right] 
};
(viewtopic.php?f=61&t=15899)

181.
Άραγε να υπάρχει συνάρτηση f : R -> (0,+00) παραγωγίσιμη με συνεχή παράγωγο,για την οποία να ισχύει:\displaystyle{ 
f^{\prime}  = f \circ f 
};
(viewtopic.php?f=53&t=1801)

182.
Bρείτε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} που ικανοποιούν την εξίσωση f(xy)\left(f(x)-f(y)\right)=(x-y)f(x)f(y) για κάθε x και y.
(viewtopic.php?f=59&t=15575, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 38&t=17450&)

183.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f : R -> R που ικανοποιούν την εξίσωση
f(x + y) + f(x)f(y) = f(xy) + f(x) + f(y), \ \forall x,y\in\mathbb{R}
(viewtopic.php?f=111&t=409, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=385670&)

184.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f,g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(x)f(y)=g(x)g(y)+g(x)+g(y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=15978, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=408195)

185.
Να προσδιορίσετε όλες τις ακολουθίες \{a_n\}_{n>0}, θετικών ακεραίων τέτοιες ώστε \displaystyle a_{a_{n}}+a_n=2n, για κάθε n \in \mathbb{N}.
(viewtopic.php?f=111&t=15977)
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Τρί Ιουν 07, 2011 7:58 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#128

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιουν 01, 2011 5:42 pm

186.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}} που έχουν την ιδιότητα σε κάθε μη τετριμμένο κλειστό διάστημα, παρουσιάζουν ελάχιστο και μέγιστο στο εσωτερικό του διαστήματος.
(viewtopic.php?f=61&t=16030)

187.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}}, η οποία έχει αρχική και για μία οποιαδήποτε

αρχική της \displaystyle{F} ικανοποιεί τις σχέσεις \displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\left(F\circ f\right)=+\infty} και \displaystyle{\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\left(F\circ f\right)=-\infty}
(viewtopic.php?f=61&t=16066)

188.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f με πεδίο ορισμού το \mathbb R που έχουν την ιδιότητα :

x^2+y^2+2f(x)f(y) = f(x+y)(f(x)+f(y))

για όλες τις τιμές των x,y.
(viewtopic.php?f=111&t=15986)

189.
Nα βρεθούν οι 1-1 συναρτήσεις \displaystyle{f:R \to R}
για τις οποίες ισχύει \displaystyle{f\left( {x + f\left( {y + f\left( z \right)} \right)} \right) = f\left( {x + y + z+1} \right) + 1,\forall x,y,z \in R}
(viewtopic.php?f=52&t=16010, viewtopic.php?p=83715#p83715)

190.
Έστω συνεχής στο R συνάρτηση f για την οποία ισχύει f(f(x))=a\ f(x)+b \ x για κάθε πραγματικό αριθμό x, όπου 0<a<1/2 και 0<b<1/2. Να αποδείξετε ότι f(0)=0
(viewtopic.php?f=61&t=4135)

191.
Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=a[x]+b\{x\}, όπου [x] το ακέραιο μέρος του x και \{x\} το δεκαδικό μέρος του x
Να αποδειχθεί ότι
1) Αν |a|\geq |b|>0, τότε η f είναι 1-1
2) Αν |b|\geq |a|>0, τότε η f είναι επί
(viewtopic.php?f=61&t=5866)

192.
Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R} είναι συνεχής και για κάθε a,b\in \mathbb{R} με a<b, υπάρχουν c,d ώστε a\leq c\leq d\leq b και f(c)=min\{f(x),x\in [a,b]\}, f(d)=max\{f(x),x\in [a,b]\}. Να αποδειχθεί ότι η f είναι αύξουσα
(viewtopic.php?f=9&t=6215)

193.
f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R} συναρτήσεις, ώστε:
1) Η g είναι 1-1
2) f(g(x))=g(f(x)), \forall x\in \mathbb{R}
3) Το σύνολο A=\{x \in \mathbb{R}/f(x)=x \} είναι μη κενό και πεπερασμένο
Να αποδειχθεί ότι υπάρχει θετικός ακέραιος n ώστε g^n(x)=x, \forall x\in A
(g^1(x)=g(x), g^{n+1}(x)=g(g^n(x)))
(viewtopic.php?f=111&t=9059)

194.
Έστω \mathcal{U} το σύνολο των συναρτήσεων f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες έχουν την ιδιότητα
f(f(x)+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R}
α) Να βρείτε τις συναρτήσεις του συνόλου \mathcal{U}, οι οποίες είναι 1-1
β) Να βρείτε τις συναρτήσεις του συνόλου \mathcal{U}, οι οποίες είναι επί
γ) Να αποδείξετε ότι υπάρχει συνάρτηση στο \mathcal{U}, η οποία δεν είναι ούτε 1-1, ούτε επί.
(viewtopic.php?f=111&t=8995)

195.
Έστω f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} συνάρτηση με την ιδιότητα f(f(x))=[x], \forall x \in \mathbb{R} ([x]=ακέραιο μέρος του x). Να αποδειχθεί ότι υπάρχουν a,b \in \mathbb{R} με a\neq b και |f(a)-f(b)| \geq |sina-sinb|
(viewtopic.php?f=40&t=9543)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#129

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιουν 01, 2011 5:44 pm

196.
Να βρεθεί συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}, παραγωγίσιμη, με συνεχή παράγωγο, ώστε
f(x)=max\{f^\prime(x),x+1\}
(viewtopic.php?f=61&t=5618)

197.
P_0,P_1,...,P_n, πολυώνυμα με πραγματικούς συντελεστές και a_1,a_2,...,a_n πραγματικοί αριθμοί. Να αποδειχθεί ότι αν η συνάρτηση f(x)=P_0(x)+\displaystyle\sum_{k=1}^{n}|P_{k}(x)|, x \in \mathbb{R} είναι 1-1, τότε θα είναι και επί του \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=7094)

198.
Μπορούμε να βρούμε μη κενό σύνολο A και μἰα 1-1 και επί συνἀρτηση f:A \to A, ώστε να υπάρχει ένα μη κενό και γνήσιο υποσύνολο H του A,
με την ιδότητα το f(H) να είναι γνήσιο υποσύνολο του H ;
(viewtopic.php?f=111&t=11654)

199.
Αν G είναι το σύνολο των 1-1 και επί συναρτσεων f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} και H ένα μη κενό γνήσιο υποσύνολο του G, ώστε αν f \in H \Rightarrow f^{-1} \in H και f,g \in H \Rightarrow f \circ g \in H, να αποδειχθεί ότι το G-H είναι απειροσύνολο.
(viewtopic.php?f=112&t=7363)

200.
Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f: \mathbb{C} \to \mathbb{C}, f(z)=2z+|z| είναι 1-1 και επί
(viewtopic.php?f=27&t=14627)

201.
Η συνάρτηση f:[0,1] \to \mathbb{R} είναι συνεχής με την ιδιότητα

\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :

x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1.

Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x \in [0,1]
(viewtopic.php?f=61&t=13631)

202.
Να βρεθούν (με απόδειξη) όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} που ικανοποιούν τη σχέση

f(f(x))+f(x)=x για κάθε x\in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=59&t=4366)

203.
Να αποδειχθεί ότι η ακολουθία που ορίζεται ως εξής

\displaystyle{a_1=1, a_{2n}=1+\frac {1}{a_n}, n \in \mathbb{N}^*, a_{2n+1}=1-\frac {1}{a_{2n}}, n \in \mathbb{N}^*}

αριθμεί τους θετικούς ρητούς με τρόπο ώστε κάθε όρος της να είναι ένας ακριβώς θετικός ρητός και κάθε θετικός ρητός να είναι ένας ακριβώς όρος της ακολουθίας
(viewtopic.php?p=73106#p73106)

204.
Να προσδιορίσετε όλες τις \text{1-1} συναρτήσεις f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(f(x))=f(x)+1 , για κάθε x \in \mathbb{Z}.
(viewtopic.php?f=111&t=16079)

205.
Να προσδιορίσετε όλες τις \text{1-1} συναρτήσεις f:\mathbb{N}^* \rightarrow \mathbb{N} τέτοιες ώστε \displaystyle   f\left(C^m_n \right)=C^{f(m)}_{f(n)} , για κάθε m,n \in \mathbb{N}^*, n \geq m,

όπου \displaystyle C^m_n=\binom n m.
(viewtopic.php?f=111&t=16081)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#130

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 18, 2011 7:05 pm

206.
Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g,h: \mathbb{R} \to \mathbb{R} με την ιδιότητα

\displaystyle{(x-y)f(x)+h(x)-xy+y^2\le h(y) \le (x-y)g(x)+h(x)-xy+y^2, \forall x,y \in \mathbb{R}}
(viewtopic.php?f=109&t=16177)

207.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες αληθεύει η σχέση

\displaystyle{\int_x^yf(t)dt \le f(x+y)} για κάθε x,y \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=16319)

208.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f\left(xf(y-x)\right)=f\left(yf(x)\right)-x^{2} , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16545, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=411407&)

Παρόμοιο πρόβλημα είναι το A7, IMO Shortlist 2009:

Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f\left(xf(x+y)\right) = f\left(yf(x)\right)+x^{2} , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.

209.
Να βρείτε τις συναρτήσεις f,g:[0,+\infty) \to [0,+\infty) ώστε η g να είναι προσθετική και επί και να αληθεύει η

g(y)+g(f(x))=f\left(x+g(y)\right), \forall x,y \in [0,+\infty)
(viewtopic.php?f=111&t=16631)

210.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς, 1-1 και επί συναρτήσεις f:[0,1] \to [0,1], οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση

\displaystyle{\int_0^1g(f(x))dx=\int_0^1g(x)dx}, για την οποιαδήποτε συνεχή συνάρτηση g:[0,1] \to \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=9&t=16650)

211.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:R\rightarrow R που για κάθε πραγματικό x ικανοποιούν τη σχέση: f(f(x))=3f(x)-2x
(viewtopic.php?f=111&t=16529)

212.
Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} τέτοια ώστε
f(x+y)+f(xy-1)=f(x)f(y)+f(x)+f(y)+1,\ \forall x,y \in \mathbb{R}.


α) Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση με την παραπάνω ιδιότητα.
β) Βρείτε τα f(0),f(-1).
γ) Αποδείξτε ότι η f είναι άρτια συνάρτηση.
δ) Βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.
ε) Βρείτε όλες τις παραγωγίσιμες συναρτήσεις με την παραπάνω ιδιότητα.
(viewtopic.php?f=56&t=2683)

213.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις με την ιδιότητα
f(x+y) = f(x)+f(y)+xy(x+y) ; x, y\in\mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=4257)

214.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα f(x) με πραγματικούς συντελεστές για τα οποία ισχύει f\left( x \right) \cdot f\left( {2{x^2}} \right) = f\left( {2{x^3} + x} \right) για κάθε πραγματικό αριθμό χ.
Από Βουλγαρία 1979 shortlist IMO
(viewtopic.php?f=111&t=2914)

215.
Να βρείτε το πολυώνυμο Ρ(χ) ώστε να ισχύει Ρ(Ρ(χ)+χ)=Ρ(χ)Ρ(χ+1) για κάθε πραγματικό αριθμό χ
(viewtopic.php?f=21&t=4564)

216.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P(x) που ικανοποιούν την P^{2}(x)-P(x^{2})=2x^{4},\forall x\in\mathbb{R}
(viewtopic.php?f=69&t=6400)

217.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα
\displaystyle{P({X^2} - X + 1) = {P^2}(X) - P(X) + 1} για κάθε χ πραγματικό και \displaystyle{P\left( 0 \right) = 0}
(viewtopic.php?f=111&t=16222)

218.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα τα οποία έχουν τουλάχιστον μία πραγματική ρίζα των οποίων οι συντελεστές παίρνουν τιμές από το σύνολο Α={-1,0,1}
(viewtopic.php?f=111&t=16499)

219.
Έστω n ένας θετικός ακέραιος. Να βρείτε το πλήθος των πολυωνύμων P(x) με συντελεστές που ανήκουν στο σύνολο S = \left\{ 0 , 1 , 2 , 3 \right\} και τέτοια ώστε P(2)=n
(viewtopic.php?f=27&t=11943)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#131

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 18, 2011 8:04 pm

220.
Να βρείτε όλα τα πολυώνυμα P με πραγματικούς συντελεστές που έχουν την ιδιότητα

P(x)P(2x^{2}-1)=P(x^{2})P(2x-1),\forall x\in R
(viewtopic.php?f=59&t=16146)

221.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: [0,1]\to R που ικανοποιούν την f(x)\geq 2xf(x^{2}),\forall x\in [0,1]
(viewtopic.php?f=59&t=16137)

222.
Έστω G:R\rightarrow R μια γνησίως μονότονη συνάρτηση. Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:[0,1]\rightarrow R που είναι τέτοιες ώστε
\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)G(f(x))dx=\int_{0}^{1}f(x)dx\int_{0}^{1}G(f(x))dx
(viewtopic.php?f=61&t=16132)

223.
Αν f:[-1,1]\to R συνεχής συνάρτηση : f(2x^2-1)=2xf(x), \forall x\in[-1,1] να βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης.
(viewtopic.php?f=56&t=1142)

224.
Έστω η f(x+y)=g(x)+h(y), \ x,y οποιοιδήποτε πραγματικοί και f συνεχής.Nα προσδιορίσετε τους τύπους των συναρτήσεων f,g,h
(viewtopic.php?f=52&t=1887)

225.
Να βρείτε τον τύπο της f όταν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x,y ισχύει f(x+y+1)=(\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)})^{2} , f(0)=0.
(viewtopic.php?f=52&t=1885)

226.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f\colon\mathbb{R}\to\mathbb{R} που είναι τέτοιες ώστε να ισχύει f(x+y)=max(f(x),y)+min(x,f(y)) για όλους τους πραγματικούς x,y
(viewtopic.php?f=111&t=16198)

227.
Να βρείτε τον τύπο της συνεχούς συνάρτησης f:[0,1]--->[0,1] που είναι τέτοια ώστε να ισχύει \displaystyle{\underbrace {f\left( {f\left( {...f\left( x \right)...} \right)} \right)}_{\nu  - \varphi o\rho \varepsilon \varsigma } = x,\forall x \in \left[ {0,1} \right]} και f(0)=0
(viewtopic.php?f=52&t=16172, viewtopic.php?p=84347#p84347)

228.
Έστω f: (0,+00)-> R μια παραγωγίσιμη συνάρτηση για την οποία ισχύουν:

1) \displaystyle{ 
e^y f(x) - e^x f(y) \le e^{x + y} (x - y)^2  
, \ } για κάθε x,y θετικούς.

