Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Ιαν 03, 2013 9:10 pm

\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
hlkampel
Δημοσιεύσεις: 945
Εγγραφή: Σάβ Δεκ 20, 2008 11:41 pm
Τοποθεσία: Τρίκαλα

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από hlkampel » Πέμ Ιαν 03, 2013 9:44 pm

matha έγραψε:\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}
\left\{ \begin{array}{l} 
x + y + \frac{{{y^2}}}{x} = 14\;\left( 1 \right)\\ 
{x^2} + {y^2} + \frac{{{y^4}}}{{{x^2}}} = 84\;\left( 2 \right) 
\end{array} \right. με x \ne 0

Η (2) γίνεται:

{\left( {x + y + \frac{{{y^2}}}{x}} \right)^2} - 2\left( {xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x}} \right) = 84\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)}

196 - 2\left( {xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x}} \right) = 84 \Leftrightarrow

\displaystyle{xy + {y^2} + \frac{{{y^3}}}{x} = 56 \Leftrightarrow y\left( {x + y + \frac{{{y^2}}}{x}} \right) = 56\mathop  \Leftrightarrow \limits^{\left( 1 \right)} 14y = 56 \Leftrightarrow y = 4}

Με \displaystyle{y = 4} η (1) γίνεται: x + 4 + \frac{{16}}{x} = 14 \Leftrightarrow {x^2} - 10x + 16 = 0 \Leftrightarrow x = 8\;\dot \eta \;x = 2

Άρα οι λύσεις του συστήματος \left( {x,y} \right) είναι: \left( {8,4} \right),\;\left( {2,4} \right) οι οποίες το επαληθεύουν


Ηλίας Καμπελής
Άβαταρ μέλους
matha
Γενικός Συντονιστής
Δημοσιεύσεις: 6260
Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από matha » Πέμ Ιαν 03, 2013 9:54 pm

Ωραία!
Μια άλλη ιδέα, η οποία εφαρμόζεται σε ομογενείς παραστάσεις είναι και η εξής:

Ας θέσουμε \displaystyle{y=ax.}

Οι εξισώσεις του συστήματος γίνονται

\displaystyle{x(1+a+a^2)=14, ~x^2(1+a^2+a^4)=84.}

Επειδή \displaystyle{a^4+a^2+1=a^4+2a^2+1-a^2=(a^2-a+1)(a^2+a+1)}

από τη δεύτερη εξίσωση, με χρήση της πρώτης, βρίσκουμε

\displaystyle{x(a^2-a+1)=6}

και τώρα τα πράγματα είναι πολύ απλά.


Μάγκος Θάνος
Άβαταρ μέλους
Ch.Chortis
Δημοσιεύσεις: 264
Εγγραφή: Παρ Φεβ 10, 2012 7:02 pm
Τοποθεσία: Ελλαδιστάν

Re: Ένα σύστημα για τον Ευκλείδη!

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ch.Chortis » Πέμ Ιαν 03, 2013 10:50 pm

matha έγραψε:\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x^2+y^2+\frac{y^4}{x^2}=84}.\end{cases}}
Καλησπέρα σε όλα τα μέλη του forum.Λόγω διάφορων υποχρεώσεων δεν έχω γράψει εδώ και αρκετό καιρό αλλά χαίρομαι που βλέπω οτι το μεράκι των καθηγητών και των εξαίρετων μαθητών που περιστοιχίζουν το :logo: όχι μόνο παρέμεινε αλλά αυξήθηκε.Συγχαρητήρια λοιπόν σε όλα τα μέλη για την προσπάθειά τους και ευτυχισμένος ο καινούργιος χρόνος.
Ας περάσουμε τώρα στα της άσκησης...
Η αρχική μου λύση ήταν όμοια με του hlkampel,αλλά με πρόλαβε οπότε σκέφτηκα μία άλλη(εξού και η καθυστέρηση).
Έχουμε:
x^2+y^2+\dfrac {y^4} {x^2}=\left(x^2+2y^2+\dfrac {y^4}{x^2}\right)-y^2=\left(x+\dfrac {y^2}{x}\right)^2-(y)^2\\=\left(x+y+\dfrac {y^2}{x}\right)\left(x-y+\dfrac {y^2}{x}\right)=84
και αφού: \left(x+y+\dfrac {y^2}{x} \right)=14 βρίσκουμε:
14(x-y+\dfrac {y^2}{x})=84\Leftrightarrow x-y+\dfrac {y^2}{x}=6.
Άρα το σύστημα γίνεται:
\displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+y+\frac{y^2}{x}=14, \\ x-y+\frac{y^2}{x}=6}.\end{cases}}\Leftrightarrow \\ \displaystyle{\begin{cases}\displaystyle{x+\frac{y^2}{x}=14-y, \\ x+\frac{y^2}{x}=6+y}.\end{cases}}

άρα 14-y=6+y \Leftrightarrow \boxed {y=4}
οπότε αντικαθιστώντας σε μία από τις δύο εξισώσεις,προκύπτει:
x+\dfrac {16} {x}=10 \Leftrightarrow x^2+16=10x \Leftrightarrow x^2-10x+16=0 \Leftrightarrow (x-8)(x-2)=0 \Leftrightarrow \\ \boxed {x=8~or~x=2}


"Ο,τι δε σε σκοτώνει σε κάνει πιο δυνατό.":Φρειδερίκος Νίτσε
"Τα όρια της γλώσσας μου είναι τα όρια του κόσμου μου.":Λούντβιχ Βιτγκενστάιν
"Οι έξυπνοι άνθρωποι λύνουν προβλήματα. Οι σοφοί τα αποφεύγουν.":Άλμπερτ Αϊνστάιν
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης