Ανήκουσα σε δύο φακέλους!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
- matha
- Γενικός Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 6423
- Εγγραφή: Παρ Μάιος 21, 2010 7:40 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Ανήκουσα σε δύο φακέλους!
Έστω τρίγωνο με πλευρές ημιπερίμετρο για το οποίο ισχύει
. ()
Να αποδείξετε ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου είναι σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να βρείτε τα τρίγωνα που ικανοποιούν την () και έχουν πλευρές με ακέραια μήκη.
***Ευχαριστώ τον Σωτήρη Λουρίδα για την επισήμανση αβλεψίας.
. ()
Να αποδείξετε ότι το βαρύκεντρο του τριγώνου είναι σημείο του εγγεγραμμένου κύκλου.
Να βρείτε τα τρίγωνα που ικανοποιούν την () και έχουν πλευρές με ακέραια μήκη.
***Ευχαριστώ τον Σωτήρη Λουρίδα για την επισήμανση αβλεψίας.
Μάγκος Θάνος
- emouroukos
- Συντονιστής
- Δημοσιεύσεις: 1447
- Εγγραφή: Δευ Δεκ 22, 2008 1:27 pm
- Τοποθεσία: Αγρίνιο
Re: Ανήκουσα σε δύο φακέλους!
Μια απάντηση στο ερώτημα :
Έχουμε διαδοχικά ότι:
.
Από το Θεώρημα του Leibniz, αν είναι το έγκεντρο του τριγώνου , τότε είναι:
.
Είναι όνως γνωστό ότι
.
Επίσης, αν η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο , τότε είναι:
.
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις και στην προκύπτει ότι:
.
Από τη σχέση προκύπτει άμεσα ότι η δοσμένη σχέση, που είναι ισοδύναμη με την , είναι ισοδύναμη με τη σχέση , δηλαδή με το σημείο να ανήκει στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Έχουμε διαδοχικά ότι:
.
Από το Θεώρημα του Leibniz, αν είναι το έγκεντρο του τριγώνου , τότε είναι:
.
Είναι όνως γνωστό ότι
.
Επίσης, αν η ακτίνα του εγγεγραμμένου κύκλου στο τρίγωνο , τότε είναι:
.
Αντικαθιστώντας τις σχέσεις και στην προκύπτει ότι:
.
Από τη σχέση προκύπτει άμεσα ότι η δοσμένη σχέση, που είναι ισοδύναμη με την , είναι ισοδύναμη με τη σχέση , δηλαδή με το σημείο να ανήκει στον εγγεγραμμένο κύκλο του τριγώνου .
Βαγγέλης Μουρούκος
Erro ergo sum.
Erro ergo sum.
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 12 επισκέπτες