2) f(1)=1/e.

Να προσδιορίσετε τον τύπο της f.
(viewtopic.php?f=53&t=6407)

229.
Αν η συνάρτηση \displaystyle{f} ικανοποιεί τη σχέση: \displaystyle{f'(x) + e^{f(x)}  = x + \frac{1} {x},\forall x > 0 } με \displaystyle{f(1) = 0}
τότε να βρείτε τον τύπο της.
(viewtopic.php?f=27&t=14717)

230.
Να προσδιορίσετε όλες τισ συναρτήσεις f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} που ικανοποιούν την f(xy)\le xf(y) για όλους τους πραγματικούς x,\,y
(viewtopic.php?f=52&t=2367)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#132

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Σάβ Ιουν 18, 2011 9:33 pm

231.
Για κάθε πραγματικό αριθμό χ διαφορετικό του 0 και του 1, ισχύει \displaystyle\ f(x)+f\left(\frac{1}{1-x}\right) =\frac{2(1-2x)}{x(1-x)}. Να βρείτε τον τύπο της f
(viewtopic.php?f=52&t=2052)

232.
Αν f,g:[0,1] \to \mathbb{R} είναι δύο συναρτήσεις, να αποδειχθεί ότι υπάρχουν x,y \in [0,1] , ώστε |f(x)+g(y)-xy|\geq \frac {1}{4}
(viewtopic.php?f=109&t=9524)

233.
Έστω η γνήσια φθίνουσα συνάρτηση \displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to \left( {0, + \infty } \right)} η οποία ικανοποιεί για κάθε \displaystyle{x \in R} τη σχέση \displaystyle{f(x)f\left( {f(x) + \frac{1}{x}} \right) = \frac{1}{2}}.

Να βρεθεί το f(1) -και η f.
(viewtopic.php?f=52&t=2712)

234.
Να βρεθούν όλες οι παραγωγίσιμες συναρτήσεις f στο R που ικανοποιούν την σχέση \int\limits_x^y {f\left( t \right)dt = \left( {y - x} \right)} f\left( {\frac{{x + y}}{2}} \right),\forall x,y \in R,x < y
(viewtopic.php?f=55&t=1150, viewtopic.php?f=5&t=287)

235.
Να δειχθεί ότι δεν υπάρχει πολυώνυμο P(x)\in\mathbb{R}[x] ώστε να ισχύει : (x - 1)^{143} + (x + 1)^{2002} = [P(x)]^{13}
(viewtopic.php?f=60&t=12070)

236.
Αν p(x) είναι ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού n, με ακέραιους συντελεστές και n πραγματικές μη ακέραιες ρίζες,
να αποδειχθεί ότι υπάρχουν δύο τουλάχιστον ρίζες του x_i,x_j ώστε x_i-x_j>1

Πιο ισχυρό:
Αν p(x) ένα μονικό πολυώνυμο βαθμού n με ακέραιους συντελεστές και n πραγματικές ρίζες εκ των οποίων τουλάχιστον 1 δεν είναι ακέραια,
τότε υπάρχουν τουλάχιστον δύο ρίζες x_i,x_j του p με x_i - x_j > 1.
(viewtopic.php?f=60&t=11601)

237.
Δίνεται f απο το [0,1] στο R με τις εξής δύο ιδιότητες,

1)Η f ικανοποιεί το θεώρημα ενδιάμεσων τιμών σε οποιοδήποτε κλειστό διάστημα [a,b] υποσύνολο του [0,1]

2)Για κάθε c στο R , to f^{-1}(c) ειναι κλειστό.

Να δειχτεί ότι οι συνθήκες αυτές είναι αρκετές για να δειχτεί ότι η f ειναι συνεχής.
(viewtopic.php?f=59&t=5832)

238.
Να αποδειχθεί ότι αν f:\mathbb{R}^{2}\rightarrow \mathbb{R}^{2} με
1) f\left( {\bf{0}} \right) = {\bf{0}}
2) \left| {f\left( {\bf{u}} \right) - f\left( {\bf{v}} \right)} \right| = \left| {{\bf{u}} - {\bf{v}}} \right| για όλα τα {{\bf{u}},{\bf{v}}}
τότε η f είναι γραμμική.
(viewtopic.php?f=11&t=4493)

239.
Εστω a_n αναδιαταξη των φυσικων τετοια ωστε:\frac {1}{1998} < \frac {|a_{n} - a_{m}|}{|n - m|} < 1998 για καθε m,n στο N.
Να αποδειξετε οτι |a_{n} - n| < 2.000.000 για καθε φυσικο αριθμο n
(viewtopic.php?f=111&t=6382)

240.
Στο διάστημα [0,1] ορίζονται οι συναρτήσεις S(x)=1-x και T(x)=\frac{x}{2}.
Υπάρχει συνάρτηση της μορφής f=g_{1}og_{2}o...og_{n} όπου οι συναρτήσεις g_{k} είναι είτε η S είτε η T ώστε f(\frac{1}{2})=\frac{1975}{2^{1975}};
(Πολωνία 1975)
(viewtopic.php?f=111&t=411)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#133

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Πέμ Ιουν 23, 2011 10:25 pm

241.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(x+f(y))+f(y+f(x))=2(x+y) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16798, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=413324&)

242.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    f(xf(y)+yf(x)) = 2f(xy)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16799, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=413315&)

243.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    f(x+f(y)) = 2f(xf(y))  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16800, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=413312&)

244.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες έχουν την ιδιότητα \left(x,y \in \mathbb{R} \wedge x-y \in \mathbb{Q}\right) \Rightarrow f(x)-f(y) \in \mathbb{Q}
(viewtopic.php?f=61&t=16815)

245.
Αν a,b \in \mathbb{R}^* ώστε b \ge a-1 \ge 0. Να εξεταστεί αν υπάρχει συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με f(ax+b)-f\left(\frac {1}{x}\right)=x^2+1, \forall x \in [-1,1]-\{0\}
(viewtopic.php?f=52&t=16829)

246.
Αν a,b, διαφορετικοί μεταξύ τους θετικοί αριθμοί, f(x)=a^x, αν x\in \mathbb{Q} και f(x)=b^x, αν x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q}, τότε οι παρακάτω δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες:
(1) Η f είναι 1-1
(2) Η f είναι επί του (0,+\infty)
(viewtopic.php?f=61&t=5977)

247.
Δίνεται η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} με f(x)=\begin{cases} 
a_1x^2+b_1x+c_1 & x\in \mathbb{Q}\\ 
a_2x^2+b_2x+c_2 & x\in \mathbb{R}-\mathbb{Q} 
\end{cases}
Να αποδειχθεί ότι οι παρακάτω ισχυρισμοί είναι ισοδύναμοι
(1) η f είναι 1-1
(2) η f είναι επί
(3) a_1=a_2=0, b_1b_2 \neq 0, \frac {b_1}{b_2} \in \mathbb{Q} και \frac {c_1-c_2}{b_2} \in \mathbb{Q}
(viewtopic.php?f=111&t=8128)

248.
Αν η συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι μία συνάρτηση με την ιδιότητα

