Συναρτησιακή

Συντονιστές: cretanman, Demetres, polysot, achilleas, socrates, silouan

s.kap
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 2455
Εγγραφή: Τρί Δεκ 08, 2009 6:11 pm
Τοποθεσία: Ιωάννινα

Συναρτησιακή

#1

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από s.kap » Τρί Νοέμ 15, 2011 12:47 pm

Να βρείτε τις συναρτήσεις f:(0,+\infty) \to (0,+\infty) ώστε για κάθε x,y \in (0,+\infty) να ισχύει

\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}

(G.M. 26510)


Σπύρος Καπελλίδης
Άβαταρ μέλους
cretanman
Διαχειριστής
Δημοσιεύσεις: 3990
Εγγραφή: Πέμ Δεκ 18, 2008 12:35 pm
Τοποθεσία: Ηράκλειο Κρήτης
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#2

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από cretanman » Τρί Νοέμ 15, 2011 1:47 pm

Για y=1 παίρνουμε f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}.
Θέτουμε στην παραπάνω όπου x το f(x) και έχουμε f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)} και για x=1 παίρνουμε

f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=f^3(1) \ \ (1)

Για x=y στην αρχική παίρνουμε f(xf(1))=\displaystyle\frac{x^4}{f(x)} \ \ (2) και για x=\displaystyle\frac{1}{f(1)} παίρνουμε τελικά f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{1}{f^5(1)} \ \ (3)

Από (1) και (3) παίρνουμε \displaystyle\frac{1}{f^5(1)}=f^3(1) άρα f(1)=1.

Τελικά από (2) παίρνουμε f(x)=x^2 συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική.

Αλέξανδρος


Αλέξανδρος Συγκελάκης
socrates
Επιμελητής
Δημοσιεύσεις: 6073
Εγγραφή: Δευ Μαρ 09, 2009 1:47 pm
Τοποθεσία: Θεσσαλονίκη
Επικοινωνία:

Re: Συναρτησιακή

#3

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από socrates » Τρί Μαρ 17, 2020 6:32 pm

Ας δούμε και την:


Να βρείτε τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^* ώστε για κάθε x,y\in  \Bbb{R}^* να ισχύει

\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}


Θανάσης Κοντογεώργης
Άβαταρ μέλους
ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ
Δημοσιεύσεις: 766
Εγγραφή: Πέμ Νοέμ 22, 2018 9:43 pm

Re: Συναρτησιακή

#4

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ » Δευ Μάιος 04, 2020 12:42 am

socrates έγραψε:
Τρί Μαρ 17, 2020 6:32 pm
Ας δούμε και την:


Να βρείτε τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^* ώστε για κάθε x,y\in  \Bbb{R}^* να ισχύει

\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}
Αποσύρω την λανθασμένη λύση μου (δεν μου εμφανίζει επιλογή διαγραφής της δημοσίευσης)
Ευχαριστώ τον Ορέστη που βρήκε το λάθος.


Άβαταρ μέλους
Ορέστης Λιγνός
Δημοσιεύσεις: 1620
Εγγραφή: Κυρ Μάιος 08, 2016 7:19 pm
Τοποθεσία: Χαλάνδρι Αττικής

Re: Συναρτησιακή

#5

Μη αναγνωσμένη δημοσίευση από Ορέστης Λιγνός » Δευ Μάιος 04, 2020 3:32 pm

socrates έγραψε:
Τρί Μαρ 17, 2020 6:32 pm
Ας δούμε και την:


Να βρείτε τις συναρτήσεις f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^* ώστε για κάθε x,y\in  \Bbb{R}^* να ισχύει

\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}
Αρχίζουμε όπως ο Αλέξανδρος:
cretanman έγραψε:
Τρί Νοέμ 15, 2011 1:47 pm
Για y=1 παίρνουμε f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}.
Θέτουμε στην παραπάνω όπου x το f(x) και έχουμε f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)} και για x=1 παίρνουμε

f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=f^3(1) \ \ (1)

Για x=y στην αρχική παίρνουμε f(xf(1))=\displaystyle\frac{x^4}{f(x)} \ \ (2) και για x=\displaystyle\frac{1}{f(1)} παίρνουμε τελικά f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{1}{f^5(1)} \ \ (3)

Από (1) και (3) παίρνουμε \displaystyle\frac{1}{f^5(1)}=f^3(1)
Οπότε, f(1)^8=1, που δίνει ότι f(1) \in \{-1,1 \}.

Περίπτωση 1: f(1)=1. Τότε, η (2) της λύσης του Αλέξανδρου γίνεται f^2(x)=x^4, δηλαδή f(x) \in \{-x^2,x^2 \} για κάθε x.
Επίσης η f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)} δίνει f(x^4)=f^4(x).

Συνεπώς f(x)=f(\sqrt[4]{x})^4)=f^4(\sqrt[4]{x}) >0, για κάθε x>0. Οπότε, αν υπάρχει m>0 ώστε f(m)=-m^2, τότε έχουμε άτοπο. Άρα f(x)=x^2 για κάθε x>0.

Παίρνω τώρα στην αρχική σχέση \displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}} τα x,y<0. Τότε x/y>0, οπότε f(\dfrac{x}{y})=\dfrac{x^2}{y^2}, άρα έχουμε ότι f(\dfrac{x^2}{y})f(y)=x^4.

Ας θέσω τώρα x=\sqrt{AB},y=B με A,B<0, οπότε προκύπτει ότι f(A)f(B)=A^2B^2, για κάθε A,B<0.

Η προηγούμενη με B=-1 δίνει ότι f(A)=cA^2 με c σταθερά, για κάθε A<0. Άρα c^2A^2B^2=f(A)f(B)=A^2B^2, οπότε c \in \{-1, 1\}.

\rightarrow Αν c=1 τότε έχω την λύση f(x)=x^2 που είναι προφανώς δεκτή.
\rightarrow Αν c=-1 τότε έχω ότι f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^2,x<0 
 & \\ x^2, x>0 
 &  
\end{matrix}\right., που όμως δεν είναι δεκτή λύση (αν πάρουμε π.χ. x=1 και y=-1 στην αρχική έχουμε άτοπο).

Περίπτωση 2: f(1)=-1. Τότε, για y=x η αρχική δίνει ότι f(x)f(-x)=x^4 ενώ για y=1 δίνει f(f(x))=-x^4.
Επίσης, η P(-x,-1) δίνει ότι f(-f(x))=-x^4 (χρησιμοποίησα ότι f(-1)=-1, αφού f(1)f(-1)=1.

Άρα, f^4(x)=f(f(x))f(-f(x))=x^8, συνεπώς f(x) \in \{x^2,-x^2 \} για κάθε x \neq 0.

Όμως, f(-x^4)=f(f(f(x)))=-f^4(x)<0, συνεπώς f(x)<0 για κάθε x<0, που δίνει άμεσα ότι f(x)=-x^2 για κάθε x<0 (αν υπήρχε k<0 ώστε f(k)=k^2, τότε k^2=f(k)<0, άτοπο).

Παίρνω τώρα y>0>x στην αρχική, και αφού x/y<0 προκύπτει ότι f(\dfrac{-x^2}{y})=\dfrac{x^4}{f(y)}, και αφού -x^2/y<0, είναι \dfrac{x^4}{f(y)}=f(\dfrac{-x^2}{y})=\dfrac{-x^4}{y^2}, οπότε f(y)=-y^2 για κάθε y>0.

Άρα, προκύπτει η λύση f(x)=-x^2.

Τελικά, έχουμε δύο λύσεις: την f(x)=x^2 για κάθε x \in \mathbb{R^*}, και την f(x)=-x^2, για κάθε x \in \mathbb{R^*}.


Κερδίζουμε ό,τι τολμούμε !
Απάντηση

Επιστροφή σε “Άλγεβρα - Θεωρία Αριθμών - Συνδυαστική (Seniors) - Παλαιότερες Συζητήσεις”

Μέλη σε σύνδεση

Μέλη σε αυτήν τη Δ. Συζήτηση: Δεν υπάρχουν εγγεγραμμένα μέλη και 5 επισκέπτες