Συναρτησιακή

#1

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:(0,+\infty) \to (0,+\infty)$ ώστε για κάθε $x,y \in (0,+\infty)$ να ισχύει

$\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$

(G.M. 26510)

#2

Για

παίρνουμε $f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}$ .
Θέτουμε στην παραπάνω όπου

το

και έχουμε $f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)}$ και για x=1

παίρνουμε

$f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=f^3(1) \ \ (1)$

Για x=y

στην αρχική παίρνουμε $f(xf(1))=\displaystyle\frac{x^4}{f(x)} \ \ (2)$ και για $x=\displaystyle\frac{1}{f(1)}$ παίρνουμε τελικά $f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{1}{f^5(1)} \ \ (3)$

Από (1)

και

παίρνουμε $\displaystyle\frac{1}{f^5(1)}=f^3(1)$ άρα f(1)=1

.

Τελικά από (2)

παίρνουμε

συνάρτηση που επαληθεύει την αρχική.

Αλέξανδρος

#3

Ας δούμε και την:

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^*$ ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*$ να ισχύει

$\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$

ΦΩΤΙΑΔΗΣ ΠΡΟΔΡΟΜΟΣ · #4

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2020 6:32 pm
Ας δούμε και την:

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^*$ ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*$ να ισχύει

$\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$

Αποσύρω την λανθασμένη λύση μου (δεν μου εμφανίζει επιλογή διαγραφής της δημοσίευσης)
Ευχαριστώ τον Ορέστη που βρήκε το λάθος.

Ορέστης Λιγνός · #5

socrates έγραψε: ↑
Τρί Μαρ 17, 2020 6:32 pm
Ας δούμε και την:

Να βρείτε τις συναρτήσεις $f:\Bbb{R}^* \to \Bbb{R}^*$ ώστε για κάθε $x,y\in \Bbb{R}^*$ να ισχύει

$\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$

Αρχίζουμε όπως ο Αλέξανδρος:

cretanman έγραψε: ↑
Τρί Νοέμ 15, 2011 1:47 pm
Για παίρνουμε $f(f(x))=\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}$ .
Θέτουμε στην παραπάνω όπου το και έχουμε $f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)}$ και για παίρνουμε

$f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=f^3(1) \ \ (1)$

Για στην αρχική παίρνουμε $f(xf(1))=\displaystyle\frac{x^4}{f(x)} \ \ (2)$ και για $x=\displaystyle\frac{1}{f(1)}$ παίρνουμε τελικά $f\left(\displaystyle\frac{1}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{1}{f^5(1)} \ \ (3)$

Από και παίρνουμε $\displaystyle\frac{1}{f^5(1)}=f^3(1)$

Οπότε,

, που δίνει ότι $f(1) \in \{-1,1 \}$ .

Περίπτωση 1: f(1)=1

. Τότε, η (2) της λύσης του Αλέξανδρου γίνεται f^2(x)=x^4

, δηλαδή $f(x) \in \{-x^2,x^2 \}$ για κάθε

.
Επίσης η $f\left(\displaystyle\frac{x^4}{f(1)}\right)=\displaystyle\frac{f^4(x)}{f(1)}$ δίνει f(x^4)=f^4(x)

.

Συνεπώς $f(x)=f(\sqrt[4]{x})^4)=f^4(\sqrt[4]{x}) >0$ , για κάθε x>0

. Οπότε, αν υπάρχει m>0

ώστε

, τότε έχουμε άτοπο. Άρα f(x)=x^2

για κάθε

.

Παίρνω τώρα στην αρχική σχέση $\displaystyle{f\left(yf\left(\frac {x}{y}\right)\right)=\frac {x^4}{f(y)}}$ τα x,y<0

. Τότε

, οπότε $f(\dfrac{x}{y})=\dfrac{x^2}{y^2}$ , άρα έχουμε ότι $f(\dfrac{x^2}{y})f(y)=x^4$ .

Ας θέσω τώρα $x=\sqrt{AB},y=B$ με A,B<0

, οπότε προκύπτει ότι f(A)f(B)=A^2B^2

, για κάθε A,B<0

.

Η προηγούμενη με B=-1

δίνει ότι

με

σταθερά, για κάθε A<0

. Άρα

, οπότε $c \in \{-1, 1\}$ .

$\rightarrow$ Αν c=1

τότε έχω την λύση f(x)=x^2

που είναι προφανώς δεκτή.
$\rightarrow$ Αν c=-1

τότε έχω ότι $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x^2,x<0 & \\ x^2, x>0 & \end{matrix}\right.$ , που όμως δεν είναι δεκτή λύση (αν πάρουμε π.χ. x=1

και

στην αρχική έχουμε άτοπο).

Περίπτωση 2: f(1)=-1

. Τότε, για y=x

η αρχική δίνει ότι f(x)f(-x)=x^4

ενώ για

δίνει

.
Επίσης, η P(-x,-1)

δίνει ότι

(χρησιμοποίησα ότι f(-1)=-1

, αφού

.

Άρα,

, συνεπώς $f(x) \in \{x^2,-x^2 \}$ για κάθε $x \neq 0$ .

Όμως, f(-x^4)=f(f(f(x)))=-f^4(x)<0

, συνεπώς

για κάθε

, που δίνει άμεσα ότι f(x)=-x^2

για κάθε

(αν υπήρχε k<0

ώστε

, τότε

, άτοπο).

Παίρνω τώρα y>0>x

στην αρχική, και αφού x/y<0

προκύπτει ότι $f(\dfrac{-x^2}{y})=\dfrac{x^4}{f(y)}$ , και αφού -x^2/y<0

, είναι $\dfrac{x^4}{f(y)}=f(\dfrac{-x^2}{y})=\dfrac{-x^4}{y^2}$ , οπότε f(y)=-y^2

για κάθε

.

Άρα, προκύπτει η λύση f(x)=-x^2

.

Τελικά, έχουμε δύο λύσεις: την f(x)=x^2

για κάθε $x \in \mathbb{R^*}$ , και την f(x)=-x^2

, για κάθε $x \in \mathbb{R^*}$ .

Συναρτησιακή

Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Re: Συναρτησιακή

Μέλη σε σύνδεση