\left|f(x)-f(y)\right|\le \frac {1}{3}\left|x-y\right|, \forall x,y \in \mathbb{R}, να εξεταστεί αν υπάρχει θετικός

ακέραιος n, τέτοιος ώστε f^n(x)+f^{n-1}(x)+...+f(x)+1\le nx, \forall x \in \mathbb{R}

(f^2=f\circ f,...,f^n=f^{n-1} \circ f)
(viewtopic.php?f=9&t=16698)

249.
Αποδείξτε ότι ,αν το πολυώνυμο X^n+X^{n-1}+...+X+1 μπορεί να γραφεί σαν το γινόμενο δύο μονικών πολυωνύμων με πραγματικούς μη αρνητικούς συντελεστές, τότε αυτοί είναι 0 ή 1.
(viewtopic.php?f=59&t=16772)

250.
Δίνεται η συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} με πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών το σύνολο των πραγματικών αριθμών \left( {f(\mathbb{R}) = \mathbb{R}} \right).
Αν για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς x, y ισχύει η σχέση
f\left( {f\left( {f(x)} \right) - f(y)} \right) = f(x) - f\left( {f(y)} \right) (1)
να αποδείξετε ότι η f είναι περιττή.
(viewtopic.php?p=1243#p1243)


251.
Να προσδιορίσετε την τιμή του θετικού ακέραιου k και μη σταθερό πολυώνυμοP(x)με
πραγματικούς συντελεστές, βαθμού nέτσι ώστε να ισχύει:
(x-k)P(3x)=k(x-1)P(x), \forall x \in \mathbb{R} (1).
(viewtopic.php?p=1245#p1245)

252.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z} τέτοιες ώστε \displaystyle   f(m + f(f(n))) = -f(f(m + 1))-n , για κάθε m,n \in \mathbb{Z}.
(viewtopic.php?p=86850#p86850)

253.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle    f(f^{2}(x)y)=x^{3}f(xy)   , για κάθε x,y \in \mathbb{Q}^+.
(viewtopic.php?f=111&t=16854, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=412941&)

254.
Έστω f: \mathbb{R} \to  \mathbb{R} μια συνάρτηση.

α) Αν για κάθε γνησίως αύξουσα συνάρτηση g: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}, η συνάρτηση f+g είναι αύξουσα, τότε η f είναι αύξουσα.

β) Αν για κάθε γνησίως αύξουσα συνάρτηση g: \mathbb{R} \to  \mathbb{R}, η συνάρτηση f \cdot g είναι αύξουσα, τότε η f είναι αύξουσα.
(viewtopic.php?f=111&t=16855)

255.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle    f(x+f(y))+f(2+f(y)-x)=y(x-1)f(y)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16853, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=411607&)



\bullet Συναρτησιακή Εξίσωση Cauchy
\bullet Πάλι με την Cauchy αλλά με παράγουσα !


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#134

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 05, 2011 10:39 pm

256.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες

f(0)=\frac {1}{2} και f(x+y)=f(x)f(-y)+f(y)f(-x), \forall x,y \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=109&t=16964)

257.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \matghbb{R} \times \mathbb{R} \t0 \mathbb{R} για τις οποίες

α) f(1,1)=0

β) f(x,y+z)=f(x,y)-z, \forall x,y,z \in \mathbb{R} και

γ) f(y+z,x)=f(y,x)+z, \forall x,y,z \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=111&t=16965)

258.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle     f(x^{2}+y)+f(x+y^{2}) = (x+y)f(x+y)  , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=16998)

259.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:(0,\infty) \rightarrow (0,\infty) τέτοιες ώστε

\displaystyle    \frac{\sqrt{y}}{2-y}f\left(\frac{x\sqrt{y}}{\sqrt{2-y}}\right)\leq \frac{f(xy)}{(2-y)^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{y}{\sqrt{2-y}}f\left(\frac{x}{2-y}\right)   ,


για κάθε x \in (0,\infty) και για κάθε y \in (0,2) .
(viewtopic.php?f=111&t=16999)

260.
Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,1] \to \mathbb{R} με την ιδιότητα

f^{\prime}(x)=0 \Leftrightarrow x \in [0,1] \cap \mathbb{Q} ;
(viewtopic.php?f=9&t=17008)

261.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, οι οποίες επαληθεύουν τη σχέση

\frac {1}{2}f(xy)+\frac {1}{2}f(xz)-f(x)f(yz) \ge \frac {1}{4}, \forall x,y,z \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=109&t=17093)

262.
Να βρείτε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες

f(x-y)f(y-z)f(z-x)+8=0, \forall x,y,z \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=59&t=17156)

263.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες

f(ax+by) \le af(x)+bf(y), για κάθε x,y \in \mathbb{R} και για κάθε a,b \in [0,1]
(viewtopic.php?f=111&t=16863)

264.
Να βρείτε όλες τις μονότονες συναρτήσεις f:[0,+\infty) \to [0,+\infty) για τις οποίες

f\left(\left[f(x)\right]\right)+\{f(x)\}=x, \forall x \ge 0

([...]=ακέραιο μέρος και {...}=κλασματικό μέρος)
(viewtopic.php?f=111&t=16864)

265.
Αν \displaystyle z\in C^* και \displaystyle z+\frac{1}{z}=x
να δειχθεί ότι \displaystyle z^n +\frac{1}{z^n}=P_n \left(x \right) όπου \displaystyle P_n \left(x \right) πολυώνυμο \displaystyle n βαθμού.
Να δειχθεί ακόμα ότι το \displaystyle P_n \left(x \right) έχει όλες τις ρίζες του πραγματικές και άνισες.
(viewtopic.php?f=46&t=17150)

266.
Αν f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι μία συνάρτηση, να αποδειχθεί ότι inf \{|f(x)-f(y)|/x,y \in \mathbb{R}, x\neq y\}=0
(viewtopic.php?f=9&t=9004)

267.
Να βρεθούν οι συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R} για τις οποίες υπάρχουν k \in (0,1) και b \in \mathbb{R} ώστε
(1) |f(x)-f(y)| \leq k|x-y|, \forall x,y \in \mathbb{R} και
(2) f(f(x)-x)=b(f(x)-x), \forall x \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=9&t=7831)

268.
Έστω συνάρτηση f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, η οποία έχει τις εξής ιδιότητες
1) f(1)=1
2) f(x+y)=f(x)+f(y), \forall x,y \in \mathbb{R} και
3) f(\frac {1}{x})=\frac {1}{f(x)}, \forall x \neq 0
Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x\in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=111&t=8303)

269.
Να βρεθεί η συνάρτηση f:\mathbb R \to \mathbb R που ικανοποιεί την εξίσωση :\displaystyle{\big(f(x+y)-f(x)-f(y)\big)^2-4\;f(x)\;f(y)=0} για κάθε x,y \in \mathbb R
(viewtopic.php?f=111&t=8663)

270.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες υπάρχει συνάρτηση g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, 1-1, ώστε f(g(x+y))=g(f(x)+f(y)), \forall x,y \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=7814)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#135

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τετ Ιούλ 06, 2011 10:36 pm

271.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, για τις οποίες υπάρχουν σταθεροί πραγματικοί

a_1,a_2,...,a_n \in (-1,1) ώστε f(a_1x)+f(a_2x)+...+f(a_nx)=nf(x), \forall x \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=61&t=17198)

