Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Για η (1) δίνειsocrates έγραψε:Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε (1)για κάθε
Αν , τότε η (1) για δίνει , δεκτή, γιατί επαληθεύει την αρχική.
Αν , τότε η (1) για δίνει
Η (1) γράφεται , αλλά και
Συνεπώς
Άρα (2)
Η (2) για δίνει , άρα (3)
* Αν , τότε
, κατά συνέπεια
,
που είναι δεκτή.
** Αν , τότε
, κατά συνέπεια
,
που είναι δεκτή.
Σπύρος Καπελλίδης
-
- Επιμελητής
- Δημοσιεύσεις: 6461
- Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
- Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Παραλλαγή (όχι δύσκολη):
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Να προσδιορίσετε όλες τις συναρτήσεις τέτοιες ώστε για κάθε
Θανάσης Κοντογεώργης
- Ορέστης Λιγνός
- Δημοσιεύσεις: 1835
- Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
- Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής
- Επικοινωνία:
Re: Συναρτησιακή για εξάσκηση!
Αρχικά παρατηρούμε ότι αν η ικανοποιεί την συνθήκη τότε και η την ικανοποιεί, οπότε χωρίς βλάβη της γενικότητας υποθέτουμε ότι .
Για η δοσμένη δίνει , συνεπώς εύκολα επαγωγικά για κάθε . Παίρνοντας λοιπόν τα θετικούς ακεραίους στην δοσμένη, προκύπτει ότι
συνεπώς προκύπτει ότι (υποθέσαμε ότι ).
Θα διακρίνουμε, λοιπόν, δύο περιπτώσεις. Προτού όμως το κάνουμε αυτό, αποδεικνύουμε έναν χρήσιμο και εύκολο Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 1: Αν για κάποιο , τότε για κάθε .
Απόδειξη: Πράγματι, για τυχόν η δοσμένη με και δίνει
όπως θέλαμε. Αφού , μπορούμε να γράψουμε για κάθε . .
Τώρα, διακρίνουμε τις περιπτώσεις:
Περίπτωση 1: . Τότε, , δηλαδή , για κάθε . Αποδεικνύουμε επαγωγικά το εξής:
Ισχυρισμός 2: Για κάθε και για κάθε ισχύει ότι .
Απόδειξη: Για είναι άμεσο. Αν ισχύει για κάποιο , τότε έστω ένα τυχόν . Αν τότε προφανώς , οπότε ας υποθέσουμε ότι .
Τότε, με η δοσμένη δίνει
και αφού
από την επαγωγική υπόθεση είναι . Άρα,
δηλαδή ή .
Αν για κάποιο με ήταν , τότε αφού , ο Ισχυρισμός 1 δίνει ότι . Συνεπώς, σε κάθε περίπτωση είναι , οπότε ο Ισχυρισμός αποδείχθηκε
Στο πρόβλημα, έστω ένα τυχόν . Τότε, για είναι από την ανισότητα Bernoulli,
συνεπώς , άρα από τον Ισχυρισμό 2 προκύπτει ότι . Συνεπώς, για όλα τα , δηλαδή η είναι ταυτοτικά μηδέν, συνάρτηση η οποία προφανώς επαληθεύει.
Περίπτωση 2: . Τότε, είναι , για κάθε άρα άμεσα επαγωγικά προκύπτει ότι
για κάθε και . Από εδώ φαίνεται ότι , για κάθε .
Αποδεικνύουμε τώρα έναν ακόμη Ισχυρισμό:
Ισχυρισμός 3: Είναι , για κάθε .
Απόδειξη: Ας υποθέσουμε ότι υπάρχει τέτοιο, ώστε . Τότε, αφού , ισχύει ότι
για κάθε , συνεπώς με διαδοχικές εφαρμογές αυτής προκύπτει ότι . Τότε, όμως, είναι , άρα από τον Ισχυρισμό 1 προκύπτει ότι , το οποίο είναι άτοπο
Τώρα, με στην δοσμένη, όπου τυχαίος θετικός ακέραιος, είναι
άρα
οπότε σε συνδυασμό με τον Ισχυρισμό 3 έχουμε ότι
.
Τώρα, με στην δοσμένη, όπου τυχαίος θετικός ακέραιος, είναι
συνεπώς
οπότε σε συνδυασμό με τον Ισχυρισμό 3 έχουμε ότι
.
Συνεπώς, με η πιο πάνω δίνει , άρα έχουμε ότι
συνεπώς για κάθε , οπότε από τον Ισχυρισμό 3 είναι για κάθε .
Παρατηρούμε όμως, ότι
για κάθε , συνεπώς για κάθε . Τώρα, έστω ένα και τέτοιο, ώστε
Τότε, και αφού
και
είναι και , οπότε από την αρχική σχέση άμεσα προκύπτει ότι . Συνεπώς, για κάθε , και σαφώς και αυτή η συνάρτηση ικανοποιεί.
Τελικά, λύσεις οι και .
Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε!
Μέλη σε σύνδεση
Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 1 επισκέπτης