272.
Εάν f(x) = x^2-2x να προσδιορίσετε το c ώστε f(f(f(f(c))))=3
(viewtopic.php?f=19&t=15095)

273.
Έστω η ορισμένη στο R και δύο φορές παραγωγίσιμη συνάρτηση f με συνεχή δεύτερη παράγωγο και τέτοια ώστε
\displaystyle{\left| {f\left( x \right)} \right| \le 1,\forall x \in R}
\displaystyle{{{f^2}\left( 0 \right) + {{\left( {f'\left( 0 \right)} \right)}^2} = 4}}
Να αποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον ένας πραγματικός αριθμός χο τέτοιος ώστε \displaystyle{f\left( {{x_0}} \right) + f''\left( {{x_0}} \right) = 0}
(viewtopic.php?f=56&t=11887)


274.
Θεωρούμε τις συναρτήσεις f,g,h: \mathbb{R}^*_+\to \mathbb{R}^*.
Η g είναι γνησίως αύξουσα, η h φθίνουσα και θετική και ισχύει

\displaystyle \frac{h(y)}{f(y)}>\frac{f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}>\frac{h(x)}{f(x)}, \ \forall x>y>0.

Να δείξετε ότι f(x)>0, \ \forall x>0 και ότι η f είναι γνησίως αύξουσα.
(viewtopic.php?f=52&t=16988)


275.
Αν η συνεχής συνάρτηση f: [0,1]\to \mathbb{R} είναι τέτοια ώστε \displaystyle xy\left(f(x^2)+f(y^2)\right)\leq 1, \ \forall x,y \in [0,1],

να δείξετε ότι \displaystyle \int^1_0 f(x)dx \leq \frac{\pi}{2}.
(viewtopic.php?f=54&t=16976)


276.
Έστω η συνάρτηση f:[0,1] -> R συνεχής και τέτοια ώστε για κάθε x,y να ισχύει \displaystyle{xf\left( y \right) + yf\left( x \right) \le 1}. Να αποδείξετε ότι
\displaystyle{\int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx}  \le \frac{\pi }{4}}
(viewtopic.php?f=54&t=7522)

277.
Να βρείτε (αν υπάρχουν) τα πολυώνυμα P(x) για τα οποία ισχύει

\displaystyle{P(x+2)=P(x)+x^2} για κάθε πραγματικό x.
(viewtopic.php?f=60&t=9121)

278.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f:\mathbb{R}\rightarrow (0,+\infty)}, οι οποίες ικανοποιούν τη συνθήκη

\displaystyle{\frac{f(x)}{f(y)}\leq 3^{(x-y)^2},} για κάθε \displaystyle{x,y \in \mathbb{R}.}
(viewtopic.php?f=27&t=10186)

279.
Έστω f:R\rightarrow R συνεχής συνάρτηση, για την οποία ισχύει

f(f(f(x)))+f(x)=2x, \forall x \in R.
Να βρείτε τον τύπο της συνάρτησης.
(viewtopic.php?f=27&t=7478)


280.
Αν f:R\rightarrow R παραγωγίσιμη συνάρτηση με f'(x)<0, αποδείξτε ότι έχει ένα τουλάχιστον σταθερό σημείο.
(viewtopic.php?f=27&t=7474)

281.
1) Υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}}, για την οποία ισχύει

\displaystyle{|f(x)|<2} και \displaystyle{f(x)f^{\prime}(x)\geq \sin x} για κάθε \displaystyle{x\in \mathbb{R}} ;

2) Το ίδιο ερώτημα με τη διαφορά, ότι τώρα \displaystyle{|f(x)|\leq 2.}
(viewtopic.php?f=56&t=16897)

282.
Αν για μια συνάρτηση f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},δύο φορές παραγωγίσιμη ισχύει η συναρτησιακή εξίσωση
f(x+y)f(x-y)=f(x)f(x)+f(y)f(y)-1,να βρείτε την f''(t)(συναρτήσει της f).
(viewtopic.php?f=53&t=16720)

283.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει παραγωγίσιμη συνάρτηση f: (1,\infty)\to\mathbb{R} τέτοια ώστε f'(x) <\frac{2}{x}-e^{-f(x)} και f'(x)\le 0 για κάθε χ > 1
(viewtopic.php?f=61&t=16103)

284.
Δίνεται η συνάρτηση f:(0,1) \to \mathbb{R} με f(x) = 0 αν x άρρητος και f(m/n) = 1/(m+n)^3 αν m,n θετικοί ακέραιοι με (m,n) = 1.

Να δειχθεί ότι η f είναι παραγωγίσιμη σε τουλάχιστον ένα σημείο.
(viewtopic.php?f=59&t=16867)

285.
1. Αν f:\mathbb R\to \mathbb R με f(x)>0 αν x\in \mathbb Q και f(x)=0 αν x\notin \mathbb Q, τότε η f δεν είναι παραγωγίσιμη σε ένα υπεραριθμήσιμο υποσύνολο του \mathbb R\setminus \mathbb Q.

2. Έστω A\subset \mathbb R\setminus \mathbb Q αριθμήσιμο. Τότε υπάρχει f:{\mathbb R}\to {\mathbb R} με f(x)>0 αν x\in {\mathbb Q}, f(x)=0 αν x\notin {\mathbb Q} και παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο του A.
(viewtopic.php?f=59&t=16962)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#136

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 12, 2011 2:03 am

286.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P(x) τέτοια ώστε P(2P(x)) = 2P(P(x))+2(P(x))^{2} .
(viewtopic.php?f=111&t=17215)

287.
Να προσδιορίσετε όλα τα πολυώνυμα P(x) \in \mathbb{C} [x] τέτοια ώστε x\in\mathbb{R}\iff p(x)\in\mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=17216)

288.
Δίνεται συνάρτηση g:\mathbb R \rightarrow \mathbb R και οι πραγματικοί αριθμοί a,b,\lambda με \lambda \ne \pm 1. Nα βρεθεί ο τύπος της συνάρτησης

f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R η οποία ικανοποιεί τη σχέση: f(a+x)+\lambda f(b-x)=g(x), \; x\in \mathbb R.
(viewtopic.php?f=52&t=17329)

289.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει ρητή συνάρτηση f ώστε f(n)=1+\frac {1}{2}+...+\frac {1}{n}, \forall n \in \mathbb{N}
(viewtopic.php?f=9&t=17303)

290.
Αν οι συναρτήσεις: \displaystyle f,g:\left[0,1 \right]\rightarrow R

είναι δύο παραγωγίσιμες συναρτήσεις για τις οποίες ισχύουν

\displaystyle 1) f(1)=g(0)+1

\displaystyle 1) f(x)\geq g(x), \ \ \forall x\in \left[0,1 \right]

\displaystyle 3) f'(sin^2x)+g'(cos^2x)=2,\ \ \forall x\in R

τότε να δειχθεί ότι: \displaystyle f=g
(viewtopic.php?f=53&t=17304)

291.
Να βρείτε τον τύπο της παραγωγίσιμης συνάρτησης στο R για την οποία ισχύει

\displaystyle{f'\left( x \right) = {\left[ {f\left( x \right) - x} \right]^{2011}} + 1,\forall x \in R}
(viewtopic.php?f=53&t=17299)

292.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα \displaystyle P(x) με πραγματικούς συντελεστές
για τα οποία ισχύει:
\displaystyle 2x\leq P(x)\leq x^2+1, \ \ \forall x\in R
(viewtopic.php?f=27&t=17279)

293.
Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη στο R με f(2009)=2009, η συνάρτηση g είναι συνεχής στο R με \displaystyle{ 
g(x) \ne 0,\forall x \in \mathbb{R} 
} και ισχύει : g(x)f ' (x)=g(f(x)), για κάθε χ στο R, τότε να δείξετε οτι f(x)=x, για κάθε χ στο R.
(viewtopic.php?f=56&t=1596)

294.
Αν η συνάρτηση
f:[0,1]\rightarrow [0,1]
είναι συνεχής, αύξουσα και ισχύουν:
\displaystyle 1^o)\ \ f^{<1>}(x)+f^{<2>}(x)+...+f^{<n>}(x)\geq nx
για κάθε x\in \left[0,1 \right] και
\displaystyle f^{<1>}(x)=f(x), f^{<2>}(x)=(f\circ f)(x),\  ...\ ,f^{<n>}(x)=(f\circ f\circ...\circ f)(x)
(οι συνθέσεις)
και
\displaystyle 2^o)\ \ 2\int_{0}^{1}{f\left(x \right)dx}=1
Να δειχθεί ότι:
\displaystyle f\left(x \right)=x,\ \ x\in \left[0,1 \right]
(viewtopic.php?f=54&t=13411)

295.
Έστω f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), συνάρτηση με \displaystyle{f(f(x))+f(x)+x=f(3x), \forall x>0}.

Αν η y=x είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο +\infty, να αποδείξετε ότι

\displaystyle{f(x)=x, \forall x>0}
(viewtopic.php?f=59&t=12950)

296.
Αν η συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} είναι συνεχής στο 0 και f(x)=f(\frac {x}{1-x}), \forall x \neq 1, να αποδειχθεί ότι είναι σταθερή
(viewtopic.php?f=61&t=12893)

297.
Έστω f:(a,b) \to (a,b) συνάρτηση με f(f(x))+x=2f(x), \forall x \in (a,b).

Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x \in (a,b)
(viewtopic.php?f=111&t=12773)

298.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση
f:R\rightarrow R
ισχύει:
\left(f'(x) \right)^2=\left(f(x) \right)^2
για κάθε x\in R
και για κάποιο \alpha \in R ισχύει: f\left(\alpha  \right)=0.
Να δειχθεί ότι:f\left(x \right)=0 για κάθε x\in R
(viewtopic.php?f=56&t=12728)

299.
Δίνεται η συνάρτηση f:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}, για την οποία ισχύει
\displaystyle{(i)   \ f(x) \geqslant 0, \forall x\in [0,1]}
\displaystyle{(ii) \  f(1)=1}
(iii) \ \forall x, y \in [0,1] τέτοιοι ώστε x +y \leqslant 1, f(x +y) \geqslant f(x)+f(y)

Nα δειχθεί ότι f(x) < 2x, \forall x \in (0,1]
(viewtopic.php?f=9&t=12652)

300.
Αν για τη συνάρτηση:
f:[0,+\propto)\rightarrow [0,+\propto )
ισχύει:
f\left(f^2\left(x \right) \right+f^2\left(y \right))=\sqrt{x+y}
για κάθε x,y\geq 0
να δειχθεί ότι:
f\left(x) \right=\sqrt{x},x\geq 0
(viewtopic.php?f=56&t=12643)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#137

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Ιούλ 12, 2011 2:47 am

301.
Για τη συνάρτηση f:R^{*}_{+}\rightarrow R ισχύει:
\alpha x<f\left(x \right)\leq \alpha x+1, για καθε x>0
όπου \alpha \in R^{*} και
f^2\left(x \right)=xf\left(2x+1 \right)+x+1, για καθε x>0
Να δειχθεί ότι:
f\left(x \right)=2x+1,για καθε x>0
(viewtopic.php?f=56&t=12361)

302.
Δίνεται συνάρτηση \displaystyle{f:R \to R} τέτοια ώστε να ισχύουν τα εξής:

1. f: περιττή
2. \displaystyle{\left| {f\left( x \right) - f\left( y \right) - x + y} \right| < \left| {x - y} \right|} για κάθε \displaystyle{x,y \in R} και \displaystyle{x \ne y}
3. \displaystyle{f\left( {f\left( x \right) - 2x} \right) = 2f\left( x \right) - 3x} για κάθε \displaystyle{x \in R}

να δείξετε ότι: f(x) = x για κάθε \displaystyle{x \in R}
(viewtopic.php?f=56&t=11809)

303.
Για τη συνάρτηση:
f:\left(1,+\propto  \right)\rightarrow \left(1,+\propto  \right)
ισχύει:
f(x).f(x^2).f(x^4)=x^7 για κάθε x\in \left(1,+\propto  \right)
Να δειχθεί ότι:
f(x)=x, για κάθε x\in \left(1,+\propto  \right)
(viewtopic.php?f=111&t=11578)

304.
Δίνεται η συνεχής συνάρτηση \displaystyle{f:{\cal R} \to {\cal R}} τέτοια ώστε:

\displaystyle{99f\left( x \right) = f\left( {\frac{x}{2}} \right) + f\left( {\frac{x}{3}} \right) + ... + f\left( {\frac{x}{{100}}} \right)}

Να δείξετε ότι η συνάρτηση f είναι σταθερή στο \displaystyle{{\cal R}}
(viewtopic.php?f=52&t=11448)

305.
Έστω f συνεχής στο R συνάρτηση για την οποία ισχύει:
3f\left(x \right)=f\left(\frac{x}{2} \right)+f\left(\frac{x}{3} \right) για κάθε x\epsilon R.
Να δείξετε ότι f(x)=0 για κάθε x\epsilon R.
(viewtopic.php?f=52&t=11295)

306.
Για τη συνεχή συνάρτηση:\displaystyle f:R\rightarrow R ισχύει:
\displaystyle f(5x)=f(3x)+f(4x),\forall x\in R.
Αν η \displaystyle f είναι παραγωγίσιμη σε διάστημα της μορφής:\displaystyle (-\delta ,\delta ),\delta >0
και υπάρχει η \displaystyle f''(0), να αποδειχθεί ότι η \displaystyle f έχει τύπο της μορφής:
\displaystyle f(x)=\alpha x^2,x\in R
όπου \displaystyle \alpha οποιαδήποτε πραγματική σταθερά.
(viewtopic.php?f=111&t=14141)

307.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση \displaystyle{f:\left( {0, + \infty } \right) \to R} τέτοια ώστε:

1. \displaystyle{\left( {x - \eta \mu x} \right)f'\left( x \right) - f\left( x \right) = \eta \mu \left( {x - f\left( x \right)} \right) - \eta \mu x,\,} για κάθε x > 0

2. \displaystyle{f\left( x \right) \ne x} για κάθε x > 0

3. \displaystyle{f\left( 1 \right) = 2}

τότε να δείξετε ότι: \displaystyle{f\left( x \right) = 2x} για x > 0.
(viewtopic.php?f=56&t=13821)

308.
Η συνάρτηση f:[0,1] \to \mathbb{R} είναι συνεχής με την ιδιότητα

\forall n \in \mathbb{N}^* \wedge \forall x_1,x_2,...,x_n \in [0,1] :

x_1+x_2+...+x_n=1 \Rightarrow f(x_1)+f(x_2)+...+f(x_n)=1.

Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x \in [0,1]
(viewtopic.php?f=61&t=13631)

309.
Η συνάρτηση
\displaystyle f:[1,+\propto )\rightarrow R
είναι συνεχής στο \displaystyle x_0=1
και ισχύουν:
\displaystyle f(x^2)\leq xf(x),\ \ \forall x\geq 1
καθώς και
\displaystyle \lim_{x\rightarrow +\propto }\frac{f(x)}{x}=f\left(1 \right)
Να δειχθεί ότι:
\displaystyle f(x)=f(1)x,\ \ \forall x\geq 1
(viewtopic.php?f=111&t=14244)

310.
Να βρεθούν όλες οι συνεχείς συναρτήσεις f: [0,1]\to R που ικανοποιούν την f(x)\geq 2xf(x^{2}),\forall x\in [0,1]
(viewtopic.php?f=59&t=16137)

311.
Η συνάρτηση \displaystyle{ 
f:\left[ {0,1} \right] \to R 
} είναι παραγωγίσιμη και ισχύει:

\displaystyle{ 
f'(x) = x^a f(x^\beta  ),\forall x \in \left[ {0,1} \right] 
} με \displaystyle{ 
a   
} θετικό πραγματικό,\displaystyle{ 
\beta  > 1 
} και \displaystyle{ 
f(0) = 0 
}.

Να αποδείξετε ότι \displaystyle{ 
f(x) = 0,\forall x \in \left[ {0,1} \right] 
}
(viewtopic.php?f=61&t=15617)

312.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} ισχύει (f^2(x)+xf(x)+x^2)f^{\prime}(x)=3x^2, \forall x \in \mathbb{R} και f(0)=0. Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=56&t=15070)

313.
Έστω οι συναρτήσεις:
\displaystyle f:R_+\rightarrow R παραγωγίσιμη
και
\displaystyle g:R\rightarrow R αύξουσα,
για τις οποίες ισχύει:
\displaystyle f(0)=g(0)=0 και \displaystyle f'(x)+g(f(x))=0, \forall x\geq 0.
Να δειχθεί ότι:
\displaystyle f(x)=0, \forall x\geq 0
(viewtopic.php?f=56&t=14790)

314.
Για την παραγωγίσιμη συνάρτηση:
\displaystyle  f:[0,+\propto )\rightarrow R
ισχύει:
\displaystyle  f(0)=0
και
\displaystyle  f'(x)+f(x)=sin(f(x)) για κάθε \displaystyle x\geq 0.
Να δείξετε ότι:
\displaystyle f(x)=0
για κάθε \displaystyle x\geq 0.
(viewtopic.php?f=56&t=14768)

315.
Έστω παραγωγίσιμη συνάρτηση f:[0,1] \to \mathbb{R} με e^{f(x)}+f^{\prime}(x)=e^x+1, \forall x \in [0,1],

f(0)=0 και f(1)=1. Να αποδειχθεί ότι f(x)=x, \forall x \in [0,1]
(viewtopic.php?f=53&t=14585)


Θανάσης Κοντογεώργης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#138

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Παρ Ιούλ 15, 2011 5:26 pm

316.
Να βρείτε όλες τις συναρτήσεις f :\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R} με την ιδιότητα f(x^{2}+y)\ge (x+1)f(y) για κάθε x,y πραγματικούς.
(viewtopic.php?f=111&t=8606)

317.
Να εξεταστεί αν υπάρχει πολυώνυμο P(x), μη σταθερό με πραγματικούς συντελεστές, άρτιου βαθμού ώστε P(\mathbb{R})=Q(\mathbb{R}), όπου Q=P+P^{\prime}
(viewtopic.php?f=111&t=8330)

318.
f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} συνάρτηση με την ιδιότητα f(x)+f(x+y) \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{R} και \forall y>0. Να αποδειχθεί ότι f(x) \in \mathbb{Q}, \forall x \in \mathbb{R}
(viewtopic.php?f=111&t=7377)

319.
Έστω η f:R->R. Να βρεθει ο τυπος της f αν :f(f(x) - f(y)) = (x - y)^2f(x + y)
(viewtopic.php?f=111&t=5099)

320.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις f: \mathbb R \times \mathbb R \rightarrow \mathbb R με την ιδιότητα :

xf(-x,y) + yf(x,-y) = (x-y)^2 , \forall x,y \in \mathbb R
(viewtopic.php?f=111&t=4074)

321.
Να υπολογίσετε τις συναρτήσεις
f:\mathbb{R} \to \mathbb{R},\mu \varepsilon \,\tau \eta \nu \,\iota \delta \iota o\tau \eta \tau \alpha \;f\left( {x^4  + y + f\left( y \right)} \right) = 4y + \left[ {f\left( x \right)} \right]^4 ,\forall x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=3302)

322.
Έστω συνάρτηση f:N-{0}->N-{0} η οποία ικανοποιεί την σχέση f(f(m)+f(n))=m+n, για κάθε m,n που ανήκουν στο Ν-{0}. Να βρείτε τις δυνατές τιμές του f(2002)
(viewtopic.php?f=111&t=593)

323.
Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει γνησίως αύξουσα συνάρτηση \displaystyle{f:N^* \to R} με \displaystyle{f(N^*) \subseteq N^*}, f(2)=3 και για την οποία ισχύει:
f(xy)=f(x)f(y), για κάθε x και y στο N* .
(viewtopic.php?f=111&t=3066)

324.
Να αποδείξετε πως υπάρχει μοναδική συνάρτηση f απο το R+(σύνολο των θετικών πραγματικών, λέει ο θεματοδότης)
στο R+ τέτοια ώστε να ικανοποιεί τα παρακάτω:

1) f(f(x))=6x-f(x)

2)f(x)>0 για κάθε x>0.
(viewtopic.php?f=111&t=6406)

325.
Έστω η συνάρτηση f: R -> R με συνεχή πρώτη παράγωγο στο R και f(0)=0.

Eπιπλέον, για κάθε χ πραγματικό αληθεύει πως: f(f(x))+x=2f(x).

Nα αποδείξετε πως :

1) Η f είναι γνησίως αύξουσα.

2) f '(0)=1
(viewtopic.php?f=53&t=6603)

326.
Να αποδειχθεί ότι δεν υπάρχει συνεχής συνάρτηση f: R --> R,
για την οποία να ισχύει \left|f(x) - f(y) \right|\geq \sqrt{\left|x-y \right|} για κάθε x, y.
(viewtopic.php?f=56&t=12812)

327.
Ας είναι f μία συνεχής συνάρτηση με f:\mathbb{R}\to\mathbb{R} τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|\geq|x-y| για όλους τους πραγματικούς αριθμούς x,y.
Να αποδείξετε ότι f(R)=R
(viewtopic.php?f=61&t=2265)

328.
Να βρεθούν όλες οι συναρτήσεις \displaystyle{f:[0,1] \to [0,1]}, αν για κάθε x,y από το [0,1] ισχύει ότι: \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {x - y} \right|}
(viewtopic.php?p=12515#p12515)

329.
Αν για τη συνάρτηση \displaystyle{f:[0,1] \to [0,1]} ισχύει για κάθε x,y από το [0,1] ότι: \displaystyle{\left| {f(x) - f(y)} \right| \ge \left| {{2^x} - {2^y}} \right|}, να βρεθεί το όριο \displaystyle{\mathop {\ell im}\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f(x)}}{x}}
(viewtopic.php?p=12515#p12515)

330.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:R->R τέτοια ώστε |f(x)-f(y)|>1 για κάθε x,y, πραγματικούς αριθμούς με x διαφορετικό του y
(viewtopic.php?f=9&t=2263)


Θανάσης Κοντογεώργης
Φερμά_96
Δημοσιεύσεις: 182
Εγγραφή: Σάβ Απρ 30, 2011 3:43 pm
Τοποθεσία: Κύπρος

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#139

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Φερμά_96 » Κυρ Ιούλ 17, 2011 4:19 pm

δεν ξέρω αν μου διαφεύγει κάτι, αλλά απότι είδα δεν έχει δημοσιευτεί λύση στην 8.( μπορεί όπως είπα να μου διαφεύγει κάτι)
8.
για n=1 πέρνουμε f(1)+f(2)+f(f(1))=4
δηλαδή f(f(1))=4-f(1)-f(2)
Προφανώς, f(1)=1 or 2
Για f(1)=1 πέρνουμε f(2)=2
Και για f(1)=2 πέρνουμε f(2)=1.
Δοκιμάζοντας και για n=2, παρατηρούμε τις δυο περιπτώσεις
f(n)=n και f(n)=n+(-1)^{n+1}
τις οποίες και θα αποδείξουμε με επαγωγή.

Στην πρώτη.
Ισχύει για n=1.
Υποθέτουμε ότι για n=k
f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1
γράφεται k+f(k+1)+f(k)=3k+1
ή f(k+1)=k+1
Αρα (επαγωγικά) ισχύει.

Στην δεύτερη.
Ισχύει για n=1
υποθέτουμε ότι για n=k
f(k)+f(k+1)+f(f(k))=3k+1
k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+f(k+(-1)^{k+1})=3k+1
k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+k+(-1)^{k+1}+(-1)^{k+(-1)^{k+1}+1}=3k+1
παρατηρούμε ότι (-1)^{k+1}+(-1)^{k+(-1)^{k+1}+1}=0
οπότε k+(-1)^{k+1}+f(k+1)+k=3k+1
f(k+1)=k+1-(-1)^{k+1}
f(k+1)=k+1+(-1)^{k+2}
Αρα ισχύει

Οπότε, f(n)=n or f(n)=n+(-1)^{n+1}


socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακές---------------->Bulletin(1/?)

#140

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Αύγ 02, 2011 8:26 pm

331.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(0)=0 και f(x+f(f(y)))+f(xf(y))=f(x)-y-f(xy) , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=17779 , http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=420317)

332.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{Q}^+ \rightarrow \mathbb{Q}^+ τέτοιες ώστε \displaystyle f\left(\frac{x}{x+1}\right) =\frac{f(x)}{x+1} και \displaystyle f\left(\frac{1}{x}\right)=\frac{f(x)}{x^{3}}, για κάθε x,y \in \mathbb{Q}^+.
(viewtopic.php?f=111&t=17780, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=419811)

333.
Να δείξετε ότι δεν υπάρχει συνάρτηση f:{{\mathbb{R}}^{+}}\to{{\mathbb{R}}^{+}} τέτοια ώστε f(x+y)>f(x)(1+yf(x)) , για κάθε x,y\in{{\mathbb{R}}^{+}} .
(viewtopic.php?f=111&t=17784, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=421476)

334.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε f(xy) =\max\{f(x),y\}+\min\{f(y),x\} , για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=17788, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=339995)

335.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ f(x^{2}+xf(y))=[f(x)]^{2}+yf(x) ,} για κάθε x,y \in \mathbb{R}.
(viewtopic.php?f=111&t=17805, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 8&t=417461)

336.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχώς παραγωγίσιμες συναρτήσεις f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}\int_{x+k+1}^{x+k}f'(t)dt+\frac{n}{2}f'(x)=0 ,}
για κάθε x \in \mathbb{R} και για κάθε άρτιο θετικό ακέραιο n.
(viewtopic.php?f=111&t=17807, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=421135&)

337.
Να βρεθούν όλα τα πολυώνυμα p με πραγματικούς συντελεστές, τα οποία έχουν την ιδιότητα

p(x) \in \mathbb{Z} \Rightarrow x \in \mathbb{Z}
(viewtopic.php?f=60&t=17453)

338.
Βρείτε όλα τα πολυώνυμα P\in\mathbb{C}[x] τέτοια ώστε:

\forall x\in\mathbb{C}: P(x)\in\mathbb{Z}\Rightarrow P(x+1)\in\mathbb{Z} .
(viewtopic.php?f=60&t=17778, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=420103)

339.
Α)
Θεωρούμε συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, τέτοια ώστε f(f(x))=xf(x)+x-1, για κάθε x \in \mathbb{R}.
Να βρείτε το f(-1) και όλες τις δυνατές τιμές του f(1).

Β)
Θεωρούμε συνάρτηση f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, τέτοια ώστε f(f(x))=0.5(x^2-x)f(x)+2-x, για κάθε x \in \mathbb{R}.
Να βρείτε το f(2) και όλες τις δυνατές τιμές του f(1).
(viewtopic.php?f=111&t=17700)

340.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:[0,\infty)\to\mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0 και f(x)+3f(x^{2})=5f(x^{3}) , για κάθε x\geq 0.
(viewtopic.php?f=111&t=17622)

341.
Να βρεθούν οι συνεχείς συναρτήσεις f, στο R, για τις οποίες ισχύει:

f\left( {x + y} \right) = yf(x) + f\left( {f(x)} \right) , x \in R
(viewtopic.php?f=52&t=17508)

342.
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις f:[a,b]\to[a,b],\ 0<a<b, τέτοιες ώστε f(x)f(f(x))=x^{2}, για κάθε x\in [a,b].
(viewtopic.php?f=111&t=17356)

343.
Να προσδιορίσετε όλες τις συνεχείς συναρτήσεις f:[0,\infty)\to\mathbb{R} τέτοιες ώστε \displaystyle \lim_{x\to\infty}f(x)=0 και f(x)+3f(x^{2})=5f(x^{3}+1) , για κάθε x\geq 0.
(viewtopic.php?f=111&t=17395, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 7&t=418042)

344.
Να προσδιορίσετε όλες τις μη φθίνουσες συναρτήσεις f:\mathbb{R}^{+}\rightarrow\mathbb{R}^{+} τέτοιες ώστε \displaystyle f\left(\frac{x+f(x)}{2}+y\right) = 2x-f(x)+f(f(y)) , για κάθε x, y\in\mathbb{R}^{+} .
(viewtopic.php?f=111&t=17396, http://www.artofproblemsolving.com/Foru ... 6&t=418065)

345.
Υπάρχει συνάρτηση f:(0,+\infty) \to (0,+\infty), συνεχής και γνησίως φθίνουσα με την ιδιότητα
f(x+y)+f(f(x)+f(y))=f(f(x+f(y)))+f(y+f(x)), \forall x,y \in (0,+\infty)
(viewtopic.php?f=61&t=7263)
τελευταία επεξεργασία από socrates σε Τρί Αύγ 16, 2011 12:48 pm, έχει επεξεργασθεί 1 φορά συνολικά.


Θανάσης Κοντογεώργης
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης